第八章应力状态和强度理论

1、第第 八八 章章应力状态和强度理论8-1 应力状态的概念8-2 用解析法分析二向应力状态8-3 用图解法分析二向应力状态8-4 三向应力状态8-5 应力与应变间的关系8-6 三向应力状态下的应变能密度8-7 强度理论及其相当应力目目录录主要内容【学【学 时时】8 8【基本要求【基本要求】l理解应力状态、单元体、主应力和主平面的概念。l了解应力状态的分类。l掌握二向应力状态下应力分析的解析法。l掌握斜截面上的应力，主应力和主平面的确定。l掌握广义虎克定律。l了解体积改变比能和形状改变比能。l理解强度理论的概念;掌握四个常用强度理论。l了解各种强度理论的使用范围。【重点重点】平面应力状态的解析法，

2、广义虎克定律，四个常 用强度理论 【难点难点】应力状态的概念，强度理论的概念。8-1 8-1 应力状态的概念应力状态的概念一一. .问题的提出问题的提出低碳钢低碳钢 铸铸 铁铁低碳钢低碳钢铸铸 铁铁l拉压、拉压、 扭转及弯曲等基本变形的强度条件扭转及弯曲等基本变形的强度条件 P P a a A B Fs三 x x C M 对于更复杂的受对于更复杂的受力状态，如图中力状态，如图中A A截面上的截面上的C C点点? ? maxmax 研究材料在复杂应力状态研究材料在复杂应力状态下的破坏规律下的破坏规律二二. .基本概念基本概念l一点应力状态：受力构件内任意点各截面 方位上的应力情况. 研究的依据研

3、究的依据: 围绕一点所取各个方位截 面上的各种应力组合之间存 在着某种理论联系.2sin2 ,2cos22cos ,2sinyxz x y z xy yx yz zy zx xz 研究的方法研究的方法: 以单元体为研究对象或模型.l单元体:构件内的点的代表物，是包围被 研究点的无限小的几何体，常用 的是正六面体.l单元体的性质:同一面上，应 力 均布；平行面上， 应力相等. l围绕一个受力点可以有 无数多个单元体.543211x12 2x 2 23 33S S平面平面P4zF lM P2FFPl/2l/2S平面平面54321 实例分析实例分析FlaSxzy4321S S平面平面yxzMzFMx

4、43211pxWM 1 zzxWM 1 43pxWM 3 pxWM 4 zzxWM 4 Fl主平面：l主应力: l主单元体:三三. .结论结论321yxz x y z xy yx yz zy zx xz四四. .应力状态分类：应力状态分类：l空间（三向）应力状态l平面（二向）应力状态xyx yyxxyxl单向应力状态l纯剪应力状态三向应力状态三向应力状态平面应力状态平面应力状态单向应力状态单向应力状态纯切应力状态纯切应力状态特例特例特例特例x xy yx y yx xya a 0 nF 0 tF一一. .斜截面上的应力斜截面上的应力 y a a xyd dA Axyx8-2用解析法分析二向应力

5、状态用解析法分析二向应力状态 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xyd dA Axyxl列平衡方程：利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxx xy yx y yx xya a二二. .正负号规则正负号规则 y a a

6、 xyntxyxx2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos22sin)(xyyxdd设0 时，上式值为零，即02cos22sin)(00 xyyx三三. . 正正应力极值和方向应力极值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2) )( (2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即0 时，切应力为零,所以极值正应力极值正应力就是主应力就是主应力l确定正应力极值：yxxy 22tan0 即,由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面,也就是主平面.回代，得最大和最小正应力分别为： 22max4212xyyxyx 22

7、min4212xyyxyx 由此得两个驻点：2p和两个极值）、（0101aa+maxmin, 2cos2sin)(21xyyxl确定剪应力极值：1d 0d 令1tg22xyxy00145, , 4p即极值剪应力面与主面成比较显见回代，得最大和最小剪应力分别为：min22max142xyxy 试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 y x xy 。30MPa，60 xMPa,30 xy,MPa40y已知已知解：解：（1 1） 斜面上

8、的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58y x xy （2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3 .682yxxyyx22)2(minMPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321y x xy 主平面的方位：主平面的方位：yxxytg2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150y x xy 代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向：方向：15 .1

