第五章控制系统的频域分析

1、第五章 控制系统的频率特性Frequency-response analysis.1频率特性的基本概念.频率特性表示法.控制系统的闭环频响. 时域指标和频域指标之间的关系.5 几何稳定判据.6相对稳定性（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。频域分析的特点：1 频率特性的基本概念1频率响应：指控制系统对正弦输入信

2、号的稳态正弦输出响应。对于线性定常系统，任何输入信号的输出响应都是由瞬态响应和稳态响应两部分组成，同样正弦输入也不例外。但在正弦输入信号作用下其输出的舜态部分不是正弦信号，而稳态部分是与原输入的正弦信号频率相同的正弦波形，其幅值和相位都与输入有所不同。 例：如图所示的机械系统，K为弹簧刚度系数，单位N/m，C是阻尼系数，单位m/s.N,当输入力为正弦信号f(t)=Fsinwt时，求其位移x(t)的稳态响应 )()()(tftxCtKx11111)()()(TsKsKCKKCssFsXsGwtFtfsin)(22)(wswFsF)()()(sFsGsX解：列写力平衡方程 其传递函数为： 拉氏变换

3、： 输出位移2232122111wsKsKTskwsFwsKCKTteTwKFwTarctgwTwtwTKFtx22221)sin(1)(上式中第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量，当时间t趋向于无穷大时为零。系统稳态输出为：)(sin)(sin)()sin(1)(22wwtXwwtFwAarctgwTwtwTKFtxf(t)KcX(t)2)(11)(TwKFXwAarctgwTw)(其幅值为：X=A(w)F 相位为： )(wA)(w从上式的推导可以看出，频率响应是时间响应的一种特例。正弦输入引起的稳态输出是频率相同的正弦信号，输入输出幅值成比例相位都是频率w的函数且与系统的参数C,K有关二二

4、频率特性及其求解方法频率特性及其求解方法1频率特性：指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入幅值比 和相位差随输入频率的变化关系。用G(jw)表示 )(wA)(w)()()(ImIm)()()(wjjwtwwtjewAeFeXjwfjwxjwG2)(11)()(TwKFXjwGwAarctgwTjwGw)()( G(jw)称为系统的频率特性，其模 称为系统的幅频特性，相位差 称为相频特性)(wA)(w2频率特性求解（1）根据已知系统的微分方程或传递函数，输入用正弦函数代入，求其稳态解，取输出和输入的复数比（2）根据传递函数来求取（3）通过实验测得令传递函数中的s=jw则得到频率表达式G

5、(jw)，又由于G(jw)是一个复变函数，可在复平面上用复数表示，分解为实部和虚部，即：)()()()()(wjewAwjVwUjwG)(cos)()(wwAwU )(sin)()(wwAwV)()()(22wVwUwA)()()(wUwVarctgw 237)(ssG)4532sin(71tEg2. 某闭环系统传递函数为，当输入为时，试求系统稳态输出。 解：正弦输入信号系统输出与输入频率相同，其输出幅值与相位取决于系统幅频特性与相频特性237)(jwjwG497)(2wwA)4532sin(71)(ttxi )23()(warctgw系统输出幅值为： 42)(71wAX输出相位： 045)3

6、223(45)32(arctg系统输出响应为：ttXty32sin42)32sin()(52 频率特性的表示法频率法是一种直观的图解法，表示形式为： 奈魁斯特图（Nyquist）或称幅相频率特性，它通过极坐标来表示频率特性G(jw)中的幅值和相位间的关系。伯德图（(Bode)，又称对数频率特性图，它由半对数坐标系上来表示的幅频特性和相位特性图组成。尼柯尔斯图（Nichols），又称对数幅相频率特性图，它在对数坐标系中表示G(jw)的幅值和相角间的关系。一. 幅相频率特性图（Nyquist） 典型环节的幅相频率特性曲线1比例环节 传递函数 频率特性 KsG)(KjwG)(KwVwUwA)()()

7、(220)()()(wUwVarctgwUKjV2积分环节 传递函数 频率特性 ssG1)(wjjwjwG11)(wwVwUwA1)()()(2290)()()(wUwVarctgw 当w=0 A(w)= 当 w A(w)=0 UwjV传递函数 频率特性 3微分环节 ssG)(jwjwG)(wwVwUwA)()()(2290)()()(wUwVarctgw 当w=0 A(w)=0 当 w A(w)= UwjV传递函数 频率特性 4惯性环节 11)(TsSG2)(1111)(TwjTwTjwjwG2)(11)(TwwU2)(1)(TwTwwV222)(11)()()(TwwVwUwA)()()(

