第四章相似和量纲分析

1、实验既是发展理论的依据，又是检验理论的准绳。理论可以指导实验，实验可以发展理论。流体力学实验有两种流体力学实验有两种：工程性模型实验，目的在于预测即将建造的大型机械或水工结构上的流动情况。工程性模型实验，目的在于预测即将建造的大型机械或水工结构上的流动情况。探索性的观察实验，目的在于寻找未知的流动规律。探索性的观察实验，目的在于寻找未知的流动规律。由于流体力学的工程问题非常复杂，许多规律是在简化的条件下得到的，必须对其进行实验验证。还有许多问题理论上难以求解，必须使用实验来获得经验，指导应用。流体力学研究中，实验是的非常重要手段第四章第四章 相似和量纲分析相似和量纲分析直接实验方法的不足直接实

2、验方法的不足真实的设备规模大，直接实验成本高，耗时，耗力。并且难以进行系列研究。如三峡水库，飞机，航空设备。这样可以通过建造小型模型的实验方法来模拟大设备来进行科学研究。但是，模型的建立需要遵循一定的规则。4.1 4.1 相相 似似 理理 论论 一、力学相似的基本概念一、力学相似的基本概念 所谓所谓力学相似力学相似:是指实物流动与模型流动在对应点上对应物理量都应有一定的比是指实物流动与模型流动在对应点上对应物理量都应有一定的比例关系。具体来说，应有如下几个方面。（几何、运动、动力相似）例关系。具体来说，应有如下几个方面。（几何、运动、动力相似） 1.几何相似几何相似 模型流动与实物流动有相似的

3、边界形状，一切对应的线性尺寸成比例。或者说模型与实物几何形状相似。pmmp即两个系统的对应长度成同一比例，且对应角相等 长度长度(线性线性)比例尺比例尺 面积比例尺面积比例尺 体积比例尺体积比例尺 长度比例尺是基本比例尺长度比例尺是基本比例尺，面积比例例尺（L2）和体积比例例尺（L3）是导出比例例尺。导出比例例尺与基本比例例尺的关系为导出物理量导出物理量量纲与基本物理基本物理量纲(L)间的关系。或者说对照导出物理量的量纲，可直接写出导出物理量的比例尺。此结论不仅适合于几何相似，也适合于运动、动力相似。lll1222AllAAl333VllVVl规定：用无上标的物理量表示实物流动，有上标的表示模

4、型流动基本比例尺基本比例尺导出比例尺导出比例尺 2.运动相似运动相似 流动的速度场相似（流线形状相同）。即满足几何相似的两系统对应瞬时、对应点上的速度方向相同，大小成同一比例。(速度、时间、加速度、流量、粘度、角速度比例尺等，利用速度和长度比例尺可以表示这些物理量) 速度比尺速度比尺 时间比尺时间比尺 加速度比尺加速度比尺vvv/ltvtl vtlv2/vvatlav tavt速度比尺是其基本比例尺速度比尺是其基本比例尺。基本比例尺基本比例尺导出比例尺导出比例尺 流量比尺流量比尺 运动粘度比尺运动粘度比尺 角速度比尺角速度比尺 可见，一切运动学比尺都是长度比尺长度比尺和和速度比尺速度比尺的函数

5、。速度比尺是运动相似的基本比尺速度比尺是运动相似的基本比尺。3323/lqlvtltqqlt 222/llvtltlt /vlv lvl导导出出比比例例尺尺 3.动力相似动力相似 实物流动与模型流动应该受同种外力作用同种外力作用，而且对应点上的对应力成比例。密度比例尺是第三个基本比例尺，其它动力学的比例尺密度比例尺是第三个基本比例尺，其它动力学的比例尺均可按照物理量的定义或量纲由均可按照物理量的定义或量纲由长度比例尺、速度比例长度比例尺、速度比例尺和密度比例尺确定出来。尺和密度比例尺确定出来。如相应的密度、质量、力、压强、动力粘度、功率的比例尺等。基本比例尺是密度比例尺基本比例尺是密度比例尺密

