人口增长模型

1、姓名：段钊芬 学号：2014041040姓名：陶晓文 学号：2014041052姓名：张莎 学号：2014041069 专业：统计学A 题：中国人口增长预测 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据 已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生 人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增 长。2007 年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录 1) 还做出了进一步 的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录 2 就是 从

2、中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录 2 中的相关数据 （也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由 此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点 与不足之处。 附录 1 国家人口发展战略研究报告 附录 2 人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据一：摘要本文针对我国的人口特点，引入控制理论中的Z-传递矩阵(即LESLIA矩阵)来模拟系统的反馈控制作用，根据以上特点对人口增长率的影响建立一个闭环控制模型。首先，我们根据所给数据建立了三个反映上述特点的子模型，对于城镇化过程，我们利用logis

3、tic曲线建立了一个城镇化模型用以预测城镇化水平，对于出生婴儿的性别差异，我们假设我国进入中等发达国家后，基本不会再有婴儿性别选则，即婴儿性别比恢复自然值，并拟和了婴儿性别比发展规律；最后为了预测老龄化的过程，我们中将人口分为若干段，各段人口构成了一个向量，这个向量在LESLIE控制矩阵的传递作用下发生变动并最终达到向量成员间的比例平衡，并由此可以得到反映人口结构的老龄化系数，社会抚养比及适龄劳动人口比，最后为了提高LESLIE控制调节的灵敏度，我们进一步对模型进行了改进即揉和进上述特点以后，LESLIE矩阵成为一个可以随时间可以自动改变的智能矩阵，这样预测出的结果更加准确，人口系统最终能达到

4、平衡。 最后对模型的优缺点进行评价，指出了人口预测模型中的不足，并提出了更合理预测中国人口增长的建议。关键词：反馈控制   逻辑斯蒂曲线  中国人口增长  生育率  男女性别比 二：问题的重述中国是世界上人口最多的发展中国家.在科学技术和生产力飞速发展的同时，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一.因此，中国政府坚持不懈地在全国范围推行计划生育基本国策，鼓励晚婚晚育. 经过30年的艰苦努力，中国在经济还不发达的情况下，有效地控制了人口过快增长，有力地促进了中国综合国力的提高

5、、社会的进步和人民生活的改善. 近年来，中国的人口发展出现了一些新的特点影响着中国人口的增长.例如，人口老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，2007年初发布的国家人口发展战略研究报告（附录1）做出了进一布的分析.附录2是从中国人口统计年鉴上收集到的关于中国人口问题的部分数据.关于中国人口问题已有多方面的研究,由于其已严重制约了中国经济的发展,所以对中国人口做出分析和预测始终是一个重要问题.下面考虑两个问题：（1）利用附录2中有关数据(也可以搜索相关文献和补充新的数据),从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型;（2）利用所求模型对

6、中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出模型中的优缺点.三: 问题的分析  我们首先对现有数据进行拟合。从拟和得到的图形发现我国城镇化的过程与物种生长曲线极其类似，这可以了解为物种生长过程与城镇化同样大致经历三个过程，即缓慢增长期，快速增长期，饱和期，我们可以利用logistic曲线来模拟。在拟和出生婴儿性别差异时，我们按照实际情况假设1950年以前婴儿性别比为自比指标比例。并且假设我国进入中等发达国家后，基本不会再有婴儿性别选则。即婴儿性别比恢复自然值。并使用了这些数据拟和了符合实际情况的婴儿性别比规律。为了反映老龄化的影响，我们中将人口分为若干段，各段人口构成一个

7、向量，这个向量在LESLIE控制矩阵的作用下发生变动并最终达到向量成员间的比例平衡。然后考虑到我国人口增长的特点，即老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等，这些因素通过影响出生率和死亡率中而最终影响人口的增长。考虑到海外人口所占比例很小，根据自动控制的原理，我们可以根据以上因素对人口增长率的影响建立一个闭环控制模型，假设我国人口系统是 一个能控制且稳定系统，即从长期来看我国人口各项指标将达到稳定，并引入控制理论中的Z-传递矩阵(即LESLIA矩阵)来模拟系统的反馈控制作用。四：模型假设及符号规定1. 模型的假设(1）为方便计算，记2001年为第1年； 