8、)(TwarctgwUwVarctgw 0)(w当w=0 A(w)=1 w=1/T 21)1(TA45)1(T w A(w)=0 90)( UwjV(0.5,j0)传递函数 频率特性 5.一阶微分1)( TsSG1)(TjwjwG222)(1)()()(TwwVwUwA)()()()(TwarctgwUwVarctgw 当w=0 A(w)=1 0)(ww A(w)= 90)(UwjV(1,j0)G(jw)传递函数 频率特性 6.振荡环节 222222121)(nnnssTssTsG2222222)2()(1 2)(12)(111)(2)(1)(TwTwTwjTwTwjTwjwTjwTjwG22

9、22)2()(1 )(1)(TwTwTwwU222)2()(1 2)(TwTwTwwV22222)2()(1 1)()()(TwTwwVwUwA)(12)()()(2TwwTarctgwUwVarctgw UwjV=0.8=0.5=0.3(1,j0)当w=0 A(w)=1 0)(ww A(w)=0 w=1/T 21)1(TA90)1(T 180)(当小到一定程度时其振幅会有峰值出现，称这个峰值为谐振峰值Mr，所对应的频率为谐振频率wr。 0)2()(1 1)(222rwwTwTwdwddwwdA2221211nrwTw谐振峰值出现的条件（ ）707. 02222121)2()(1 1)(rww

10、rrTwTwwAM0nww 当时，A(w)= 当时， 0nww 21)(wAnww 系统幅相频率特性为： 当21)(jjwGn 幅角为-90传递函数 频率特性 7.二阶微分12)(22TssTsG12)()(22TjwjwTjwG22222)2()(1 )()()(TwTwwVwUwA2)(12)()()(TwwTarctgwUwVarctgw 当w=0 A(w)=1 0)(ww=1/T 2)1(TA90)1(T w A(w)= 180)(UwjV132(1,j0)12 3 传递函数 频率特性 8.延时环节 sesG)(TwjTwejwGjwsincos)(TwwUcos)(TwwVsin)(

11、1)()()(22wVwUwATwwUwVarctgw)()()(UwjV(0.5,j0)(1,j0)Eg1. 已知系统传递函数为，试画其奈氏曲线图 11)(TsssG解：将传递函数化为频率特性 22)(1)(111)(TwwTjwTTjwjwjwG22)(11)(TwwTwU2)(1)(11)(TwwTTjwjwwV2222)(1)(1)()()(TwwwVwUwA)(1)()()()(2TwarctgwarctgwTwTwUwVarctgw当w=0 A(w)=1 0)(ww TwA)(0)( UwjV(1,j0)wT要画准确的奈氏曲线需计算不同频率下的幅值和相位，或实部和虚部得到相应的各点

12、，将各点顺次连接得到奈氏曲线。若系统传递函数是由多个环节组成，幅频特性曲线其幅值是各环节幅值的乘积，相角是各环节相位相加。)()()()(21wAwAwAwAn)()()()(21wwwwn 二对数频率特性图（Bode）一概念：奈魁斯特曲线不能表示系统各环节的单独作用，而且计算工作量较大，因此对频率特性中的幅频特性取对数，各环节的幅值相乘变为相加，曲线可用直线代替，这样绘出的图形简单、方便、直观地表示各环节的作用。对数幅频特性图：将幅频特性A(w)取常用对数后再乘以20记为：L(w)=20lgA(w),单位(dB)对数幅频特性坐标系中，横坐标采用对数分度，但标注时只标w，纵轴采用线性分度。横轴

13、上频率满足的关系：若在横轴上任取两点，使两点间的频率满足w2/w1=10，则w1与w2间距离为1=lg(w2/w1)=lg10 一个10倍频程：不论坐标轴的起点是多少，只要角频率w变化10倍，在横轴上线段长度均为1个单位（dec） 二 典型环节的Bode图 1比例环节KjwG)(KwVwUwA)()()(22KwAwLlg20)(lg20)(0)()()(wUwVarctgw 不改变曲线的形状，只改变L(w)的大小 wL(w)/dBw20lgK(w)2.积分环节wjjwjwG11)(wwwAwLlg201lg20)(lg20)(90)()()(wUwVarctgw wL(w)/dBw20(w)

