第二十章向量自回归和误差

1、 联立方程组的结构性方法是用经济理论来建立变量之间关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态联系提供一个严密的说明。并且，内生变量既可以出现在等式的左端又可以出现在等式的右端使得估计和推断更加复杂。 为解决这些问题产生了一种用非结构性方法来建立各个变量之间关系的模型，就是这一章所讲述的向量自回归模型（Vector Auto regression, VAR）以及向量误差修正模型（Vector Error Correction, VEC）的估计与分析。同时也给出一些检验几个非稳定变量之间协整关系的工具。 向量自回归（VAR）常用于预测相互联系的时间序列系统以及分析随机扰动对变量系统的动

2、态影响。 VAR方法通过把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而回避了结构化模型的需要。一个VAR(p) 模型的数学形式是： (20.1) 这里 yt 是一个k 维的内生变量，xt 是一个 d 维的外生变量。A1, ,Ap 和B是待估计的系数矩阵。t 是扰动向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关及不与等式右边的变量相关。ttptpttBxyAyAy 11ktttttktttkttktttBXyyyAyyyAyyy2122221211211121 由于仅仅内生变量的滞后值出现在等式的右边，所以不出现同期性问题，并且OLS能得到一致估计。即使扰动向

3、量 t 有同期相关，但OLS仍然是有效的，因为所有的方程有相同的回归量，所以其与GLS是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 滞后项而被调整（absorbed），所以扰动项序列不相关的假设并不严格。212122222112111122211211111CCMIPbbbbMIPaaaaMIPtttttt 作为VAR的一个例子，假设工业产量（IP）和货币供应量（M1）联合地由一个双变量的VAR模型决定，并且让常数为唯一的外生变量。内生变量滞后二阶的VAR(2)模型是： (20.2)其中，aij , bij , ci 是待估计的参数。也可表示成：ttttttCMbIPbMaIPa

4、IP, 1121221111211111ttttttCMbIPbMaIPaM, 2222222112211 , 2111 为了详细说明一个向量自回归模型，必须创建一个VAR对象，选择Quick/Estimate VAR或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口中键入VAR。下面的对话框便会出现： 在对话框内添入适当的信息。 选择无约束向量自回归（ Unrestricted VAR ）或者向量误差修正（ Vector Error Correction ）。前面例子中的VAR是无约束VAR，会在下面详细解释VEC 模型。 在相应的编辑栏中输入适当的内生及外生变量。系统通常会

5、自动给出常数c作为外生变量。如果所列的序列太长，我们可以先建立一个包含这些序列的组对象，然后直接输入组的名字。 这一信息将会告诉EViews哪个滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这一信息应成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例如，滞后对： 1 4 告诉EViews用系统中所有内生变量的一阶到四阶滞后变量作为等式右端的变量。 可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输入。例如： 2 4 6 9 12 12 表示：用 2 4 阶，6 9 阶及第 12 阶滞后变量。 前面例子对话框中的VAR模型。取IP、M1和TB3三个内生变量，这个模型用了1 2 阶滞后变量并且仅仅常数是外生变量。 其余两个

6、菜单（Cointegration 和 Restrictions）仅与VEC模型有关，将在后面介绍。 表中的每一列对应VAR中一个内生变量的方程。对方程右端每一个变量，EViews会给出系数估计值、估计系数的标准误差及 t - 统计量。例如在TB3方程中IP(-1)的系数是0.087563。 (VAR02包含外生变量) 一旦设定了VAR，单击OK。EViews将会在VAR窗口显示估计结果(VAR01) ： 两类回归统计量出现在VAR估计输出的底部： 输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统计量。分别计算每个方程的结果（使用各自的残差项），并被显示在对应的列中。第二部分是VAR系统的回归统

7、计量。 残差的协方差的行列式值由下式得出： (20.3)其中 p 是VAR每一方程的参数个数， t 是 k 维残差向量。通过假定服从多元正态（高斯）分布计算对数似然值： (20.4) 两个信息准则由下面两式算出： 其中 n = k(d + pk) 是VAR中被估计的参数的总数，k 是内生变量数，T 是样本长度，这些信息准则可被用于模型的选择，例如决定VAR的滞后长度；信息准则的值越小模型越好。值得注意的是，一些参考文献通过不同的方法来定义AIC/SC，如在似然函数中忽略常数项或不除以T，请见附录F中关于各种信息准则的附加讨论。tttpT1detlog22log12TTklTnTlAIC22TT

