计算机控制_03计算机控制系统分析

1、第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 第第3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 3.1 离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析 一个控制系统稳定，是它能正常工作的前提条件。一个控制系统稳定，是它能正常工作的前提条件。连续系统的稳定性分析是在连续系统的稳定性分析是在S平面进行的，离散系统的稳平面进行的，离散系统的稳定性分析是在定性分析是在Z平面进行的。平面进行的。3.1.1 3.1.1 S S平面与平面与Z Z平面的关系平面的关系 S平面与平面与Z平面的映射关系，可由平面的映射关系，可由 来确定。来确定。设设 则有则

2、有 Tsez jsTzezeezTTjT|第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 在在Z 平面上，当平面上，当为某个定值时为某个定值时z=eTs随随由由- -变到变到的的轨迹是一个圆，圆心位于原点，半径为轨迹是一个圆，圆心位于原点，半径为z=eTs ，而圆心角，而圆心角是随是随线性增大的。线性增大的。当当=0时，时，| |z|=1|=1，即即S平面上的虚轴映射到平面上的虚轴映射到Z平面上的是平面上的是以原点为圆心的单位圆。以原点为圆心的单位圆。当当0时，时，| |z|1|0时，时，| |z|1|1，即即S平面的右半面映射到平面的右半面映射到Z平面上的是平面上的是以原点为圆心单位圆

3、的外部。以原点为圆心单位圆的外部。S平面与平面与Z平面的映射关系如图平面的映射关系如图3.1所示。所示。 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 S-11-jjZjjImRe00图3.1 S平面与Z平面的映射关系第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 于是得到下面结论：于是得到下面结论：1S平面的虚轴对应于平面的虚轴对应于Z平面的单位圆的圆周。平面的单位圆的圆周。在在S平面上，平面上，每变化一个每变化一个s时，则对应在时，则对应在Z 平面上重复平面上重复画出一个单位圆，在画出一个单位圆，在S平面中平面中- -s/2/2s/2的频率范围内称的频率范围内称为主频区，其余

4、为辅频区（有无限多个）。为主频区，其余为辅频区（有无限多个）。S平面的主频平面的主频区和辅频区映射到区和辅频区映射到Z平面的重迭称为频率混迭现象，由于平面的重迭称为频率混迭现象，由于实际系统正常工作时的频率较低，因此，实际系统的工实际系统正常工作时的频率较低，因此，实际系统的工作频率都在主频区内。作频率都在主频区内。 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 2S平面的左半面对应于平面的左半面对应于Z平面的单位圆内部。平面的单位圆内部。3S平面的负实轴对应于平面的负实轴对应于Z平面的单位圆内正实轴。平面的单位圆内正实轴。4S平面左半面负实轴的无穷远处对应于平面左半面负实轴的无穷远处

5、对应于Z平面单位圆的平面单位圆的圆心。圆心。5S平面的右半面对应于平面的右半面对应于Z平面单位圆的外部。平面单位圆的外部。6S平面的原点对应于平面的原点对应于Z平面正实轴上平面正实轴上z=1的点。的点。 在连续系统中，如果其闭环传递函数的极点都在在连续系统中，如果其闭环传递函数的极点都在S平平面的左半部分，或者说它的闭环特征方程的根的实部小面的左半部分，或者说它的闭环特征方程的根的实部小于零，则该系统是稳定的。由此可以想见，离散系统的于零，则该系统是稳定的。由此可以想见，离散系统的闭环闭环Z传递函数的全部极点（特征方程的根）必须在传递函数的全部极点（特征方程的根）必须在Z平平面中的单位圆内时，