8、   （2）表中数据客观真实，具有可靠性； （3）各个年龄的城市乡镇人口比，性别比均与整体的相应比例一致；    （4）假设中国人口是一个封闭的系统，没有人口的迁入与迁出；    （5）假设在没有政策性变化时（如限制生育年龄，或允许多育），育龄妇女的生育率关于年龄的相对分布是稳定的；    （6）假设在未来的很长一段时间内，医学上没有大的革命，死亡率的变化将很小，我们认为其不变.2. 符号规定(0)：初始时刻第i个年龄组的女性的人数；(

9、t) ：第i个年龄组的女性在时刻t的人数, t=0,1,2,; = : 第i年不同类型人的生育率的权值； : 第i年龄组中平均每人每年生育并生存下来的人数； : 在时间t时年龄为i的人的死亡率； : 第i年龄组中到1+t时生存下来并进入1+i年龄组的人的比例i=0,1,2,；:第j年的第k种类型的妇女人口(k=1,2,3分别代表城市、镇、农村的妇女)。=LL 五：模型的建立与求解1. 城镇化模型  对于乡村人口城镇化问题，我们通过城镇人口占总人口的比率预测城镇人口比率，从而得到城镇化的规律。对于城镇人口比例趋势，我们使用曲线来拟合预测。假设城镇人口的比例为，为关于

10、时间t的函数，根据logistic模型，有城镇人口比率增长的速度与成比例。这里的，K为城镇人口能够达到的比例上限。当很小时，差不多近似等于1，所以城镇人口比例的增长速度与成比例的连续增长，但是，当大于0.5K时，小于0.5，城镇人口比例增长速度逐渐减慢。根据以上的假定，城镇人口比例增长的速度为  (为比例常数)解微分方程得：（m为常数）利用已知数据用Origin软件拟合函数，得到K =0.71175=,=m=1.01625，=r=0.10623,  分布检验值为0.00007c，中国城市人口可以达到的比例上限为：=K=0.71175，与其他机构预测的值接近并符合真实情况。因

11、此我们认为我们拟合的函数很好的反应了真实情况。则有  城市人口比例预测值年份 2006 2007 2008 2009 2010城市人口比例 0.462997 0.479901 0.49619 0.511812 0.526724年份 2011 2012 2013 2014 2015 城市人口比例 0.540895 0.554305 0.566945 0.578813 0.5899

12、17年份 2016 2017 2018 2019 2020 城市人口比例 0.600272 0.6099 0.618824 0.627075 0.634685年份 2021 2022 2023 20242025城市人口比例 0.641687 0.6481170.65401 0.659401 0.664325 年份 2026 2027 2028 2029

13、60;2030 城市人口比例 0.668817 0.672907 0.676629 0.680011 0.683081 年份 2031 2032 2033 2034 2035 城市人口比例 0.685865 0.688388 0.690673 0.69274 0.69461年份 2036 2037 2038 2039 2040 城市人口比例 0.6

14、963 0.697826 0.699205 0.700449 0.701572 年份 2041 2042 2043 2044 2045 城市人口比例 0.702584 0.703497 0.70432 0.705062 0.705731 年份 2046 2047 2048 2049 2050 城市人口比例 0.706333 0.706875

15、0;0.707363 0.707803 0.708199年份 2051 2052 2053 20542055 城市人口比例 0.708555 0.708876 0.709164 0.709424 0.709658年份 2056 2057 2058 2059 2060 城市人口比例 0.709868 0.710057 0.710227 0.710381 0.710518

16、 年份 20612062 2063 2064 2065 城市人口比例 0.710642 0.710754 0.710854 0.710944 0.711025 年份 2066 2067 2068 2069 2070 城市人口比例 0.711098 0.711164 0.711223 0.711276 0.711324 年份 2071 20

17、72 2073 2074 2075 城市人口比例 0.711367 0.711405 0.71144 0.711471 0.711499 2. 出生婴儿性别比例预测模型   自然条件下出生的婴儿性别比为107：100，将这个婴儿出生比例作为正常值。假设在1950年以前，由于技术等原因，无法选择婴儿性别，那时的婴儿出生性别比为自然比例，即107：100。到2050年，我国进入中等发达国家，人的素质会有很大提高，同时法律也将更加健全。这时几乎可以排除婴儿性别选择，认为性