14、0.11-90-20dB/dec3微分环节 jwjwG)(wwAwLlg20)(lg20)(90)()()(wUwVarctgw wL(w)/dBw-20(w)0.119020dB/dec4惯性环节 2)(1111)(TwjTwTjwjwG222)(11)()()(TwwVwUwA22)(1lg20)(11lg20)(lg20)(TwTwwAwL)()()()(TwarctgwUwVarctgw当当wT1（高频）（高频）L(w)-20lgTww=1/T dBwL32lg2011lg20)(45)1(T当当w w2 2/w/w1 1=10 =10 时（频率变化时（频率变化1010倍幅值变化多少）

15、倍幅值变化多少） wT=1/T时曲线误差最大为时曲线误差最大为-3dB，称，称wT为转折频率。为转折频率。惯性环节具有低通滤波的作惯性环节具有低通滤波的作用用 dBTwTwTwTwwLwL20lg20lg2020lg20lg20)()(111212wL(w)/dBw(w)01/T-90-20dB/dec-451/T5一阶微分1)(TjwjwG2)(1lg20)(lg20)(TwwAwL)()()()(TwarctgwUwVarctgw wL(w)/dBw(w)01/T9020dB/dec451/T6振荡环节2222222)2()(1 2)(12)(111)(2)(1)(TwTwTwjTwTwj

16、TwjwTjwTsG222)2()(1 1lg20)(lg20)(TwTwwAwL)(12)()()(2TwwTarctgwUwVarctgwwL(w)/dBw(w)01/T-180-40dB/dec-901/T当当wT1（高频）L(w)-20lg(Tw)2=-40lgTw W=1/T=WW=1/T=Wn n时时, ,高频段高频段L(w)0 L(w)0 90)1(T当当w w2 2/w/w1 1=10 =10 时（频率变化时（频率变化1010倍幅值变化多少）倍幅值变化多少） dBTwTwTwTwwLwLwL40lg40lg4040lg40lg40)()()(1112127.二阶微分 12)()

17、(22TjwjwTjwG222)2()(1 lg20)(lg20)(TwTwwAwL2)(12)()()(TwwTarctgwUwVarctgw wL(w)/dBw(w)01/T18040dB/dec901/T8.延时环节TwjTwejwGjwsincos)(0)(lg20)(wAwLTwwUwVarctgw)()()(wL(w)/dBw(w)三.绘制伯德图的步骤（1）将传递函数G(s)化为由典型环节组成的形式 （2）令s=jw，求得频率特性G(jw)（3）找出各环节的转折频率，并作各环节的渐近线（4）将各环节的对数幅值相加得到系统幅频特性曲线（5）作各环节相位曲线，然后相加得到系统相频曲线（

18、6）如要得到精确曲线，对各渐近线进行修正Eg3 作传递函数为 的Bode图 )205. 0)(25()5 . 025. 0(24)(ssssG解：将传递函数化为典型环节) 1025. 0)(15 . 2() 15 . 0( 3) 1025. 0)(15 . 2(22) 15 . 0(5 . 024)(sssssssGwL(w)/dBw(w)0-90-20dB/dec-450.4121040 1000.4-20102020dB/dec-20-20045231) 1025. 0)(15 . 2() 15 . 0(3) 1025. 0)(15 . 2(22) 15 . 0(5 . 024)(wjwj

19、wjsssjwGL1(w)=20lg3=9.5dBj0.5w+1 w1=1/T=2 各环节的转折频率1/(j2.5w+1) w2=1/T=0.4 1/(j0.025w+1) w3=1/T=40 Eg4 作传递函数为 的Bode图 )2)(2()3(10)(2ssssssG解：化为标准传递函数) 15 . 05 . 0)(15 . 0() 131(5 . 7) 15 . 05 . 0)(15 . 0(22) 131(310)(22sssssssssssG) 1)(5 . 0)(5 . 0)(15 . 0() 131(5 . 7)(2jwjwjwjwjwjwGww(w)0.1-90-20dB/de

20、c-225132104017.5-60-20-80-270-180L(w)/dB-60602L1(w)=20lg7.5=17.5(1/3jw+1) w1=1/T=3 (1/jw) 过（1，j0）点 1/(0.5jw+1)w2=1/T=2 1/(0.5(jw)2+0.5jw+1) 25 . 0113Tw比例环节的幅值比例环节的幅值和各转折频率和各转折频率5.3 控制系统的闭环频响一由开环频率特性估计闭环频率特性开环频率特性是指开环传递函数用s=jw代入所得的频率特性。设开环频率特性为G(jw)H(jw)，而闭环频率特性为)()(1)()()(0jwHjwGjwGsXsXi设系统为单位反馈控制系统