6、系统是稳定的。面中的单位圆内时，系统是稳定的。 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 3.1.2 离散系统输出响应的一般关系式离散系统输出响应的一般关系式 设离散系统的闭环设离散系统的闭环Z传递函数为：传递函数为：设有设有n n个闭环极点个闭环极点zi互互异，异，m mn n，输入为单位阶跃函数，输入为单位阶跃函数，则则 其中其中 10111( )( )( )( )( )mmmnnnb zb zbY zB zw zR zza zaA z01( )1niiiCCY zzzzznizAzzBCwABCiiii3 , 2 , 1)() 1()(,) 1 () 1 () 1 (0第第3

7、 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 取取Z反变换得：反变换得： 上式为采样系统在单位阶跃函数作用下输出响应序上式为采样系统在单位阶跃函数作用下输出响应序列的一般关系，第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。列的一般关系，第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。若离散系统稳定，则当时间若离散系统稳定，则当时间k k时，输出响应的暂态分时，输出响应的暂态分量应趋于量应趋于0 0，即：，即：这就要求这就要求z zi i1 1 因此得到结论，离散系统稳定的充分必要条件是：因此得到结论，离散系统稳定的充分必要条件是：闭环闭环Z Z传递函数的全部极点应位于传递函数的全部极点应位于Z Z平面的单位圆内。

8、平面的单位圆内。 , 3 , 2 , 1)(1 )1 ()(1kzCkwkynikii1lim0nkiikiC z第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 例例3.1 某离散系统的闭环某离散系统的闭环Z传递函数为传递函数为 则则w(z)的极点为的极点为 ： z1=-0.237，z2=-1.556由于由于| z2 |=1.5561，故该系统是不稳定的。，故该系统是不稳定的。 111368. 0792. 1116. 3)(zzzzw第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 3.1.3 Routh稳定性准则在离散系统的应用稳定性准则在离散系统的应用 连续系统的连续系统的Rou

9、th稳定性准则不能直接应用到离散系稳定性准则不能直接应用到离散系统中，这是因为统中，这是因为Routh稳定性准则只能用来判断复变量代稳定性准则只能用来判断复变量代数方程的根是否位于数方程的根是否位于S平面的左半面。如果把平面的左半面。如果把Z平面再映平面再映射到射到S平面，则采样系统的特征方程又将变成平面，则采样系统的特征方程又将变成S的超越方的超越方程。因此，使用双线性变换，将程。因此，使用双线性变换，将Z平面变换到平面变换到W平面，使平面，使得得Z平面的单位圆内映射到平面的单位圆内映射到W平面的左半面。平面的左半面。设设 （或（或 ）则）则 （或（或 ）其中其中z z，w w均为复变量，即

10、构成均为复变量，即构成W W变换，如图变换，如图3.23.2所示。所示。 11wwzwwz1111zzw11zzw第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 -11-jjZjImRe0Wj0图3.2 Z平面与W平面的映射关系 这种变换称为这种变换称为W变换，它将变换，它将Z特征方程变成特征方程变成W特征方程，特征方程，这样就可以用这样就可以用Routh准则来判断准则来判断W特征方程的根是否在特征方程的根是否在W平面平面的左半面，即系统是否稳定。的左半面，即系统是否稳定。 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 例例3.2 某离散系统如图某离散系统如图3.3所示，试用所示

11、，试用Routh准则确定使该准则确定使该系统稳定系统稳定k值范围，设值范围，设T=0.25s。解：该系统的开环解：该系统的开环Z Z传递函数为：传递函数为： r(t)y(t)T图3.3 例3.2离散系统)4( ssk)368.0)(1(158.0)4()(zzkzsskzG第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 该系统的闭环该系统的闭环Z传递函数为：传递函数为：求得该系统的闭环求得该系统的闭环Z Z特征方程为：特征方程为：对应的对应的W W特征方程为：特征方程为：RouthRouth表为表为w w2 2 0.158 0.158k k (2.736-0.158 (2.736-0.1