6、度比例尺 32 MFllvFlF l 质量比例尺 3mlmVmV 力的比例尺22 FmalvFmaFm a 力矩（功、能） 比例尺动力粘度比例尺 l 压强（应力）比例尺2/FpvAFAFA 23MPlvtPP 功率比例尺导导出出比比例例尺尺基本比例尺基本比例尺5、单位质量力或重力加速度比例尺为、单位质量力或重力加速度比例尺为：因为实物和模型均在地球引力作用范围内，重力加速度相同。1ggg1c4、无量纲系数比例尺为、无量纲系数比例尺为：相似的实物流动与模型流动之间存在一切无量纲系数皆对应相等的关系，这提供了在模型流动上测定实物流动中的流速系数、流量系数、流速系数、流量系数、阻力系数阻力系数等等的

7、可能性。222222222yy222222222111xxxxxxxxxxyzyyyyyyyxyzzzzzzzzxvvvdvvvvvpfvvvxxyzdttxyzvvvdvvvvvpfvvvyxyzdttxyzvvvdvvvpfvzxyzdttxzzyzvvvvyz理想流体，0 作用在单位质量流体上的粘性分力纳维-斯托克斯方程（N-S方程）作用在单位质量流体的质量分力作用在单位质量流体的压力流体质点的加速度（惯性力）不可压缩实际流体的运动微分方程式二、相似准则二、相似准则模型流动与实物流动如果存在力学相似，则必然存在众多的比例尺。如果一一检查这些比例尺相似的话，过程及其繁琐。而且也没有必要，下

8、面介绍判断相似的准则。用他们来判断力学相似。设符合模型运动不可压缩流体不可压缩流体的运动微分方程： dtduuxpfxxx21则与其运动相似的实物流体中必与模型中各物理量存在着一定的比例尺关系。故实际运动的方程式可表示为： dtduuxpfxlvxlvlpxg2221方程中每一项的比例尺都是加速度的比例尺，所以各项都相等。 lvlvlpg22将上式前三项分别去除第四项，分别得到下面三个常数：1Froude 弗劳德数弗劳德数，代表惯性力与重力之比。代表惯性力与重力之比。 Frglvlgvglvlgv2222 1Euvpvppv22212Euler欧拉数欧拉数，表压力与惯性力之比。 3Relyno

9、ld雷诺数雷诺数，惯性力与粘性力之比。 Re 1lvvlvldtduuxpfxlvxlvlpxg2221质量力 压力 粘性力 惯性力三个相似准数 雷诺数雷诺数 弗劳德数弗劳德数 欧拉数欧拉数重力惯性力2glvFr惯性力压力2vpEu粘性力惯性力Revl主要反映主要反映粘性力相似粘性力相似主要反映主要反映重力相似重力相似主要反映主要反映压力相似压力相似 这三个等式称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则不可压缩流体定常流动的力学相似准则。判断两个流动是否相似，只要判断这三个准则是否相等。 ReReEuEuFrFr相似准则既是判断流动相似的标准，又相似准则既是判断流动相似的标准，又是设计模型的准则是

10、设计模型的准则。设计模型时，根据比例尺之间的关系确定模型尺寸。即满足：22VglpVlV 如果两个流动力学相似，则它们的上述三个准则数必须相等。于是： 一般情况下，模型与实际流动选用同一种介质。但要做到完全力学相似是很困难的，实际采用近似模型法。V22vvglpl 如果所选择的三个基本比例尺能满足这三个关系，便是完全相似。实际上，很难同时满足。v,l1g12Vl从第三式可得Vl32l即流体的运动粘度比例尺和线性比例尺要保持 显然不现实。因为一般来说模型和实物所用流体一样，比如水、空气。此时 32l1121VlVl除非 ，否则，很难同时满足。 ，又不是模型而是原型实验了1l因此，许多问题需要利用