8、nTlSClog2(20.5) 一旦估计一个VAR模型，EViews会提供关于被估计VAR模型的各种视图。这一部分仅讨论与VAR模型有关的特定的视图。其它的视图和过程可参考第19章：系统估计。 在VAR窗口的View/Lag Structure和View/Residual Tests菜单下将提供一系列的诊断视图。这些将有利于检验被估计VAR模型的合适性。 如果被估计的VAR模型所有根的模小于1并且位于单位圆内，则其是稳定的。如果模型不稳定，某些结果将不是有效的（如：脉冲响应标准误差）。共有 kp 个根，其中 k 是内生变量的个数，p 是最大滞后阶数。前面的例子中存在一个根大于1，所以模型是不稳

9、定的(VAR01)。将IP、M1差分得到的VAR模型是稳定的(VAR03) 。 显示VAR在指定的滞后数的条件下的被估计的残差交叉相关图（样本自相关）。交叉相关图能以三种形式显示：有两种表格形式，一种是以变量来显示（Tabulate by Variable），另一种是以滞后阶数来显示(Tabulate by Lag)。曲线图（Graph）显示交叉相关图的矩阵形式。点线代表滞后的相关系数加减两倍的渐近标准误差的曲线图（以 计算）。 计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Q统计量。同时计算出Q统计量和调整后的Q统计量（即：小样本修正）。在的条件下，两个统计量都近似的服从自由度为的 2 统计量，

10、其中p为VAR滞后阶数。T1)(2phk 计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。滞后h阶数的检验统计量是通过关于原始右侧回归量残差 ut 和滞后残差 ut-h 的辅助回归运算计算得到的，这里 ut-h 缺少的前h个值被赋予0。参考Johansen (1995a.p.22)LM统计量的计算公式。在的条件下，LM统计量渐近的服从自由度为 k2 的 2 统计量 。 计算残差的J-B正态检验，这种检验主要是比较残差的第三、第四阶残差矩与来自正态分布的那些矩。对于多变量检验，必须选择一k维残差分解因子，使其与其他的每一个残差都是正交的（参考脉冲相应函数对正交的详细讨论）。 设 P 是

11、如下的 因子分解矩阵： （20.7）其中 ut 是不符合要求的残差序列。), 0(kttINPuv kk定义第三、第四阶矩向量为：则在的条件下，有：因为每一个组成部分之间是相互独立的，所以对任意的这些第三、第四阶矩平方求和可形成一个 2 统计量。EViews为每一个正交分量（标明残差1、残差2等等）和整体检验都提供检验统计量。对于单个分量，被估计的偏度(skewness)和峰度(kurtosis)被列出在前两块中，J-B统计量列在第三块。 这些检验是针对系统方程的Whites检验的扩展。这个回归检验是通过残差序列每一个回归量交叉项乘积的回归来实现的，并检验回归的显著性。ttTvm33ttTvm

12、44kkIINmm24006, 0343 No Cross Terms 选项仅仅用于原始回归量的水平值及平方项检验。 With Cross Terms 选项包括被检验方程中原始回归变量所有的非多余的交叉乘积检验，回归方程还包括一个常数项作为回归量。 输出的第一部分显示每一个被检验的回归方程除常数项之外的回归量的显著性。可以把每一个回归方程的检验作为残差协方差矩阵的每一个元素独立的不变性检验。在的条件下，非常数回归量不是联合显著的。 在输出的最后一行显示被检验方程系统的所有回归量的 LM 2 平方统计量的联合显著性。系统的 LM 统计量服从自由度为 mn 的 2 分布，其中 m = k (k +

13、 1)/2，是系统残差交叉乘积的个数；n 为检验回归方程中通常形式下右边的变量个数。 一旦已经估计了VAR模型，EViews会提供很多方法利用已估计的VAR来进行进一步的分析。在实际应用中，VAR的主要用处是脉冲响应分析，方差分解和 Granger 因果检验。 用时间序列模型来分析影响关系的一种思路，是考虑扰动项的影响是如何传播到各变量的。以下先根据VAR(2)模型来说明脉冲响应函数的基本思想。 (20.8)其中， 是参数，扰动项为 ，假定是具有下面这样性质的白噪声向量：ttttttttttttzdzdxcxczzbzbxaxax222112211122112211iiiidcba,),(21

