第九章相似理论

1、第九章第九章 相似理论相似理论 本章主要内容：本章主要内容： 1. 1.介绍相似概念介绍相似概念2.2.相似三定理相似三定理3.3.方程分析法方程分析法4.4.因次分析法及因次分析法及 定理定理课堂提问：为什么设计一条新船型通常需做模课堂提问：为什么设计一条新船型通常需做模 型实验型实验? ? 解决实际中流体力学问题，通常有解决实际中流体力学问题，通常有两种途径两种途径 ： 实际流动现象很复杂，一般难以用微分方程来实际流动现象很复杂，一般难以用微分方程来描述。即使能够建立微分方程，由于数学上的描述。即使能够建立微分方程，由于数学上的困难，往往也难于求解。因此，进行实验研究困难，往往也难于求解。

2、因此，进行实验研究是解决许多流体动力学问题的重要手段。是解决许多流体动力学问题的重要手段。本章主要介绍第二种研究途径，及实验研究理论本章主要介绍第二种研究途径，及实验研究理论建立描述流动过程的微分方程式，给定初始条件、建立描述流动过程的微分方程式，给定初始条件、边界条件对微分方程求解（例如解边界条件对微分方程求解（例如解N-SN-S方程）方程）通过实验寻求流动过程的规律性通过实验寻求流动过程的规律性 问题的提出问题的提出：1.1.实验条件如何安排？（设计实验模型的根据）实验条件如何安排？（设计实验模型的根据）进行实验研究，需要解决什么问题？进行实验研究，需要解决什么问题？ 3.3.试验结果如何

3、换算？（试验结果与实际流动之间试验结果如何换算？（试验结果与实际流动之间 服从什么关系）服从什么关系） 2.2.试验数据如何整理？试验数据如何整理？ 解决上述三个问题，是进行流体力学试验研究解决上述三个问题，是进行流体力学试验研究的基本问题。的基本问题。 模型试验是对真实流动现象在实验室内的再模型试验是对真实流动现象在实验室内的再现，目的是揭示流动的物理本质。现，目的是揭示流动的物理本质。 相似概念相似概念一、一、物理现象相似物理现象相似 二、二、流动现象相似流动现象相似 如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征如果在相应的时刻，两个物理现象的相应特征量的比值在所有对应点上保持常数（无量纲数量

4、的比值在所有对应点上保持常数（无量纲数dimensionless number ），则这两个物理现象称为相），则这两个物理现象称为相似的。似的。1. 1. 几何相似几何相似2. 2. 运动相似运动相似3. 3. 动力相似动力相似相似性包括三方面：相似性包括三方面：1.1.几何相似几何相似: : 对应边成比例，对应角相等。对应边成比例，对应角相等。 原型流动原型流动PrototypePrototype1pL2pLAB模型流动模型流动ModelModel1mL2mLba1212ppLmmLLCLL对用边成比例对用边成比例: :对应角相等：对应角相等：pmpm2.2.运动相似运动相似1pV2pV12

5、12ppvmmVVCVV 对应点上，流体质点速度的方向相同，大小对应点上，流体质点速度的方向相同，大小成比例。成比例。1mV2mV 运动相似的两个流动系统中，对应流体质点位运动相似的两个流动系统中，对应流体质点位移对应距离所需的时间间隔成比例：移对应距离所需的时间间隔成比例：0000limlimlimpmpmpptppmlvmpmtttmmtllvtlCCltvCtt，L L均为常数，则均为常数，则也为常数，即运动也为常数，即运动 相似的系统，时间也相似。相似的系统，时间也相似。 运动相似必须以几何相似为前提。运动相似必须以几何相似为前提。 ，均为常数，则均为常数，则也为常数，即运动也为常数，

