第二章二维线性系统

1、第二章第二章 二维线性系统二维线性系统本章主要内容本章主要内容1、线性系统2、线性不变系统3、抽样定理1 1、线性系统、线性系统,g x yf x y L L用算符用算符 描述系统的作用！描述系统的作用！ L L1）系统的数学表示1 1、线性系统、线性系统2）线性系统的定义 若对于任意两个输入函数若对于任意两个输入函数f1和和f211,gx yfx y L L22,gx yfx y L L1 1221 122,a fx ya fx ya fx ya fx yLLLLLL11221122,afx yafx ya gx ya gx yLLLL对于任意复数常数对于任意复数常数a a1 1和和a a2

2、 2，均有如下关系成立：，均有如下关系成立：则表明该系统是则表明该系统是线性系统线性系统！1 1、线性系统、线性系统图例：线性系统的叠加性质1 1、线性系统、线性系统3 3）基元函数基元函数的系统响应的系统响应（系统是一个线性系统）（系统是一个线性系统）一系列的一系列的“基元函数基元函数”的和的和分分解解（傅里叶级数展开）（傅里叶级数展开）1,miiif x ya fx y（这些基元函数可能是 函数函数、阶跃函数阶跃函数、余弦函数余弦函数或复指数函数复指数函数等形式）对应的对应的“基元函数基元函数”响应的和响应的和合合成成1,miiia gx yg x y,iiiia fx ya gx yL

3、L如何确定基元函数的响应？如何确定基元函数的响应？1 1、线性系统、线性系统 举例：举例：选取基元函数为选取基元函数为脉冲函数脉冲函数 ( ( 函数函数) )根据脉冲函数的筛选性质，可将任意函数分解为： ,f x yfxyd d 任意函数都可以看作xy平面上不同位置处的很多函数的线性组合，而每一个位于(,)坐标的函数的权重因子就是函数在该点的数值f(,)。这种分解方法称为脉冲分解脉冲分解。于是系统的输出为：于是系统的输出为： ,g x yf x yfxyd d LLLL由于系统是线性的，系统算符由于系统是线性的，系统算符 可以写进积分号内可以写进积分号内(与积分算符交换顺序与积分算符交换顺序)

4、，直，直接作用到各个基元函数上：接作用到各个基元函数上： L L,g x yfxyd d L L1 1、线性系统、线性系统,g x yfxyd d L L若令若令 , ; ,h x yxy L L它表示系统输出平面(x,y)点对应于输入平面坐标(,)点的函数响应，称为系统的脉冲响应系统的脉冲响应。 , ; ,g x yfh x yd d 系统输出：系统输出： 上式描述了线性系统输入和输出的关系，称其为“叠加积分叠加积分”； 只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的脉冲响应，就可以通过叠加积 分完全确定系统的输出； 若系统输入和输出满足上述叠加积分关系，该系统必然是线性系统。2 2、线性不变系统

5、、线性不变系统1 1）线性不变系统）线性不变系统线性系统的一个子类线性系统的一个子类根据“叠加积分”原理，只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的脉冲只要知道系统对位于输入平面上所有可能点的脉冲响应，就可以通过叠加积响应，就可以通过叠加积 分完全确定系统的输出分完全确定系统的输出。但是，要得到输入平面上所有可能位置上的脉冲响应是非常困难的非常困难的，甚至是不可能的甚至是不可能的。2 2）线性不变系统的定义）线性不变系统的定义若若, ; ,xyh x yh xy L L一个空间脉冲在输入平面位移，线性系统的响应函数形式不变，只是产生了相应位移，这样的系统称为空间不变系统空间不变系统或位移不变系统

6、位移不变系统。若若,th tL L若输入脉冲延迟时间，其相应h仅仅有相应的时间延迟，而函数形式不变，这样的系统称为时不变系统时不变系统。2 2、线性不变系统、线性不变系统 , ; ,g x yfh x yd d ,g x yfh xyd d 叠加积分：叠加积分：, ; ,h x yh xy ,f x yh x y卷积积分：卷积积分：对于线性不变系统，系统的作用可以用对于线性不变系统，系统的作用可以用统一的一个脉冲响应函数统一的一个脉冲响应函数来表征，系来表征，系统的分析得到简化！统的分析得到简化！2 2、线性不变系统、线性不变系统3 3）线性不变系统的）线性不变系统的传递函数传递函数,g x

7、yf x yh x y ,xyxyxyG ffHffFff卷积定理卷积定理输入频谱输入频谱输出频谱输出频谱,xyFfff x yF,xyG ffg x y=F,xyHffh x y=F传递函数传递函数从空间域入手计算系统的输出从空间域入手计算系统的输出从频率域入手计算系统的输出从频率域入手计算系统的输出* 传递函数定义为系统脉冲响应的傅里叶变换传递函数定义为系统脉冲响应的傅里叶变换.2 2、线性不变系统、线性不变系统对于线性不变系统，可以找到更适合的对于线性不变系统，可以找到更适合的“基元函数基元函数”，即，即复指数函数复指数函数。根据傅里叶逆变换有：,exp2xyxyxyf x yFffjf