14、tttv 现在假定上述系统从期开始活动，且设 ，又设于第期给定了扰动项 ，并且其后均为，即 ,t ，称此为第期给 x 以脉冲，下面讨论 xt 与 zt 的变化，于第期02121zzxx0, 120100, 100zx将其结果代入(20.11)式，第1期1111,czax再把此结果代入(20.11)式，第2期 112112cdcacz,112212cbaax021ttstvvtvvvVartvsttttt,0)(,00)()(,0)(2221 继续这样计算下去，设求得结果为 称为由 x 的脉冲引起的 x 的响应函数。同样求得称为由 x 的脉冲引起的 z 的响应函数。 当然，第期的脉冲反过来，从

15、出发，可以求出由 z 的脉冲引起的 x 的响应函数和 z 的响应函数。因为以上这样的脉冲响应函数明显地捕捉对冲击的波动及效果，所以和计量经济模型的冲击乘数分析类似。 ,43210 xxxxx,43210zzzzz1,02010 将上述讨论推广到多变量VAR模型上去(20.9)也可改写为 这里 yt 是一个k 维内生变量向量，t 是协方差矩阵为 的扰动向量。tptpttyAyAy11ttppyLALAI)(1 假如VAR(p)可逆，我们可以得到VMA()的表达式: (20.10) VMA表达式的系数可按下面的方式给出： VAR的系数A和VMA的系数 必须满足下面关系： (20.11)其中， 。关

16、于 的条件递归定义了VMA系数： ILCLCI221021CC11A2112AAttpptLLILALAIy)()(22111ILLILALAIpP)(2211从而可知VMA的系数可以由VAR的系数递归得到。 qCpqPqqqAAA.2211 考虑VMA()的表达式 设 ，y 的第i个变量 可以写成： 其中k 是变量个数。 仅考虑 2个变量(k = 2)的情形： ity)(3, 32, 21, 1, 01jtijjtijjtijjtijkjity 现在假定在基期给 一个单位的脉冲，即： 2 1 0 1 2 3 4 5 t1yelsett, 00, 11ttLLIy)(2210)(, ijqq2

17、,22, 122,221,212,211,21,21, 122, 121, 112, 111, 1,2, 122,021,012,011,021ttttttttyytt,02110由 的脉冲引起的 的响应函数：1y2y21, 221, 121, 0,21, 44, 221, 33 , 221, 22, 221, 11 , 221, 00, 2, 4, 3, 2, 1, 0ytytytytyt 由上述推导可知由 的脉冲引起的 的响应函数序列是由VMA()中系数矩阵 第2行，第1列的元素组成, q = 1 , 2 , 。因此，一般地，由 的脉冲引起的 的响应函数可以求出如下：其中， 代表着对第j个

18、变量的单位冲击引起第i个变量的第q期滞后反映。jyiy, 4, 3, 2, 1, 0ijijijijij)(, ijqq1y2y2yijq, 由以上讨论可知，对第i个变量的冲击不仅直接影响第i个变量，并且通过VAR模型的动态（滞后）结构传导给所有的其它内生变量。脉冲响应函数描绘了在一个扰动项上加上一次性的一个冲击(one-time shock)，对于内生变量的当前值和未来值所带来的影响。 假如扰动项 同期不相关，那么脉冲响应的解释就很直接。第i个扰动项 就只对第i个内生变量有一个冲击。然而，扰动之间大都是相关的，可以描述为它们有一个与被指定变量不相关的公共成分。为了解释脉冲，最常用的方法是引进

19、一个转换矩阵，使扰动项变成不相关： 这里D是对角协方差矩阵。如下面所说明的，EViews提供多种关于P的选择方法。tti,), 0(DNPvtt 对于任意实对称正定矩阵，存在惟一一个主对角线元素为1的下三角形矩阵A和惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵D使得 （20.12） 利用这一矩阵A可以构造一个 向量 ，构造方法为 , 设 ,则 由于D是对角矩阵，可得 的元素互不相关。其（j, j）元素是 的方差。令 表示其（j, j）元素为 的标准差的矩阵。注意到（20.12）可写为 （20.13） 其中式（20.13）被称为乔利斯基（Cholesky）分解。 AAD PPADAD212121ADP 2