11、近似模型法来解决，即满足部分法则即可代入第一式，得因为所以弗劳德数 Fr欧拉数 Eu雷诺数 Re1l 近似模型法是针对具体的问题，摒弃不是主要的无关紧要的力。从而不去判断所有的准则数，而只考虑主要的准则数。 水利工程、明渠无压流动中，重力是支配流动的原因，粘性力不起作用或作用不显著，那就只考虑弗劳德准则弗劳德准则即可。 管中流动粘性力起主要作用，那就用雷诺准则雷诺准则。 自动模型区的管中流动、风洞实验及气体绕流，压力是主要的，欧拉欧拉准则。准则。 三、近似模型法1. 用于重力起主要作用，粘性力可忽略的场合。 相似准则为Fr，有： 基本比例尺为： 密度比例尺密度比例尺 和长度比例尺长度比例尺 。

12、12222 vlvvvFrglglg l惯性力；重力l图表示深为H=4m的水在弧形闸门下的流动，求（1）=1, l=10的模型上的水深。（2）在模型上测得流量、收缩断面流速、作用在闸门上的力及力矩分别如下，求各实物上的量。 NmMNFsmvslqv70,50,/3 . 1,/155解：闸门下的水流是水在重力作用下流动，按froude模型法计算 NmMMMNFFFsmvvvsmqqqmHHlMlFlvvlvqvl4443213251075105/11. 4/494 . 012222 vlvvvFrglglg l惯性力；重力 用于粘性力起主要作用，重力影响很小，可忽略的场合。相似准则为Re，有：

13、Revlvlvlv l惯性力；粘性力雷诺模型法的应用广泛，管道流动、液压技术、水利机械多采用。 基本比例尺为： 长度、密度、长度、密度、运动粘度运动粘度比例尺比例尺,l例2 欲用一文丘里流量计测量空气（运动粘度）流量为qvt=2.78m3/s， 该流量计的尺寸为Dt=450mm，dt=225mm， 现设计模型文丘里流量计用t=10度水作试验，测得流量qvm=0.1028m3/s，这时水与空气和流动动力相似。度确定模型文丘里流量计的尺寸。解：影响这一流动主要作用力为粘性力，因此，决定性相似准数为雷诺数mtmtVtVmmttmmmvmttvtmmmtttDDddmmqqdddqdqdvdv7 .9

14、9Re第五章将要讲到粘性流动中的一种特殊现象，当雷诺数大到一定界限以后，惯性力与粘性力之比也大到一定程度，粘性力的影响相对减弱，继续提高雷诺数，也不再对流动现象和流动性能发生质和量的影响，此时尽管雷诺数不同，但粘性效果却是一样的。这种现象叫做自动模型化自动模型化，产生这种现象的雷诺数范围叫做自动模型区自动模型区。雷诺数处在自动模型区时，雷诺准则失去判别作用。2vp用于自动模型区的管中流动，风洞实验及气体绕流等。 3、 欧拉模型法设计模型时，设计模型时，粘性力的影响不再考虑粘性力的影响不再考虑 了了,如果是管如果是管中流动，或者气体流动，其重力影响也不必考虑中流动，或者气体流动，其重力影响也不必

15、考虑了，只考虑压力和惯性力之比的欧拉数即可。比了，只考虑压力和惯性力之比的欧拉数即可。比例尺的制约关系为：例尺的制约关系为： 基本比例尺为vl,4-2 定理和量纲分析方法1、量纲分析的基本知识量纲量纲 ：基本物理量的度量单位 ，是代表物理量单位种类的一种符号，从符号可以看出物理量的属性。如小时、分、秒是不同的时间测量单位单位，但这些单位属于同一时间种类。将这些属于同一种类的单位用t表示，则t是上述时间单位的量纲量纲。流体力学中常采用长度长度L，质量质量M，时间时间T为基本量纲，其他量纲由基本量纲推导出来的，且一般可用三个基本量纲的乘积形式表示。如B为任一物理量，B=LaMbtc.当三个数每一个

16、都为零时，则该物理量为无量纲数。可能是两个同类量的比值，也可能是几个量纲量通过乘积组合而成的。速度速度v力力F密度密度压强压强p动力粘性动力粘性系数系数运动粘性运动粘性系数系数LT-1MLT-2ML-3ML-1T-2ML-1T-1L2T-12、定理经常会遇到这种情况：通过分析知道其中一个物理量N受其余物理量ni的影响，运用已有的理论方法不能确定出描述这种变化的方程式，这时候怎么办呢？实验。如果用依次改变每个自变量的方法实验，不适宜。为了合理地选择实验变量，同时使实验结果具有普遍适用价值，一般需要将物理量之间的函将物理量之间的函数式转化为无量纲数之间的函数式数式转化为无量纲数之间的函数式。用无量