12、58k k) )w w1 1 1.264 0 1.264 0w w0 0 (2.736-0.158 (2.736-0.158k k) 0) 0解得使系统稳定的解得使系统稳定的k k值范围为值范围为0 0k k17.317.3 kzzzkzzGzGzW158.0)368.0)(1(158.0)(1)()(0158.0)368.0)(1(kzzz0)158.0736.2(264.1158.02kwkw第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 显然，当显然，当k17.3时，该系统是不稳定的，但对于二阶连时，该系统是不稳定的，但对于二阶连续系统，续系统，k为任何值时都是稳定的。这就说明为任

13、何值时都是稳定的。这就说明k对离散系对离散系统的稳定性是有影响的。统的稳定性是有影响的。 一般来说，采样周期一般来说，采样周期T也对系统的稳定性有影响。缩短也对系统的稳定性有影响。缩短采样周期，会改善系统的稳定性。对于本例，若采样周期，会改善系统的稳定性。对于本例，若T=0.1s，可以得到可以得到k值的范围为值的范围为0k40.5。 但需要指出的是，对于计算机控制系统，缩短采样周但需要指出的是，对于计算机控制系统，缩短采样周期就意味着增加计算机的运算时间，且当采样周期减小期就意味着增加计算机的运算时间，且当采样周期减小到一定程度后，对改善动态性能无多大意义，所以应该到一定程度后，对改善动态性能

14、无多大意义，所以应该适当选取采样周期。适当选取采样周期。 第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 3.2 离散系统的过渡响应分析离散系统的过渡响应分析 一个控制系统在外信号作用下从原有稳定状态变化到一个控制系统在外信号作用下从原有稳定状态变化到新的稳定状态的整个动态过程称之为控制系统的过渡过程。新的稳定状态的整个动态过程称之为控制系统的过渡过程。 一般认为被控变量进入新稳态值附近一般认为被控变量进入新稳态值附近5%或或3%的的范围内就可以表明过渡过程已经结束。范围内就可以表明过渡过程已经结束。 通常，线性离散系统的动态特征是系统在单位阶跃信通常，线性离散系统的动态特征是系统在单位

15、阶跃信号输入下的过渡过程特性号输入下的过渡过程特性( (或者说系统的动态响应特性或者说系统的动态响应特性) )。如果已知线性离散系统在阶跃输入下输出的如果已知线性离散系统在阶跃输入下输出的Z Z变换变换Y Y( (z z) )，那那么，对么，对Y Y( (z z) )进行进行Z Z反变换，就可获得动态响应反变换，就可获得动态响应y y* *( (t t) )。将将y y* *( (t t) )连成光滑曲线，就可得到系统的动态性能指标（即超连成光滑曲线，就可得到系统的动态性能指标（即超调量调量% %与过渡过程时间与过渡过程时间t ts s），），如图如图3.43.4所示。所示。 第第3 3章章

16、计算机控制系统分析计算机控制系统分析 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 11T 12T 13T 1.61.41.210.80.60.40.2y(t)tts图3.4 线性离散系统的单位阶跃响应%5第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 首先研究离散系统在单位脉冲信号作用下的瞬态响应，首先研究离散系统在单位脉冲信号作用下的瞬态响应，以了解离散系统的动态性能。以了解离散系统的动态性能。式中式中zi与与zj分别表示闭环零点和极点。利用部分分式法，分别表示闭环零点和极点。利用部分分式法，可将可将W(z) 展开成展开成 由此可见，离散系统的时间响应是它各个极点时

17、间响应由此可见，离散系统的时间响应是它各个极点时间响应的线性叠加。的线性叠加。 )()()()()()(11mnzzzzKzRzYzWnjjmiinnzzzAzzzAzzzAzW2211)(第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 设系统有一个位于设系统有一个位于zi的单极点，则在单位脉冲作用下，的单极点，则在单位脉冲作用下，当当zi位于位于Z平面不同位置时，它所对应的脉冲响应序列如图平面不同位置时，它所对应的脉冲响应序列如图3.5所示。所示。 -11-jjjImRe0图3.5 不同位置的实极点与脉冲响应的关系第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 (1)极点在单位圆