20、1D) 1( T)(ttEtvtvttAv1jtvjtvDAAADAAAAEAvvEtttt111111)()( 为了得到脉冲响应函数，先建立一个VAR模型，然后在VAR工具栏中选择View/Impulse Response或者在工具栏选择Impulse，并得到下面的对话框，有两个菜单：Display 和 Impulse Definition 选择以图或表来显示结果。如果选择Combined Graphs 则Response Standard Error选项是灰色，标准误差不被显示。而且应注意：输出表的格式是以响应变量的顺序显示，而不是脉冲变量。 输入希望产生冲击的变量（Impulses）和希

21、望观察其脉冲响应的变量（Responses）。可以输入内生变量的名称，也可以输入变量的对应的序数， 例如：如果VAR模型以GDP，M1，CPI的形式定义，则既可以以：GDP CPI M1的形式输入，也可以以： 1 3 2的形式输入。输入变量的顺序仅仅影响结果的显示。 还应定义一个确定响应函数轨迹期间的正整数。为了显示累计的响应，需要单击Accumulate Response选项。对于稳定的VAR模型，脉冲响应函数应趋向于0，且累计响应应趋向于某些非0常数。 提供计算脉冲响应标准误差的选项。解析的或Monte Carlo标准误差对一些Impulse选项和误差修正模型（VEC）一般不一定有效。若选

22、择了Monte Carlo，还需在下面的编辑框确定合适的循环次数。 设置脉冲为残差的一个单位的冲击。这个选项忽略了VAR模型残差的单位度量和相关性，所以不需要转换矩阵的选择。这个选项所产生的响应函数是VAR模型相对应VMA()()模型的系数。 设置脉冲为残差的一个标准偏差的冲击。这个选项忽略了VAR残差的相关性。 用残差协方差矩阵的 Cholesky 因子的逆来正交化脉冲。这个选项为VAR模型的变量强加一个次序，并将所有影响变量的公共成分归结到在VAR系统中第一次出现的变量上。注意：如果改变变量的次序，将会明显地改变响应结果。可以在 Cholesky Ordering 的编辑框中重新定义VAR

23、中变量的次序。 ttjtipTee)/(,其中p是VAR每一个方程中的参数个数。 估计残差协方差矩阵的第（i, j）元素的计算是按下列公式计算的： ttjtiTee/, 描述Pesaran和Shin(1998)构建的不依赖于VAR中变量次序的正交的残差矩阵。应用以上面的Cholesky顺序计算的第j个变量的Cholesky因子得到第j个变量的扰动项的广义脉冲响应。 在估计的残差协方差矩阵利用Cholesky 因子时进行小样本的自由度修正。具有自由度修正的残差协方差矩阵的第(i, j)元素的计算是 按下列公式计算的： 用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵。如果没有先估计一个结构因子分解矩阵，这个

24、方法是不能用的。 在这个选项中允许自己定义脉冲。建立一个包含脉冲的矩阵（或向量），并在编辑框中输入矩阵的名字。如果VAR模型中有k个内生变量，则脉冲矩阵必须是k行和1列或 k 列的矩阵，每一列代表一个脉冲向量。 例如：一个有k（= 3）个变量的VAR模型，希望同步对第一个变量有一个正的一个单位的冲击，给第二个变量一个负的一单位的冲击，可以建立一个的脉冲矩阵，值分别为：1，-1，0。可以用命令执行如下： matrix(3,1) shock shock.fill(by=c) 1,-1,0并在编辑框中键入矩阵的名字: shock 。 近几年来，随着国民经济的稳定增长，我国建材、汽车、机械、家电等主要

25、的钢材需求行业得到了快速的发展，有效地拉动了全社会对钢材的需求。本例选择钢铁行业及其主要的下游行业的销售收入数据做为各行业的需求变量，通过向量自回归模型（VAR模型）的脉冲响应函数分析各下游行业自身需求的变动对钢铁行业需求的影响。 设VAR(3) 模型为： 式中，Yt是由5个内生变量组成的向量，即Yt = (machinet electric_ht build_mt cart steelt)，其中 machinet : 机械销售收入；electric_ht : 家电销售收入； build_mt : 建材销售收入；cart : 汽车销售收入；steelt : 钢材销售收入， t 为扰动向量，A1