17、纲数之间的函数式所表达的实验曲线具有更普遍的使用价值。怎样确定实验中的无量纲数？定理、量纲分析定理、量纲分析基本原理：基本原理：假定某物理过程与几个物理量有关，则可以用下式表示一个需假定某物理过程与几个物理量有关，则可以用下式表示一个需要研究的物理规律：要研究的物理规律： （4-1） 这这k+1个物理量都有单位和数值。若使用的单位制不同（如国际制、工程个物理量都有单位和数值。若使用的单位制不同（如国际制、工程制、英制等），则物理量的单位和数值也不同，但物理规律是与单位制的制、英制等），则物理量的单位和数值也不同，但物理规律是与单位制的选择无关的。选择无关的。123,( ,. ,.,)ikNf

18、n n nnn现在我们不取通常所用的长度、时间、质量（力）为基本单位，选择式中对所研究的问题有重大影响的几个物理量，例如n1,n2,n3为基本单位。要求：1选择的n1,n2,n3必须相互独立；2且能推导出其它的物理量例如：研究水头损失时选线性尺寸L、流体速度v和流体密度112323iiixyzxyziiNn n nnn n n333111222111111312232323232323,.,.iiiiiiikxyzxyzxyzxyzxyzxyznnnnnNfn n nn n nn n nn n nn n nn n n112323iiixyziixyzNn n nnn n n或那么，4-1式变为

19、：(4-2)44(1,1,1,.,.)(,.,.)ikikff或选择n1,n2,n3 为基本单位，式（4-1）中的所有其它物理量就可以表示成为三个基本单位幂函数与一个无量纲数的乘积。为无量纲数123,( ,. ,.,)ikNf n n nnn这样，通过选择新基本单位的办法，使原来k+1k+1各有量纲的物理量之间的关系式（4-1）变成了k-2k-2各无量纲数之间的函数式（4-2）。这就是著名的泊金汉（E.Buckingham)定理，因为常用表示无量纲数，所以也叫定理。(4-1)二、量纲分析法的应用二、量纲分析法的应用1、列出所求物理量与全部有关变量的函数表达式。2、选择3个基本单位，并把所求物理

20、量和所有变量用无量纲数 表示。3、用国际单位制国际单位制列出所求物理量和所有变量的量纲。4、根据量纲对等原则，分别求所求物理量与全部有关变量的x,y,z。 5、将无量纲数 带回所求物理量的函数表达式。下面通过例子来说明解题步骤。解题步骤：,i ,i 二、量纲分析法的应用（二、量纲分析法的应用（P229例题例题4-4）解：1）p =f(d,v, , ,l, l,) 例题5.3管中流动的沿程水头损失 根据实际观测知道，管中流动由于沿程摩擦造成的压强差 p 与下列因素有关：管径 d、管中平均流速 v、流体密度、流体动力粘度 、管长 l、管壁粗糙度 ，试用定理确定压力降与其它物理量的函数关系。zyxv

21、dp4444zyxvd5555zyxvdl6666zyxvd物理量dvp l量纲LLT1ML3ML1T2ML1T1LL2）选）选d、 v 、 为基本单位，符合基本单位制的两点要求，于是为基本单位，符合基本单位制的两点要求，于是3）各物理量量纲如下）各物理量量纲如下同理分析同理分析 的量纲的量纲 ML1T1 =( L)x4 ( LT1)y4( ML3)z4 解得 x4=1；y4=1；z4=1，有 分析分析l的量纲的量纲 L=( L)x5 ( LT1)y5( ML3)z5 解得 x5=0 ；y5=0 ； z5=1 ，有 2pv41Revdvd5ldzyxvdp4444zyxvd5555zyxvdl6666zyxvd4）