8、 xf ydf df 当f(x,y)作为输入时，系统输出为：上式表明函数f(x,y)可以看成是很多不同频率的复指数函数的线性组合，F(fx,fy)表示各种频率成分的权重，这种分解方法称为傅里叶分解傅里叶分解。,exp2xyxyxyg x yf x yFffjf xf ydf df LLLL同理，根据线性叠加性质，有,exp2xyxyxyg x yFffjf xf ydf df L L根据傅里叶逆变换有,exp2xyxyxyg x yG ffjf xf ydf df ？2 2、线性不变系统、线性不变系统 ,xyxyxyG ffHffFff,exp2xyxyxyg x yG ffjf xf ydf

9、 df ,exp2xyxyxyxyg x yFffHffjf xf ydf df ,exp2xyxyxyg x yFffjf xf ydf df L Lexp2,exp2xyxyxyjf xf yHffjf xf yL L把输入函数分解为各种不同频率的复指数函数的线性组合，各个基元复指数函数通过线性不变系统，仍然还是同频率的复指数函数仍然还是同频率的复指数函数，但是可能产生与频率有关的幅值变化和相移，这些变化取决于系统的传递函数。2 2、线性不变系统、线性不变系统4 4）线性不变系统的本征函数）线性不变系统的本征函数什么叫本征函数？对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数仅等于输入函

10、数与一个复比例常数的乘积，那么这个输入函数就称为这种系统的本征函数。,g x yf x yKf x yL L(K(K是一复比例常数是一复比例常数) )课后思考题课后思考题试证明：复指数函数就是线性不变系统的本征函数，即试证明：复指数函数就是线性不变系统的本征函数，即exp2,exp2abaaabjf xf yHffjf xf yL L2 2、线性不变系统、线性不变系统5 5）线性不变系统作为滤波器）线性不变系统作为滤波器（滤波函数）（滤波函数）系统级连（滤波器相连）系统级连（滤波器相连）212121,xyxyxyxyxyxyGffGffHffHffHffFff3 3、抽样定理、抽样定理,sxy

11、gx ycombcombg x yXY,*,sxysxyxyGffgx ycombcombG ffXYFF*,xyxyXYcomb Xfcomb YfG ff1）在实现信息的记录、存储、发送和处理时，由于物理器件有限的信息容量，一个连续函数往往要用它在一些分立的取样点上的函数值，即抽样值表示。如何选择抽样间隔，不丢失信息，并能恢复出原有连续函数？这就是抽样定理要研究的问题。2）函数的抽样利用梳状函数对连续函数g(x,y)抽样，有抽样函数由函数的阵列构成，各个空间脉冲在x方向和y方向的间距分别是X和Y。根据卷积定理，抽样函数的频谱为,*,xyxynmnmffG ffXY ,xynmnmGffXY

12、 3 3、抽样定理、抽样定理1122xyBBXY及原函数的频谱原函数的频谱抽样函数的频谱抽样函数的频谱2Bx2By假定g(x,y)是限带函数，其频谱Gs仅在频率平面一个有限区域R内不为零。若2Bx和2By分别表示包围R的最小矩形在fx和fy方向上的宽度，则只要或1122xyXYBB及Gs中各个频谱区域就不会出现混叠现象；这样，就可以使用滤波的方法，从Gs中抽取出原函数的频谱G，从而恢复出原函数。3 3、抽样定理、抽样定理因此，能由抽样值还原原函数的条件就是：1)g(x,y)是限带函数；2)在x,y方向抽样点最大允许间隔分别是1/2Bx和1/2By，其中2Bx和2By是包围G(fx,fy)的最小

13、矩形在fx和fy上的宽度。3）函数的还原选择一个合适的滤波器，将抽样函数作为输入，可使输出为原函数，即恢复出原函数。3 3、抽样定理、抽样定理,22yxxyxyffHffrectrectBB,4sin2sin222yxxyxyxyffh x yrectrectB BcB xcB yBBF,sin2sin22222xynmxyxynmnmg x ygcBxcByBBBB 假设选择矩形函数作为滤波函数，即根据卷积定理，可得到,4,sin2sin2xyxynmg x yB B XYg nX mYcBxnXcBymY 若取最大允许的抽样间隔，则即只要满足抽样的条件，在每个抽样点上放置一个抽样值为权重的

14、sinc函数作为内插函数，由这些sinc函数的线性组合就可复原原函数。上式称为惠特克-香农抽样定理。,sxygx ycombcombg x yXY3 3、抽样定理、抽样定理4）空间带宽积,g x yxxfByyfBxXyY若限带函数在频域、以外恒等于零，考虑函数在空域、的区间上抽样数目最少应为 22161122xyxyXYSWXYB BBB* * 空间带宽积空间带宽积SWSW定义为函数在空域和频域中所占面积之积定义为函数在空域和频域中所占面积之积44xyXYB B 空间带宽积用来描述空间信号（如图像）的信息量以及光学成像系统、信息处理系统能够传递或处理的信息容量。 本章小结本章小结1）线性系统理论是傅里叶光学的理论基础。傅里叶光学研究的就是光信息在线性系统线性系统中的传递、处理、变换和存储等。2）线性系统满足叠加积分的关系，利用这一关系，只要知道系统对位于输入平面上所有可能