6、即运动相似的系统中，加速度也相似。相似的系统中，加速度也相似。 运动相似的系统，对应点的加速度也相似。运动相似的系统，对应点的加速度也相似。02000limlimlimpmpmpptppmvlampmttttmmtvvatvCCCvtaCCtt3 3、动力相似、动力相似pGpFmGmF在对应点上，同名力的方向相同，在对应点上，同名力的方向相同， 大小成比例大小成比例ppFmmFGCFG pipgppFmimgmppimipgmgppmpFFFCFFF 对于各种同名力，应成同一比例对于各种同名力，应成同一比例 在原形和模型两个系统中，若动力相似，对应在原形和模型两个系统中，若动力相似，对应点上的

7、各种力组成的力多边形应相似，故每两边点上的各种力组成的力多边形应相似，故每两边之间的夹角应相等。之间的夹角应相等。 动力相似包括运动相似，而运动相似又包括动力相似包括运动相似，而运动相似又包括几何相似。几何相似。 所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物理量相似。理量相似。 由此可以推导出，由此可以推导出，两系统之间存在密度相似两系统之间存在密度相似和流体动力（压力、升力、阻力）系数相等。和流体动力（压力、升力、阻力）系数相等。 0200000limlimlimlimpmppmmpppptppmmmFamppmltttmmmttmmG gvmG gC C

8、CmvvCvvv 密度相似密度相似无因次的无因次的流体动力系数流体动力系数由下式定义：由下式定义： 212PPCv S（9-4） 其中为流体作用力，其中为流体作用力，和分别为选定，和分别为选定的作为特征量的流体密度、速度和面积的作为特征量的流体密度、速度和面积 。下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等下面证明两动力相似系统的流体动力系数相等 22222111222pF mmFPp ppmv ms mpvsm mmPC PPCCv SCC v CSC C Cv S 两流动现象中，两流动现象中，若若几何相似，运动相似，动力几何相似，运动相似，动力相似，则两流动现象相似。相似，则两流动现象相似。

9、例如原型流动与模型流动满足例如原型流动与模型流动满足几何相似，运动几何相似，运动相似，动力相似，则两流动现象相似。相似，动力相似，则两流动现象相似。三三. .相似准则（判据）相似准则（判据） 在进行流体力学的模型试验时，模型系统与实在进行流体力学的模型试验时，模型系统与实物系统的特征物理量之间应保持一定的关系，这物系统的特征物理量之间应保持一定的关系，这些关系就是由相似准则推导出来的。些关系就是由相似准则推导出来的。相似准则（判据）：相似准则（判据）：流动现象的特征量所组成的流动现象的特征量所组成的 无量纲组合数。无量纲组合数。相似准则的作用：相似准则的作用：判断两个流动现象是否相似判断两个流

10、动现象是否相似- - 相似理论相似理论 2. 相似性第二定理（逆定理）相似性第二定理（逆定理） 若流动现象的相似准则在数值上相等，则这若流动现象的相似准则在数值上相等，则这些现象必定相似。些现象必定相似。相似性第三定理（相似性第三定理（定理）定理） 1.1.相似性第一定理（正定理）相似性第一定理（正定理）彼此相似的流动现象必定具有数值相同的相似彼此相似的流动现象必定具有数值相同的相似准则。准则。1. 两流动现象相似，相似准则相等，其准则方程两流动现象相似，相似准则相等，其准则方程 式相同。式相同。2. 若将模型流动结果整理成准则方程式，则该方程若将模型流动结果整理成准则方程式，则该方程 式可以

11、应用到原形流动中去。式可以应用到原形流动中去。 相似三定理回答了模型试验中必须解决的问相似三定理回答了模型试验中必须解决的问题，归纳如下：题，归纳如下：（1）由模型和原形的）由模型和原形的相似准则数相等，确定模型相似准则数相等，确定模型 系统的特征长度、特征速度，流动介质等。系统的特征长度、特征速度，流动介质等。结论结论（3 3）将实验所得到的各相似准则之间的关系整）将实验所得到的各相似准则之间的关系整 理成关系公式（曲线），以便应用到原形理成关系公式（曲线），以便应用到原形 流动中去。流动中去。 （2 2）模型试验中，应测定各相似准则中所包的）模型试验中，应测定各相似准则中所包的 一切物理量