9、50主应力主应力 方向：方向：3 5 .1050（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：y x xy 5 .1513单元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为一常数单元体的两个相互垂直截面上的正应力之和为一常数2yx2cos2yx2sinx2p2yx)2(2cos2pyx)2(2sinpx2yx2cos2yx2sinxyxp2已知：图示原始单元体。求：已知：图示原始单元体。求：、2p ：分析受扭构件的破坏规律：分析受扭构件的破坏规律解：解：确定危险点并画其确定危险点并画其 原始单元体原始单元体 求极值应力求极值应力0yx PnxyWM 222122xyyxyx ）（ 2xy xyC yxMCxy

10、O xy yx破坏分析破坏分析 222xyyxminmax）（ 3210;452200 yxxytg002211 xyyxtgMPa;MPass:200240 低低碳碳钢钢MPa;MPaMPabybLb:30019896064028098 灰灰口口铸铸铁铁2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2( 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆8-3 用图解法分析二向应力状态用图解法分析二向应力状态xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2( 2yx一一. . 应力圆：应力圆：半径半径: :圆心坐标圆心坐标: :圆方程 ：

11、应力圆应力圆二二. .应力圆的画法应力圆的画法D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2RxyyxR22)2( y yx xyADx A、DDCCCD D,D D 应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力.如 三三. .几种对应关系几种对应关系D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2 y yx xyxH ),(aaH 2l点面对应： D( x , xy)c),(aaH 2l转向对应：l二倍角对应: y a a xyntxyxx x y oc2 adA AD主平面:四四. 主平面、主应力、最大剪应力主平面、主应力、最大剪应力l主平面与主应力D( x ,

12、 xy)D/( y , yx)c xy 2RxyyxR22)2( 主应力：221422xyxy 221422xyxy 0面内最大剪应力:对应应力圆上的最高点的面 上剪应力最大，称为“ 面内 最大剪应力”,其值为 o max221422xyc x xADdac245245beBEBE45( 45 )45( 45 ) ol实力分析BE45( 45 )45( 45 ) x xADBE o a (0, )d(0,- )A ADbec245245BE45( 45 )BE BE45( 45 ) m ? t ?lt m 42mDpD4mpD0 xFlpDl2t2tpD0yFpttt (2 l )pDl4mp

13、D2tpDlt m yxz x y z xyyzyx zy zx xz一一. .定义定义8-4 三向应力状态三向应力状态 若一点处的单元体如下图所示，则该点处于三向应力状态。231 或若受力构件内一点处的三个主应力都不等于零，则该点处于三向应力状态。其主应力为321、IIIIII 3 2 1I 平行于1的面之应力与1无关，于是由2、3可作出应力圆I;平行于2的面之应力与2无关，于是由1 、3可作出应力圆II;平行于3的面 之应力与3无关，于是由1 、2可作出应力圆III.II 2 1IIIo 123在三组特殊方向面中都有各自的面内最大剪应力,即：122 232 132 三三.结论结论IIIII

14、I o 123 代表单元体任意斜截面上应力的点，必定在 三个应力圆圆周上或圆内。 因此,由三向应力圆可以看出,最 大，最小正应力及最大剪 应力分别为231max3min1max注意其位置？作为三向应力作为三向应力状态的特例状态的特例 平面应力平面应力四四.特例分析特例分析其特点：其特点： 由平面应力状态的单元体可知由平面应力状态的单元体可知, ,无应力的无应力的那个平面也就是一个主平面，因此那个平面也就是一个主平面，因此, ,平面应平面应力状态的一个力状态的一个主应力为零主应力为零; ;由平面应力状态正应力的极值表达式由平面应力状态正应力的极值表达式( (应应力圆力圆) )得另二个主应力大小，

15、将三个主应力得另二个主应力大小，将三个主应力按代数值大小排列得主应力为按代数值大小排列得主应力为最大剪应力最大剪应力12313max2注意可能与平面应力状态的面内最大剪应力不同!已知一点的单元体的应力状态如图所示。求已知一点的单元体的应力状态如图所示。求11主应力大小主应力大小 22作三向应力圆作三向应力圆33最大剪应力最大剪应力max（1）求主应力大小）求主应力大小 由图的单元体可知前后面为主平面，其上主应力为由图的单元体可知前后面为主平面，其上主应力为30MPa，由于三个主平面相互垂直，故另三个主应力必发生，由于三个主平面相互垂直，故另三个主应力必发生在与前、后主平面垂直的某二个截面上。因