21、，则有H(jw)=1,系统传递函数为 )(1)()()(0jwGjwGjwXjwXiG(s)H(s)+X0(s)Xi(s)在低频段时 ，则有： 1)(jwG1)(1)()()(0jwGjwGjwXjwXi在高频段时 ，则有： 1)(jwG)()(1)()()(0jwGjwGjwGjwXjwXi在单位反馈系统中（最小相位）如果输入是低频信号，则输入与输出近似认为相同，而在高频时，闭环频率特性与开环频率特性相似 二频率特性的性能指标1截止频率wb和带宽wBw wL(w)/dB0WrWbWBW-3dB20lgMr 截止频率（wb）：指闭环对数幅值L(w)下降到-3dB时对应的频率系统带宽（wBw或频

22、关）：指闭环系统的对数幅值不低于-3dB时所对应的频率范围（）bBWWW02谐振峰值Mr和谐振频率Wr谐振峰值Mr ：闭环频率特性幅值的最大值只与阻尼比有关2121Mr标志系统相对稳定性的一个指标 谐振频率Wr：系统发生谐振峰值处的频率称为谐振频率 表征了系统的响应速度，Wr越大系统带宽越宽响应速度越快 三最小相位系统1最小相位系统：在复平面s右半部分无零点或极点的传递函数称为最小相位传递函数，该传递函数所描述的系统称为最小相位系统 2非最小相位系统：控制系统的传递函数中存在零、极点位于复平面s的右半部分，这样的系统称为非最小相位系统 sTsTsG21111)(sTsTsG21211)( -1

23、/T1jw-1/T21/T1jw-1/T222211)(1)(1)(wTwTwAwarctgTwarctgTw211)(22212)(1)(1)(wTwTwAwarctgTwTarctgw212)()(wL(w)/dBw(w)0-180-20dB/dec-90W2W1-2020021-20四由实验确定系统传递函数 建立系统数学模型方法有：（）采用数学公式推导（2）由实验方法 1系统类型和增益K的确定设系统频率特性为： )1 ()1)(1)(1 ()()1 ()1)(1 ()(321121wjTwjTwjTwjTjwwjwjwjkjwGnm为串联积分环节的数目 当 0w)()(limjwkjwG

24、根据来确定系统的类型 （1）当 时，称为零型系统 0G(jw)=k L(w)=20lg|G(jw)|=20lgk wL(w)/dB0-200型系统20lgk（）当 时，称为型系统 1G(jw)=k/jw L(w)=20lg|G(jw)|=20lgk-20lgw 频率特性低频段为-20dB/dec，渐近线或延长线与0dB交点处有 20lgk-20lgw=0 解得：k/w=1即k=w wL(w)/dB0-20w型系统wL(w)/dB0-20W型系统（3）当 时，称为型系统 2G(jw)=k/(jw)2 L(w)=20lg|G(jw)|=20lgk-40lgw 该线段或延长线与0dB的交点处有 20

25、lgk-40lgw=0 kw wL(w)/dB0-40w型系统wL(w)/dB0-40w型系统 即K=w2 系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别Eg5.已知由实验得最小相位系统的幅频特性如图所示，求其系统传递函数。w0.1182104020-40-20-20L(w)/dB-60606已知各转折频率W1=1, W2=2, W3=8 低频段由比例加积分环节组成 K/s k=10 ) 1(1111)(111wssTsG)2(1211)(222wssTsG1812)81(1121)(222ssTssTsG5 . 062182122nrww64864)(2sssG系统传递函数为)648)

26、(1()2(32064864)121(1110)(22sssssssssssEg6.Eg6.已知由实验得最小相位系统的幅频特性如图所已知由实验得最小相位系统的幅频特性如图所示，求系统传递函数示，求系统传递函数 w50100-40L(w)/dB-60解：系统由比例环节和两个积分环节及惯性环节组成W1=50 W2=100 K=(W1)2=502 =250 系统传递函数为 ) 1001. 0(2501001. 01250)(22sssss若闭环系统稳定则有：若闭环系统稳定则有：Z=0 (Z=P-N)（1）闭环系统稳定的充要条件是：奈氏曲线包）闭环系统稳定的充要条件是：奈氏曲线包围（围（-1，j0）点