12、，并把它们整理成相似准则。一切物理量，并把它们整理成相似准则。- - 方程分析法方程分析法两流动现象相拟的充分必要条件：两流动现象相拟的充分必要条件：满足同一微分满足同一微分方程式，而且边界条件和初始条件相似。方程式，而且边界条件和初始条件相似。一撇一撇: :原形系统原形系统 两撇：模型系统两撇：模型系统 对于粘性流体流动相似问题，两个流动相似系统，对于粘性流体流动相似问题，两个流动相似系统，均满足均满足NS方程（以方向为例）方程（以方向为例）221(div )31(div )3xxxxxyzxxxxxxyzxvvvvpvvvXvvtxyzxxvvvvpvvvXvvtxyzxx (a)(b)

13、两系统流动相似，所有同类物理量成比例，两系统流动相似，所有同类物理量成比例，对应的相似常数表示如下：对应的相似常数表示如下：将（）式代入（）式可得将（）式代入（）式可得:(c),xylllxvyvzv zgggtpxcxyc yzczvc vvc vvc vXc XYc YZc Ztctcpc pc22()1()3vxvxxxxyztlpvgxllcvcvvvvvvctcxyzCC CpC XvdivvC CxCx(d) 对于模型系统，物理量要同时满足对于模型系统，物理量要同时满足(b),(d)两式。两式。所以（所以（d)式中各项系数必须相等。式中各项系数必须相等。局部惯性力 22pvvvgt

14、lllCCCC CCCCC CC变位惯性力 质量力压力 粘性力 全式除以变位惯性力项全式除以变位惯性力项 得得：2vlCC221lgplvtvvvlC CCCCC CCC CC C（9-7）引入音速的传播公式：引入音速的传播公式：2pa对应的相似常数为对应的相似常数为222/paCappCaC222pavvCCC CC所以所以（9-79-7）变为）变为22221lgplavtvvvlvC CCCCCC CCC CC CC（9-8）因此可以得到如下五项重要的结果：因此可以得到如下五项重要的结果：1,lvtCllC CvtlStvtv t 特洛哈尔数：特洛哈尔数：佛劳德数：佛劳德数：22221,g

15、lvvFC CvvCg lg lrgl 22221,pvpECpC Cvuvpv 欧拉数：欧拉数：1,RelvCvlllC Cvv 雷诺数：雷诺数：2222221,avvMaCvavCaa马赫数：马赫数：以上五个无因次数称为相似准则（相似准数）以上五个无因次数称为相似准则（相似准数）相似准则的物理意义：相似准则的物理意义： 雷诺数雷诺数( (Reynolds number) )RevlReRe大：表示粘性作用小，大：表示粘性作用小，ReRe小：表示粘性作用大。小：表示粘性作用大。对于理想流体对于理想流体00，此时，此时ReRe 22/R evvvlll惯 性 力粘 性 力 反映流体粘性的作用反

16、映流体粘性的作用, Re相等表示流动现象的相等表示流动现象的粘性力相似粘性力相似.。 222/vvgF rlgl惯 性 力质 量 力 反应重力（质量力）对流体的作用反应重力（质量力）对流体的作用, ,Fr相等相等表示现象的重力作用相似表示现象的重力作用相似。与重力有关的现象由与重力有关的现象由Fr决定，例如波浪运动和舰决定，例如波浪运动和舰船的兴波阻力等，都和船的兴波阻力等，都和Fr密切相关。密切相关。 （）佛劳德数（）佛劳德数 ( (Froude number) ) vFrgl(3)斯特洛哈尔数斯特洛哈尔数(Strouhal Number) vtStl2/vvvtStltl变 位 惯 性 力