16、此可由上、下、在与前、后主平面垂直的某二个截面上。因此可由上、下、左、右四个侧面的应力状态求出另二个主应力大小及主平面左、右四个侧面的应力状态求出另二个主应力大小及主平面方位。方位。 由平面应力状态解析式得另二个主应力大小为即解得由平面应力状态解析式得另二个主应力大小为即解得104.72MPa与与15.28MPa，按代数值大小排列得主应力为，按代数值大小排列得主应力为MPaMPaMPa3028.1572.104321（2）作三向应力圆。由上面三个主应力可作图）作三向应力圆。由上面三个主应力可作图三向应力圆三向应力圆; ;（3）最大剪应力Mpa36.672)30(72.104221max一一.

17、.各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律叠加法叠加法23132111E1231E1E2E38-5 应力与应变间的关系应力与应变间的关系23132111E13221E21331E23,广义胡克定律广义胡克定律: :主应力和主应变的方向重合。主应力和主应变的方向重合。 1 1 2 2 3 3 )(1zyxxE Gxyxy )(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz2 1EGl各向同性材料的广义胡克定律的一般形式l三个弹性常数之间的关系各向同性材料的各向同性材料的1123VVV1231 2EVdxdydz231dxdydz

18、123dxdx dydydzdz，1123(1)VdxdydzmK3(12 )EK1233m11d d dy zx22;d d dx zy33d d dy xzdydxdz2 1 3 8-6 三向应力状态下的应变能密度三向应力状态下的应变能密度1122331d dd21d dd21d dd2y zxx zyx yz1 122331d d d2x y z dW 1122331d d dd2dd d dx y zWvVx y z 1 1223312 l体积改变能密度与形状改变能密度 2 13 3m2m1mmmml体积改变能密度与形状改变能密度 vvdvmmm1231()mmmmE 3m2m1mvd

19、vvv拉压、 扭转及弯曲等基本变形的强度条件 对于对于 maxmax 研究材料在复杂应力状态下的破坏规律max max 满足max max 是否强度就没有问题了？8-7 强度理论及其相当应力强度理论及其相当应力 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。l强度理论强度理论 是为了建立复杂应力状态下的强度条件，是为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏而提出的关于材料破坏( (或失效或失效) )原因的假设原因的假设及计算方法。及计算方法。脆性断裂：材料无明显的塑性变形

20、即发生断 裂，断面较粗糙，且多发生在垂直 于最大正应力的截面上，如铸铁受 拉、扭，低温脆断等。塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性 变形，破坏断面粒子较光 滑，且多发生在最大剪应力 面上，例如低碳钢拉、扭， 铸铁压。l材料的破坏形式材料的破坏形式最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论） 材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值1u 构件危险点的最大拉应力1 极限拉应力，由单拉实验测得ubub1 断裂条件断裂条件 nb1强度条件强度条件 最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的

21、最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。 1u 构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得uE/)(3211 /ubE实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。强度条件强度条件)(321nb最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理论）断裂条件断裂条件EEb)(1321b)(321即即 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都 是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。maxu最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力max 极

22、限切应力，由单向拉伸实验测得u/ 2us2/)(31max实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。)0(max局限性：局限性： 2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%。2s31 屈服条件屈服条件 ss31n强度条件强度条件 无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。dduvv形状改变比形状改变比能理论能理论（第四强度理论）（第四强度理论）222

23、d1223311()()()6vE 构件危险点的形状改变比能2126dusvE 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得dudV屈服条件屈服条件22132322212)()()(s 强度条件强度条件 ss213232221)()()(21n实验表明：实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。11 r2123() r 22241223311()()() 2r强度理论的统一表达式： r相当应力313r10903010909090380rMPa3100rMPa390rM Pa最危险三三. .实力分析实力分析铸铁构件上危险 点的应力状态。 铸铁拉伸许用应 力 =30MPa。该点的强度。 首先根据材料和应力状态确定强度理论. 脆性断裂，最大拉应力准则 max= 1 其次确定主应力224212xyyxyx224212xyyxyx 0 其次确定主应力129.28MPa,23.72MPa, 30 最后应用强度设计准则校核强度max= 1 29.28MPa = 30MPa危险点的强度是安全的。 和最大切应力准则和形状改