第四章第一节数学期望2016

1、高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学(四) 概率论与数理统计 脚本编写：孟益民 教案制作：孟益民第四章 数字特征理解数学期望概念，掌握它的性质与计算。理解方差概念，掌握它的性质与计算。掌握（01）分布，二项分布，泊松分布，正态正态分布，指数分布的数学期望与方差。掌握协方差、相关系数的概念及计算。了解矩、协方差矩阵的概念。 通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更关心的是用一些数值来反映随机变量在某个方面的特征, 这些数值常称为随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数学期望、 方差、协方差和相关系数. 例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量

2、;又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 等等.实际上,描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质. r.v.的平均取值 数学期望数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 方差方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 协方差协方差与相关系数相关系数第一节 数学期望一、随机变量的数学期望二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望 数学期望是任何一个随机变量的最重要的也被最广泛使用的数学特征, 英文是

3、expectation, 另一种叫法为均值(everage value)它的实际意义就是平均值. 但属于一种更为严格的平均值.先看一个例子，其情况如下表：与记为环数是随机变量，分别击，击中在相同的情况下进行射有甲乙两个射手，他们YX 技术较好？试问：甲乙两射手谁的环，共击中次击中环，有击中次环，有次击中次大约有分布可以看出：甲射击概率次，由他们击中环数的设甲、乙射手各射击1060910830100100 . 9306010109308环解解6 . 0 1 . 0 0.3 10 9 8 概率击中环数甲射手X0.3 5 . 0 2 . 0 10 9 8 概率击中环数乙射手Y.和能值与相应概率乘积的

4、量取的一切可性数值，恰好是随机变到的“平均”意义的特环数）取里反映随机变量（击中同时，我们也发现，这水平乙射手的射击手的射击水平要略高于从上式可以看出，甲射环数约为这样，甲平均可能击中. 3 . 96 . 0101 . 093 . 0810060101001091003081006010109308环击中同理，乙射手平均可能环 1 . 93 . 0105 . 092 . 081 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量X的分布律为 PX=xk=pk, k=1,2,.若级数 绝对收敛,则称此级数的和为随机变量X 的数学期望,记为E(X).即kkkpx(1)1kkkpxE(X)1.kkkXp

5、x的数学期望不存在发散时，则称当级数数学期望简称期望, 又称为均值.分布10分布，其分布律为服从设10X.1 , 0,11kppkXPkk由定义有 .110pppXE例1 .XE求解解二项分布其分布律为设,pnBX., 2 , 1 , 0,1,nkpqqpCkXPknkkn knknknkknkknqpknknkqpkCXE10!10111!1!11 !1!1niininkknkknknnkiqpininnqpnpqpnpqpCnpnniiniin11011例2 .XE求解解泊松分布的泊松分布，分布律为服从参数为设X, 1 , 0, 0 !kkekXPk.!0eeieii例3 .XE求 0!k

6、kekkXE11!1kkek解解常见常见 r.v. 的数学期望的数学期望分布分布期望期望概率分布概率分布参数为p 的 0-1分布pXPpXP1)0() 1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(npP(), 2 , 1 , 0!)(kkekXPk 设连续型随机变量X 的概率密度为 f(x), 若积分 绝对收敛,则称此积分的值为随机变量X的数学期望,记为E(X). 即xxxfd)(2、连续型随机变量的数学期望定义定义2 2(2)xf(x)dxE(X) 则率密度为为连续型随机变量，概设xfX xxfdxxfxxXxPxxx 于是有下面的定义，变量分布律中的，它相

7、当于离散型随机即的概率为取值集中于成是充分小时，可以近似看当 kpdxxfxxfxXx均匀分布密度为服从均匀分布，其概率在设baX, 其它, 0;,1bxaabxf .XE求 2badxabxdxxxfXEba例4解解例5正态分布，其概率密度为，设2NX ,21222xexf .XE求 txdxexXEx令 21222解解dttedtett2222221dtett222分布分布期望期望概率密度概率密度区间(a,b)上的均匀分布其它, 0,1)(bxaabxf2ba E()其它, 0, 0,)(xexfx1N(, 2)222)(21)(xexf常见常见 r.v. 的数学期望的数学期望 连续型随机

8、变量的概率密度为 其它0)0,(10)(akxkxxa又知E=0.75, 求k 和a的值。 1)(dxx111)(|10110akxakdxkxdxxaa例6由性质即 k=a+1 （1） 解解又知 75022102101.akxakdxkx(x)dxxE|aa得 k=0.75a+1.5 (2)由(1)与(2)解得 0.25a=0.5, 即 a=2, k=3 二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为g(X)也是随机

9、变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来. 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的分布求的分布求 得得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，的分布，一般是比较复杂的一般是比较复杂的 . .设Y 是随机变量X 的函数, Y=g(X)(g是连续函数)则有绝对收敛, g(x)f(x)dx(2) X是连续型, 概率密度为f(x). 若)(.g(x)f(x

10、)dxEg(X)E(Y)5则有绝对收敛,若1kkk)pg(x)(.)pg(xEg(X)E(Y)kkk41(1) X是离散型, 分布律为PX=xk=pk, k=1,2,., 定理定理 连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 该公式的重要性在于该公式的重要性在于: : 当我们求当我们求Eg(X)时时, , 不必知道不必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. . 这给求随机这给求随机变量函数的期望带来很大方便变量函数的期望带来很大方便. .例7的概率分布如下：设随机变量X .,2YEXY求的概率分布如下：首先求出2XY