17、局 部 惯 性 力 反应流体非定常运动的相似反应流体非定常运动的相似, St相等表示现相等表示现象的周期性相似象的周期性相似 S St t相等表示现象的周期性相似，与周期性相等表示现象的周期性相似，与周期性有关的非定常流动由有关的非定常流动由StSt来决定，例如卡门涡街来决定，例如卡门涡街引起的振动，螺旋桨的性能等等。引起的振动，螺旋桨的性能等等。 在螺旋桨理论中，可将上式变为如下形式在螺旋桨理论中，可将上式变为如下形式:vn D式中式中: :为螺旋桨转速，为螺旋桨直径，为螺旋桨转速，为螺旋桨直径，称称为螺旋桨的相对进程为螺旋桨的相对进程( (无因次无因次数数)。 与压力有关的现象由与压力有关

18、的现象由EuEu来决定，例如空泡现象、来决定，例如空泡现象、空泡阻力等。空泡阻力等。(4) (4) 欧拉数欧拉数(Euler number)(Euler number)2pEuv在讨论空泡问题时在讨论空泡问题时, , 相似准数通常用空泡数：相似准数通常用空泡数：212vppvp ：为液体的饱和汽压：为液体的饱和汽压22/pvpEullv压力惯性力 马赫数反映流体的压缩性马赫数反映流体的压缩性, ,相等就是压缩相等就是压缩性相似性相似. 与压缩性有关的现象就由马赫数来决定，例如与压缩性有关的现象就由马赫数来决定，例如高速飞机的性能要用来表示。高速飞机的性能要用来表示。1.两流动现象相似，五个相似

19、准数（两流动现象相似，五个相似准数（Re、Fr、St、 Eu和和Ma应相等。应相等。结论：结论：2. 对于不同问题的试验，考虑轻重缓急进行取舍。对于不同问题的试验，考虑轻重缓急进行取舍。(5)(5)马赫数马赫数(Mach Number):(Mach Number):vMaa例如：例如：1. 在低速风洞中进行潜艇阻力试验时，只需考在低速风洞中进行潜艇阻力试验时，只需考虑虑Re（有粘性作用），可不考虑（有粘性作用），可不考虑Fr（无兴波问（无兴波问题）和题）和St（定常流动）和（定常流动）和Eu（无空泡现象）。（无空泡现象）。2. 在水池中进行舰船的水面阻力试验时，则只考在水池中进行舰船的水面阻力

20、试验时，则只考 虑虑Re（有粘性阻力）和（有粘性阻力）和Fr（有兴波阻力）。（有兴波阻力）。讨论：讨论：某实船船长某实船船长200m, 200m, 航速航速0.1m/s,0.1m/s,若模型试验时，缩若模型试验时，缩尺比为尺比为1 1：200200，试决定模型试验速度。，试决定模型试验速度。解：解：1.由雷诺数相似由雷诺数相似(Re)(Re)()()mpmpvlvl所以所以200pmmpppmlVVVl2.由由佛劳德佛劳德数相似数相似()()()()mpmpVVFrFrglgl所以所以1200pm mmppp pmlg lVVVg ll显然显然12 0 02 0 0ppVV实际问题中，先保证实

21、际问题中，先保证佛劳德佛劳德数相似，进行试验，数相似，进行试验，然后进行修正。然后进行修正。- - 因次分析法与因次分析法与定理定理几个基本概念：几个基本概念： 因次（或量纲）：物理量测量单位的种类因次（或量纲）：物理量测量单位的种类 基本量纲：基本量纲：是所研究现象中最重要的而且是量是所研究现象中最重要的而且是量 纲独立的量纲独立的量。在不可压流体力学中，通常有在不可压流体力学中，通常有: :其余可由这三个基本量纲导出其余可由这三个基本量纲导出( (见见p179.)p179.)长度长度L, L, 质量质量M, M, 时间时间T,T, 导出量纲：由基本量纲，根据物理意义推导出：导出量纲：由基本