27、的圈数）点的圈数N=P （2）若开环稳定的情况下（）若开环稳定的情况下（P=0）则闭环系统稳）则闭环系统稳定的充要条件是定的充要条件是N=P=0，即奈氏曲线不包围，即奈氏曲线不包围（-1，j0）点；若）点；若NP则闭环系统不稳定，则闭则闭环系统不稳定，则闭环右极点为：环右极点为：Z=P-N w：-+变化变化5.5 几何稳定判据一、奈魁斯特稳定判据一、奈魁斯特稳定判据线性系统稳定闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。 充要条件P：开环右极点数；N：奈氏曲线包围（1，j0）点圈数 判断系统稳定性的表达式Z=P-N可简化为 Z=P-2N (-1,j0)ReImW=0W=+W=N 顺时针为负，逆时

28、针为正奈氏判据的结论： 当w从0+变化时，开环频率特性曲线G(jw)H(jw)包围（-1,j0）点的次数N等于开环右极点数的一半（即N=P/2)，则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。N=N+N2应用奈氏判据注意事项应用奈氏判据注意事项 确定开环右极点数目确定开环右极点数目P时，开环极点若在虚轴上时，开环极点若在虚轴上则按左极点处理（积分环节出现）则按左极点处理（积分环节出现） 若开环频率特性的奈氏曲线刚好通过若开环频率特性的奈氏曲线刚好通过(-1,j0)点，点，这种情况表明闭环极点位于虚轴上，系统属于临界稳这种情况表明闭环极点位于虚轴上，系统属于临界稳定状态，列入不稳定系统定状态，列入不稳定系

29、统 N为开环频率特性奈氏曲线包围为开环频率特性奈氏曲线包围(-1,j0)点圈数点圈数时，奈氏曲线穿过负实轴方向的不同时，奈氏曲线穿过负实轴方向的不同 (-1,j0)ReIm正穿越正穿越 (-1,j0)ReIm负穿越负穿越 正穿越：奈氏曲线由上而下（沿逆时针方向）穿过正穿越：奈氏曲线由上而下（沿逆时针方向）穿过(-1,j0)(-1,j0)点点左侧的实轴（左侧的实轴（N N+ + 表示）表示） 负穿越：奈氏曲线由下而上（沿顺时针方向）穿过负穿越：奈氏曲线由下而上（沿顺时针方向）穿过(-1,j0)(-1,j0)点点左侧的实轴（左侧的实轴（N N- - 表示）表示） 穿越：开环奈氏曲线穿过穿越：开环奈

30、氏曲线穿过(-1,j0)(-1,j0)点左侧的实轴（有正负）点左侧的实轴（有正负）半次穿越：若奈氏曲线始于或终止于半次穿越：若奈氏曲线始于或终止于(-1,j0)(-1,j0)点左侧的实轴，点左侧的实轴，称为半次穿越（有正负）称为半次穿越（有正负）正半次穿越：奈氏曲线沿逆时针方向起始于或终止于正半次穿越：奈氏曲线沿逆时针方向起始于或终止于(-1,j0)(-1,j0)点左侧的实轴，称为正半次穿越点左侧的实轴，称为正半次穿越 N+=1/2N+=1/2负半次穿越：奈氏曲线沿顺时针方向起始于或终止于负半次穿越：奈氏曲线沿顺时针方向起始于或终止于(-1,j0)(-1,j0)点左侧的实轴，称为半次穿越点左侧

31、的实轴，称为半次穿越 N-=-1/2N-=-1/2(-1,j0)ReIm(-1,j0)ReIm正半次穿越正半次穿越 负半次穿越负半次穿越 case1 case1 开环中无开环中无s=0s=0极点极点( (即传递函数无积分环节即传递函数无积分环节) ) Case2 Case2 开环中含有积分环节（开环中含有积分环节（s=0s=0的极点）的极点）Case3 Case3 开环频率特性较复杂时开环频率特性较复杂时奈魁斯特稳定判据应用奈魁斯特稳定判据应用eg1 设闭环系统的开环传递函数为：) 1)(1()()(21sTsTKsGsH)()(jGjH开环频率特性轨迹如图所示。)()(sGsH在右半s平面内