18、外的正实轴上，对应的暂态响应分量极点在单位圆外的正实轴上，对应的暂态响应分量y(kT)单调发散。单调发散。(2)极点在单位圆与正实轴的交点，对应的暂态响应极点在单位圆与正实轴的交点，对应的暂态响应y(kT)是等幅的。是等幅的。(3)极点在单位圆内的正实轴上，对应的暂态响应极点在单位圆内的正实轴上，对应的暂态响应y(kT)单单调衰减。调衰减。(4)极点在单位圆内的负实轴上，对应的暂态响应极点在单位圆内的负实轴上，对应的暂态响应y(kT)是是以以2T为周期正负交替的衰减振荡。为周期正负交替的衰减振荡。(5)极点在单位圆与负实轴的交点，对应的暂态响应极点在单位圆与负实轴的交点，对应的暂态响应y(kT

19、)是以是以2T为周期正负交替的等幅振荡。为周期正负交替的等幅振荡。(6)极点在单位圆外的负实轴上，对应的暂态响应极点在单位圆外的负实轴上，对应的暂态响应y(kT)是是以以2T为周期正负交替的发散振荡。为周期正负交替的发散振荡。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 例例3.3 某离散系统如图某离散系统如图3.6所示，分析该系统的过渡过程。所示，分析该系统的过渡过程。 设系统输入是单位阶跃函数设系统输入是单位阶跃函数 解：解：(1)设设 K=1，T=1；则则 r(t)e(t)e*(t)y(t)T图3.6 例3.3离散系统seTs1)1(ssK)368.01)(1 ()717.01

20、(368.0)(1111zzzzzG2121632.01264.0368.0)(1)()(zzzzzGzGzW第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 从上述数据可以看出，系统在单位阶跃函数作用下的过从上述数据可以看出，系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程具有衰减振荡的形式，故系统是稳定的。其超调渡过程具有衰减振荡的形式，故系统是稳定的。其超调量约为量约为40%，且峰值出现在第，且峰值出现在第3、4拍之间，约经拍之间，约经12个采个采样周期过渡过程结束，如图样周期过渡过程结束，如图3.7曲线曲线a所示。所示。 )()()(zRzWzY1212312345678910111213141

21、5160.3680.2641 21.6320.6320.3681.41.41.1470.8950.8020.8680.9931.0771.0811.0320.9810.9610.9730.997zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 (2)现将图中的保持器去掉，现将图中的保持器去掉，k=1，T=1；则则 由以上数据可知该二阶离散系统仍是稳定的，超调量约由以上数据可知该二阶离散系统仍是稳定的，超调量约为为21%，峰值产生在第，峰值产生在第3拍，调整时间为拍，调整时间为5拍，如图拍，如图3.7曲曲线线b所示。可见，无保持器比有保持器的系统的动

22、态性能所示。可见，无保持器比有保持器的系统的动态性能好。这是因为保持器有滞后作用所致。好。这是因为保持器有滞后作用所致。 )368.01)(1 (632.0)(111zzzzG211368.0736.01632.0)(1)()(zzzzGzGzW3211368. 0104. 1736. 11632. 0)()()(zzzzzRzWzY765432198.097.002.112.121.11 .1632.0zzzzzzz第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.61.41.210.80.60.40.2y(t

23、)tab图3.7 离散系统的响应曲线第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 (3)现将图中保持器去掉，设现将图中保持器去掉，设K=5，T=1，则则由上面数据可以看出，当由上面数据可以看出，当K=K=5 5，T=T=1 1时，没有保持器的时，没有保持器的二阶系统是不稳定的，且是正负交替的发散式振荡较剧二阶系统是不稳定的，且是正负交替的发散式振荡较剧烈。烈。211111368.0792.1116.3)()368.01)(1 (16.3)(zzzzWzzzzG5432132116 .1355. 75 . 65 . 216. 3368. 0424. 1792. 0116. 3)(zzzz