26、 , A2 , A3 为参数矩阵。 对Yt 所选用的5个变量的时间序列进行了协整检验，检验的结果表明各变量之间满足协整关系。这表明，所选的各下游行业的销售收入与钢铁工业的销售收入之间具有长期的均衡关系。在短期内由于随机干扰，这些变量可能偏离均衡值，但这种偏离是暂时的，最终会回到均衡状态。 tttttYAYAYAY332211 下面分别给各行业销售收入一个冲击（选择乔利斯基分解），得到关于钢材销售收入的脉冲响应函数图。横轴表示冲击作用的滞后期间数（单位：月度），纵轴表示钢材销售收入（亿元），实线表示脉冲响应函数，代表了钢材销售收入对相应的行业销售收入的冲击的反应。 y1：机械； y2：家电； y

27、3：建材； y4：汽车； y5：钢材 1、从图中我们可以看出，机械行业销售收入的正冲击经市场传递会给钢材销售收入带来正面的影响，并且此影响具有较长的持续效应。 2、当给家电行业销售收入一个正冲击后，也会给钢材销售收入带来正面的冲击，但是冲击幅度不是很大。 3、给建材行业销售收入一个正冲击后，钢材销售收入在前4期内小幅上下波动之后在第6期达到最高点；从第9期以后开始稳定增长。这表明建材行业受外部条件的某一冲击后，经市场传递给钢铁行业，给钢铁行业带来同向的冲击，冲击效应在第6个月时达到最大之后逐渐回落在第9个月之后趋于稳定。即建材行业销售收入的正向冲击对钢材的销售收入具有显著的促进作用，并且这一显

28、著促进作用具有较长的持续效应。 4、给汽车行业销售收入一个正冲击后，钢材销售收入在前4期内会上下波动；从第4期以后开始稳定增长。这表明汽车行业的某一冲击也会给钢铁行业带来同向的冲击。即汽车行业销售收入增加会在4个月后对钢材的销售收入产生稳定的拉动作用，反之如果汽车行业销售收入的降低也会在4个月后给钢铁行业带来负面的冲击。 脉冲响应函数描述的是VAR中的一个内生变量的冲击给其他内生变量所带来的影响。而方差分解是把内生变量中的变化分解为对VAR的分量冲击。因此，方差分解给出对VAR中的变量产生影响的每个随机扰动的相对重要性的信息。 脉冲响应函数是随着时间的推移，来观察模型中的各变量对于冲击是如何反

29、应的，然而对于只是要简单地说明变量间的影响关系又稍稍过细了一些。因此Sims于1980年依据 VMA()表示，提出了方差分解方法，定量地但是相当粗糙地把握变量间的影响关系。其思路如下： 由VAR( p)模型: (20.14)相应的VMA()表示为: tptpttyAyAy11(20.15)可知第i个变量 可以写成： (20.16)其中k 是变量个数，(20.16 )式中各括号中的内容是第j个扰动项 从无限过去到现在时点对第i个变量 影响的总和。求其方差，因为 无序列相关，故jiyjtj = 1 ,2 ,.,k (20.17) 这是把第j个扰动项对第i个变量的从无限过去到现在时点的影响，用方差加

30、以评价的结果。此处还假定扰动项向量的协方差矩阵 是对角矩阵。 ttLLIy)(2210)(3, 32, 21, 1, 01jtijjtijjtijjtijkjityity22,022, 21, 1, 0)()(jjijqqjtijjtijjtijE 于是 的方差 是上述方差的 k 项简单和 (20.19) 的方差可以分解成k种不相关的影响，因此为了测定各个扰动相对 的方差有多大程度的贡献，定义了如下尺度： i , j = 1 , 2 , , k (20.20)ity)var(ity 即RVC（Relative Variance Contribution）（相对方差贡献率）是根据第j个变量基于冲

31、击的方差对 的方差的相对贡献度来观测第j个变量对第i个变量的影响。实际上，不可能用直到 s = 的来评价 ，只需有限的s项。 VAR ( p ) 模型的前s期的预测误差是 ity112211tsststst (20.21)ityity)()var(22,01jjijqqkjity)()()var()()(22,0122,022,0jjijqqkjjjijqqitjjijqqijyRVCijq, 故： i ,j = 1 , 2,k (20.22) 如果 大时，意味着第j个变量对第i个变量的影响大，相反地， 小时，可以认为第j个变量对第i个变量的影响小。)(sRVCij )(sRVCij 为了得到