18、别比例重新回到自然比例。我们将假设的19001950年的婴儿性别比例和20502100年的性别比例与题目所给的19942005年的婴儿性别比作为已知值，拟合婴儿性别比例变化曲线，得到婴儿比例的规律，预测未来的婴儿性别比。        由于婴儿比例函数两端都有极限，中间取极大值 ，所以我们选择符合规律的函数： (Y=y)分别按照城市、镇和乡村来拟合，其中城市婴儿男女比例比与年份的拟合曲线如图  其中， =107 ,=2004,w=23.52,A=7.52。 值为1.2798；

19、值为0.860813女性人口与总人口的关系模型   我们以第五次人口普查（2000年）的男女比例106：100为基准值，女性人口与总人口的关系为                            通过对男女婴儿性别比 (t为时间)加权反馈调节，预测人口，我们以人均寿命的一半为影响半径，

20、人均寿命简化计算为70岁。定义权值Pt为在影响半径内出生的婴儿性别比高出正常值的差值，即                       因此，得到总人口应为 3. 基于人口结构的单性模型  模型主要考虑女性人口数，鉴于男女人口数有一定的比值（可以预测出来），则女性人口可以得知总人口数，将女性按年龄顺序分为若干组，假设每一组的妇女有相同的生育率和死亡率，并且假设

21、最大寿命为90岁（90岁以上按90岁计算）。此模型可以用递推的方式预测个年龄组的人数，进而对人口总量及其年龄结构进行预测，由于人群中只有1549岁的妇女有生育能力，而最大寿命为90岁，则矩阵中i=15，h=49,m=89,=显然有             下面就需要确定动态矩阵的表达式，即确定向量.,(1)b（1）的确定 我们把某个时间的妇女的生育年龄分布同时看作一个妇女一生中生育孩子数的分布， 于是某个时点的综合生育率等于一个妇女一生中生育的孩

22、子数。统计观察城市和农村妇女人口的生育的年龄结构，我们发现两者有很大的不同（这里仅拿2004年作为参考）。    通过Excel软件统计计算出历年的城市乡镇的女性人口比例，进而确定不同人类的生育率的权值l，其中我们认为，从而可加权平均统计出2004年的城镇、乡村育龄妇女的生育率，如图5-4所示。   其中横坐标中的值0表示年龄为15岁的女孩，以此类推各值均加上15表示相应的年龄段的妇女生育率（下同）。 从图中可发现：乡村妇女的综合生育率明显高于城镇妇女，同时他们的生育高峰也比城市妇女早一些，且计划生育政策及执行情况也有很大的

23、不同，所以本文中将把这两种情况分开讨论，则式(1)可化为 用同样的方法，可以分别得到2001-2005年城镇、乡村妇女的年龄分布如图5-5和图5-6所示。  从图5-25-3中我们知道，在不同的时间城镇妇女的育龄年龄分布曲线惊人的类似，乡村妇女亦然。利用Orign软件中的Lognormal函数，分别对城镇妇女育龄年龄分布曲线与乡村育龄年龄分布曲线进行回归分析，得到回归方程的关于t的函数，即 其中 将各年龄值代入即可求得。(2) 的确定 易知，则可以通过求得间接求得。 同上面一样，我们先作图观察2001-2005年的个年龄段妇女的死亡率

24、，从而利用Orign软件进行回归分析。即得到，则有综合(1)(2)可以求得矩阵关于t的函数，即    代入（4）式，由于数据庞大，在这我们只利用MATLAMB软件求解取5个年为一个年龄段进行计算，结果如图5-5所示。 从预测表中可以看出，近期来看人口仍然会继续增长，而女性人口比却保持长期稳定。从长期来看，人口将在2060年前后达到峰值，而后将稳定向来保持在一定水平（约15亿人口）六：模型的评价  模型的优点：   （1）本模型很好的体现了中国人口的特点，考虑到了城市化，出生性别比，人口老龄化对人口增长的特点。而且从预测女性人口入手，使求解很大的简化，并使各种影响因素更好的结合。     （