11、学期望定义得出由离散型随机变量的数 8 . 27 . 043 . 00YE0.3 0.3 0.4 2 0 2 P-X解法解法1 10.7 0.3 4 0 PY因此，由定理得为且取这些值的概率依次. 3 . 0 , 3 . 0 , 4 . 0 3 . 023 . 004 . 02gggXgEYE8 . 22 . 16 . 13 . 023 . 004 . 02222解法解法2 2，的可能取值为利用定理，因 2 0 2X .12 的概率分布求函数的概率分布，而不必去在于只需利用已知的简便之处，公式，它比解法直接利用了函数的期望解法xgYX例8 .,sin0YEXYX求上服从均匀分布，在设的概率密度

12、为X ., 00 ,1其它xxf 21sinsin0dxxdxxxfYE则解解设风速V在(0,a)上服从均匀分布, 即具有概率密度.,a,v,af(v)其它001又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数, W=kV2(k0, 常数), 求W的数学期望.由定理有.kadvakvf(v)dvkvE(W)a2022311例9解解.312ka力为即飞机机翼平均受到压 例如, 设Z=g(X,Y)(g是连续函数), 若(X,Y)的概率密度为f(x,y) , 则有(6) , y)dxdyg(x,y)f(x,Eg(X,Y)E(Z) 这里设上面的积分绝对收敛. 上面定理还可推广到两个以上随机变量的函数.又若(X,Y

13、)为离散型随机变量, PX=xi,Y=yj=pij, i ，j = 1,2,., 则有(7) jiijji)p,yg(xEg(X,Y)E(Z)这里设上式的级数绝对收敛.例10的概率分布为，设YX. 2YXE求 式得由故而，对应的概率依次为可能取值为12. 1, 11 , 1, 00 , 1, 01 , 0, 00 , 0,81214181,1 , 1,0 , 1,1 , 0,0 , 0,2ggggYXYXgYX 811 , 1210 , 1411 , 0810 , 02ggggYXE8181121041081081 41 1 21 81 0 1 0 XY解解例11.20 , 10的期望求上服从

14、均匀分布，在矩形域，设XYZyxYX的概率密度为YX,., 0; 20 , 10 ,21,其它yxyxf 式得由 62121102010 xdxydyxdx解解dxdyyxxyfXYE ,设随机变量(X,Y)的概率密度.,.x,xyx,yxf(x,y)其它0112323.求数学期望XYE(Y),E1.dxxxxxxddxxxdxyxxx43123ln231ln23ln3ln12313121213113解解例12 f(x,y)dydxxyXYE11 xyf(x,y)dydE(Y) 11323xxdydxyxxy1xyxy o1.dyyxdxxx53231341三、数学期望的性质三、数学期望的性质

15、(1) 设C是常数, 则E(C)=C.(2) 设X是一个随机变量, C是常数, 则有，则由定义有事实上，因为1 CXP 由定理有的概率密度为设,xfX .XCEdxxxfCdxxCxfCXE .1CCCEE(CX)=CE(X).证证其边缘概率密度为的概率密度为，设, yxfYX dxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE , , YEXEdyyyfdxxxfYX证证 式由6,yfxfYX 此性质可推广到任意有限个随机变量之和.(3) 设X,Y是两个随机变量, 则有E(X Y)=E(X) E(Y).11()nniiiiEXE X(4) 设X,Y是相互独立的随机变量, 则有 E(XY

16、)=E(X)E(Y).的概率密度与边缘概率，互相独立，则与由于YXYX .,yfxfyxfYX 得由 6 dxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEYX , .YEXEdyyyfdxxxfYX密度满足关系式证证 可推广到多个相互独立的随机变量.11()nniiiiEXE X . 0, 0 1 . ETaeTXaX均修理时间都是常数，求计算机平其中来计算，按公式发生故障的元件数，并的长短取决于计算机修理时间的泊松分布服从参数为机发生故障的元件数在某一周期内电子计算例14的概率分布为：发生故障的元件数X ,11., 1 , 0 !aXaXkeETeTEEkkekXP解解又由定理有.!100aae

17、ekkakkakaXeeekeekeeeE . ,2121npXEXEXEXEXXXEpnBXnn证明利用设 . 1 1aeeTE所以. 1 1aeeT间为即计算机的平均修理时例15证证 设XB(n,p),由二项分布的定义知, 随机变量X是n重伯努利试验中事件A发生的次数, 且在每次试验中A发生的概率为p. 引入随机变量.次试验不发生,在第次试验发生,在第,n,kkA,kAXk2101易知 X=X1+X2+.+Xn,(1)由于Xk只依赖于第k次试验, 而各次试验相互独立, 于是X1,X2,.,Xn相互独立.又知Xk,k=1,2,.,n服从同一(0-1)分布:011kkXppp(1)式表明以n,

18、p为参数的二项分布变量, 可分解为n个相互独立且都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和.由E(Xk)=p,则11()().nnkkkkE XEXE Xnp 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).引入随机变量.站有人下车.在第1,站没有人下车,在第0,1021,iiiXi现在来求E(X).例16解解易知 X=X1+X2+.+X10.按题意, 任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.,101,2,i,10911PX,1090PX也就是,1091率为在第i站有人下车的概20i20i20,i20109站下车的概率为第因此20位旅客都不在由此.,i)E(Xi1