32、VAR的方差分解，从VAR的工具栏中选View/Variance decompo- sition项。提供和上面的脉冲响应函数一样的信息。注意，因为非正交的因子分解所产生的分解不具有较好的性质，所以所选的因子分解仅限于正交的因子分解。 )()()(22,10122,10jjijqsqkjjjijqsqijsRVC Table形式分别显示对每个内生变量的方差分解。与脉冲响应函数一样，如果改变VAR中变量的顺序，基于Cholesky 因子的方差分解能有明显的改变。例如：在VAR次序排列中的第一个变量的第一期分解完全依赖于它自己的扰动项。 第二列S.E.是每个预测水平上的变量的预测误差。出现这种预测误

33、差的原因是：VAR中的各个内生变量的扰动项的现在值和将来值的变化。其余列显示了每个变量扰动项所引起的预测方差所占的百分数，每行加起来是100。 我们考虑例1中机械行业 (y1)、家电行业 (y2) 、建材行业 (y3) 、汽车行业(y4) ，各下游行业需求冲击对钢材需求(y5)的方差贡献率，其经济意义为： 较大时，意味着第 j 个行业需求冲击对钢材需求的影响大； 相反地， 较小时，可以认为第 j 个行业需求冲击对钢材需求的影响小。 下面分别给出各下游行业销售收入的变化对钢材销售收入的方差分解图。图中横轴表示滞后期间数（单位：月度），纵轴表示该行业需求对钢材需求的贡献率（单位：百分数）。)(5s

34、RVCj)(5sRVCj 从上面4个图中我们可以看出，不考虑钢铁行业自身的贡献率，建材行业对钢铁行业的贡献率最大在36%左右，其次是机械行业在21%左右，汽车行业对钢铁行业的贡献率是逐渐增加的，在第20期左右达到20%，家电行业的贡献率较小仅为5%左右。 VAR过程(procs)中多数的过程和系统对象（System）的过程一样，在这里仅就对VAR特有的过程进行讨论。 这个过程产生一个包括等同于VAR详细定义的对象。如果想估计一个非标准的VAR，可以通过这个过程建立一个相应于VAR的系统对象，经过修改建立合适的联立方程系统。 例如：如果VAR对象要求每一个方程有相同的滞后结构，就可以放宽这个条件

35、。这一过程有两个选择： 该选项产生一个系统，其说明和系数的显示是以变量的次序来显示。如果想排除系统某些方程中特定变量的滞后来进行编辑，可以选用这个选项。 产生一个以滞后数的次序来显示其详细的说明和系数的系统。如果想排除系统某些方程中特定的滞后来进行编辑，可以用这个选项。 注意：标准VAR可以用单方程OLS方法来有效地估计，对于调整后的系统一般不能出现这种情况。当用系统对象估计非标准的VAR模型时，可以用更复杂的系统估计方法（如：SUR）。 很多宏观经济时间序列可能包含单位根，这一发现刺激了非平稳时间序列分析理论的发展。Engle和Granger（1987a）指出两个或多个非平稳时间序列的线性组

36、合可能是平稳的。假如这样一种平稳的或 I ( 0 ) 的线性组合存在，这些非平稳（有单位根）时间序列之间被认为具有协整关系(Cointegration)。这种平稳的线性组合被称为协整方程且可被解释为变量之间的长期均衡关系。例如，消费和收入可能具有协整关系。假如它们不具有，那么长期消费就可能比收入高或低，于是消费者便会非理性地消费或累积储蓄。 协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整检验，如下面将要介绍的Johansen协整检验。另一种是基于回归残差的协整检验，如CRDW(Cointegration Regression Durbin-Watson)检验、DF检验、ADF检验。 考虑 k 个 变量的时间序列 ，我们可以建立如下的三种协整回归方程： (20.23) 1 ( I,21tkttyyyTtk,2, 1,1(20.24)(20.25)其中 为扰动项。tukjtt jjtuyy21kjtt jjtuyay201kjtt jjtuytaay2201),(32k b),(21kttttyyyy 那么残差 ，如果 k = 1 ， ，就是单位根检验；如果 k 1，就是检验单个序列 的单整性或检验之间 y1t , y2t , , ykt 的协整性，问题也就变成了判断 是否为I(