32、没有任何极点P=0，并且)()(jGjH的轨迹不包围(-1,j0)点，有N=0，所以对于任何值有Z=PN=0，该系统闭环稳定。2221)(1)(1)(wTwTKwAwarctgTwarctgTw21)( (-1,j0)KReImeg2开环传递函数为 判断闭环系统的稳定性。 ) 1)(1)(1()()(321sTsTsTKsGsH232221)(1)(1)(1)(wTwTwTKwAwarctgTwarctgTwarctgTw321)(当w=0时，A(w)=k, 0)(w当w+时A(w)=0， 270)(w(-1,j0)ReImK1K2奈氏曲线KK1（K值较小）,N=0,P=0, Z=p-2N=0

33、, 闭环系统稳定。奈氏曲线为KK2 （K值较大）, N=-1,P=0, Z=p-2N=2, 闭环系统不稳定。 eg3eg3 设系统具有下列开环传递函数设系统具有下列开环传递函数：) 1)(1()()(21sTsTsKsGsH试确定以下两种情况下，系统的稳定性：试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益增益K K较小较小增益增益K K较大。较大。解：开环右极点解：开环右极点P=0P=0闭环右极点Z=P-2N2221)(1)(1)(wTwTwKwAwarctgTwarctgTw2190)( Case2 开环中含有积分环节（s=0的极点） (-1,j0)ReIm小K值时有：大K值时有N=0Z=P-2N

34、=0故闭环系统稳定故闭环系统稳定故闭环系统不稳定故闭环系统不稳定N=Z=P-2N=2221)(1)(1)(wTwTwKwA系统中含有积分环节奈氏曲线的起始点不是坐标轴上的点，曲线不封闭，因此不能用包围的概念来判断。 (-1,j0)ReImEg4单位反馈系统开环传递函数如下，试判断闭环系统的稳定性。) 115. 0(10)()(2sssGsH) 115. 0() 15 . 2(10)()(2ssssGsH 212)15. 0(110)(wwwAwarctgw15. 0180)( (-1,j0)ReImN=-1,P=0, Z=p-2N=2, 闭环系统不稳定。 ) 115. 0 () 15 . 2(

35、10)()(2ssssGsH2122)15. 0(1)5 . 2(110)(wwwwAwarctgwarctgw5 . 215. 0180)(N=0,P=0, Z=p-2N=0, 闭环系统稳定 (-1,j0)ReImCase3 Case3 开环频率特性较复杂时开环频率特性较复杂时(-1,j0)ReImKW=0P=2 P=2N-=0N=N+N-=2 N+=2Z=P-2N=-2故闭环系统稳定 二、对数稳定判据二、对数稳定判据( (Bode stability criterion)奈氏稳定判据应用开环奈氏曲线来判断闭环系统的稳定性，对数稳定性判据应用系统的开环伯德图判别闭环系统的稳定性。 (1) 奈

36、氏图上的单位圆，在Bode图对数幅频特性图上对应零分贝线A(w)=1 L(w)=20lgA(w)=0dB （2）奈氏图负实轴上的点对应Bode图相频特性曲线的-180水平线。RewIm(-1,j0)(2)奈氏图上满足穿越的条件：A(w)1, 180)(w当A(w)0dBL(w)0dB时，时，相频穿过相频穿过-180-180线一次称其为一次穿越线一次称其为一次穿越 ww(w)0.1-9031210-60-20-80-270-180L(w)/dB-6060(-)(+)正负穿越ww(w)0.1-9031210-60-20-80-270-180L(w)/dB-6060正负半次穿越正负半次穿越 临界稳定

37、点临界稳定点 180)(w系统此时为系统此时为临界稳定状临界稳定状态。态。若若L(w)=0dBL(w)=0dB时相位曲线时相位曲线恰好通过恰好通过三应用开环三应用开环Bode图判断系统稳定性充要条件：图判断系统稳定性充要条件：开环伯德图上，在L(w)0dB的所有段内，相频特性曲线在 线上正负穿越次数之和（N=N+N-）满足Z=P-2N=0，则闭环系统稳定，否则系统不稳定。正穿越：伯德图上幅频特性曲线在正穿越：伯德图上幅频特性曲线在L(w)0dB段段内，相频特性曲线穿过内，相频特性曲线穿过-180线时角度逐渐线时角度逐渐增大增大（由下向上）为正穿越；（由下向上）为正穿越；负穿越：伯德图上幅频特性曲线在负穿越：伯德图上幅频特性曲线在L(w)0dB段段内，相频特性曲线穿过内，相频特性曲线穿过-180线时角度逐渐线时角度逐渐减小减小（由上向下）为负穿越。（由上向下）为负穿越。判断系统是否稳定N+=2 N-=-1N=N