24、zzzzzzY第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 但我们知道，对于二阶的连续系统无论但我们知道，对于二阶的连续系统无论K为何值都是稳定为何值都是稳定的，而采样控制系统则不然。的，而采样控制系统则不然。以上说明，利用以上说明，利用Z变换本身含有时间概念的特点，分析采变换本身含有时间概念的特点，分析采样控制系统的运动特性是很方便的，且很适用于计算机。样控制系统的运动特性是很方便的，且很适用于计算机。第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 3.3 离散系统的稳态准确度分析离散系统的稳态准确度分析 利用利用Z变换的终值定理方法，求取误差采样的离散系统在变换的终值定理方法

25、，求取误差采样的离散系统在采样瞬时的终值误差。采样瞬时的终值误差。 设单位负反馈误差离散系统如图设单位负反馈误差离散系统如图3.8所示。其中所示。其中G(s)为为连续部分的传递函数，连续部分的传递函数，e(t)为系统连续误差信号，为系统连续误差信号，e*(t)为为系统采样误差信号，其闭环误差系统采样误差信号，其闭环误差Z传递函数为传递函数为 )(11)()()(zGzRzEzWe第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 如果如果We(z)的极点（即闭环极点）全部严格位于的极点（即闭环极点）全部严格位于Z平面的平面的单位圆内，即若离散系统是稳定的，则可用单位圆内，即若离散系统是稳定的

26、，则可用Z变换的终值变换的终值定理求出采样瞬时的终值误差为定理求出采样瞬时的终值误差为上式表明，线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统上式表明，线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，而且与输入序列的形式及幅值本身的结构和参数有关，而且与输入序列的形式及幅值有关，除此之外，离散系统的稳态误差与采样周期的选有关，除此之外，离散系统的稳态误差与采样周期的选取也有关。取也有关。 e*(t)y(t)Tr(t)e(t)图3.8 单位负反馈离散系统G(s)(1)()1 (lim)()1 (lim)(lim)(1111*zGzRzzEzteezzt第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机

27、控制系统分析 在离散系统中，也可以把开环脉冲传递函数在离散系统中，也可以把开环脉冲传递函数G(z)具有具有z=1的极点数的极点数v作为划分离散系统型别的标准，把作为划分离散系统型别的标准，把G(z)中中v=0, ,1, ,2,的系统，称为的系统，称为0型，型，型和型和系统等。系统等。1 1单位阶跃输人时下稳态误差单位阶跃输人时下稳态误差 对于单位阶跃输入对于单位阶跃输入r(t)=1(t)时，时，则则 称为位置放大系数。称为位置放大系数。 在单位阶跃函数作用下，在单位阶跃函数作用下，0 0型离散系统在采样瞬时存在型离散系统在采样瞬时存在位置误差；位置误差；型或型或型以上的离散系统，在采样瞬时没型

28、以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。有位置误差。 1)(11)(zzzGzEKpGzGzEzzezzp1) 1 (11)(11lim)(1lim)(11)(1lim1zGKpz第第3 3章章 计算机控制系统分析计算机控制系统分析 2单位速度输入时的稳态误差单位速度输入时的稳态误差对于单位速度输入对于单位速度输入r(t)=t 时时则则 称为速度放大系数。称为速度放大系数。 在单位速度函数作用下，在单位速度函数作用下，0 0型离散系统在采样瞬时稳态误型离散系统在采样瞬时稳态误差无穷大，差无穷大，型离散系统在采样瞬时存在速度误差；型离散系统在采样瞬时存在速度误差；型型或或型以上的离散系统，在采样瞬时不存在稳态误差。型以上的离散系统，在采样瞬时不存在稳态误差。 2)1()(11)(zTzzGzE)()1(lim)1(