22、量纲，根据物理意义推导出：/,uL T2/,aL T2/Fm aM LT22/pFLMLT例如例如 基本量：所研究的流动问题中，相互独立的流基本量：所研究的流动问题中，相互独立的流 动物理量。动物理量。描述某流动现象的各物理量（描述某流动现象的各物理量（有量纲）：有量纲）：1231,nA a a aa之间的关系式之间的关系式1231( ,)nAf a a aa可转变成相似准则（无量纲）可转变成相似准则（无量纲）之间的函数关系：之间的函数关系：1234(,)nF 定定 理理表达某具体流动的内在规律表达某具体流动的内在规律 这种关系式称为这种关系式称为准则关系式或准则方程式准则关系式或准则方程式，

23、也称也称定理定理。 讨论：1231( ,)nAf a a aa1.关系式关系式2.关系式关系式1234(,)nF 反映某一类型流动的普遍物理规律反映某一类型流动的普遍物理规律确定无量纲量确定无量纲量的步骤：的步骤： 1.1.将所研究的流动问题中有关的物理量列出：将所研究的流动问题中有关的物理量列出：1231,nA aaaa3.3.可组合成可组合成 n-n-（p p +1 +1）个无量纲量）个无量纲量将其写成：将其写成：1231( ,)nAf a a aa2.2.在在 中选取中选取P P个个 作为循环变量。作为循环变量。1naaP=3P=3为相互独立的有量纲的物理量为相互独立的有量纲的物理量将其

24、写成：将其写成：1233(,) 0nF 例例1. 粘性不可压流体水平圆管定常流动粘性不可压流体水平圆管定常流动1.1.相关物理量：相关物理量：,VDpL7n这里这里2.2.选取选取为基本量，为基本量，,VD这里这里 P = 3计算计算 ：102acb 12pV1 031 01 0aa b cb :MLT 13112000abcabcV DpMLLTLML TML T 3120 00abcabcV D LMLLTLLM LT001abc 2LD03100aabcb :MLT 311130 00abcabcV DMLLTLML TM LT3eR1031010aabcb 111abc 311eV D

25、V DR 314000abcabcV DMLLTLLM LT 22fpL VhgDg管道沿程损失管道沿程损失001abc 4D相对粗糙度相对粗糙度,eRD沿程阻力系数沿程阻力系数1234( ,)F 因此因此2,eepLLFRf RVDDDD或或例例2. 圆球在无界粘性不可压缩流体中匀速运动圆球在无界粘性不可压缩流体中匀速运动,有关物理量：有关物理量：,FVD选取选取,VD为基本量为基本量 3120 001abcabcV DFMLLTLMLTM LT1031020aabcb 122abc 122FV D分析阻力与哪些因素有关分析阻力与哪些因素有关 31110 0 02abcabcV DM LLT

26、LM L TM LT 1031010aabcb 111abc21eVD R12()f22()eFf RV D212DeFCRV A物体阻力物体阻力阻力系数（实验确定）阻力系数（实验确定）迎风面积迎风面积 船舶等速直线航行时，由经验知道，影响船船舶等速直线航行时，由经验知道，影响船舶舶阻力的因素有：流体密度阻力的因素有：流体密度，航速，船长，航速，船长，流体的运动粘度流体的运动粘度，重量力加速度，船壳壁面，重量力加速度，船壳壁面粗糙度粗糙度，船的排水体积等。，船的排水体积等。例例3. 求船舶阻力求船舶阻力 Rf（，V，L，g，D ） （9-30） 如取如取,V,L,V,L为基本量，有关物理量的无

27、量为基本量，有关物理量的无量纲数纲数为：为： 由由 定理可写出下列函数关系式：定理可写出下列函数关系式：解：解：其中其中 为船舶的瘦削系数为船舶的瘦削系数。 3LD根据根据定理，可将（定理，可将（9 93030）式写成相应的无量）式写成相应的无量纲关系式：纲关系式： f（1,1,1,，D）222322311Re11(/)RgRV LFrDLLLD即2222111(,)ReRfVLFrL212(Re,)RCFrV SL或或船舶总阻力系数（由试验确定）船舶总阻力系数（由试验确定）前述已经知道要前述已经知道要同时满足同时满足e e相似和相似和r r相似相似是不可能的。是不可能的。 目前的做法是：目前