第八章 点的合成运动副本

1、2022-6-261第八章第八章2022-6-262第八章第八章 点的合成运动点的合成运动本章主要研究了同一个运动的点（简称动点）相对于两个不同参考系本章主要研究了同一个运动的点（简称动点）相对于两个不同参考系运动之间的关系，建立了绝对运动、相对运动、牵连运动的概念，可运动之间的关系，建立了绝对运动、相对运动、牵连运动的概念，可概括为一个动点、两个参考系和三种运动。三种运动均有速度、加速概括为一个动点、两个参考系和三种运动。三种运动均有速度、加速度，分别称为绝对、相对、牵连速度，绝对、相对、牵连加速度。本度，分别称为绝对、相对、牵连速度，绝对、相对、牵连加速度。本章重点推出了绝对、相对、牵连速

2、度之间的关系，绝对、相对、牵连章重点推出了绝对、相对、牵连速度之间的关系，绝对、相对、牵连加速度之间的关系，分别称为速度合成定理和加速度合成定理，并对加速度之间的关系，分别称为速度合成定理和加速度合成定理，并对如何使用进行了练习。如何使用进行了练习。理论力学课程理论力学课程“理论易懂，做题困难理论易懂，做题困难”的特点在这一章中有所体现。的特点在这一章中有所体现。2022-6-263第八章第八章 点的合成运动点的合成运动2022-6-2648-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动一点一点（动点）（动点）二系二系定系定系动系动系绝对运动绝对运动相对运动相对运动牵连运动

3、牵连运动三运动三运动2022-6-2658-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动1动点动点 一个处于运动状态的无大小、质量的几何意义上的点，可以是由一一个处于运动状态的无大小、质量的几何意义上的点，可以是由一个物体抽象成的点，也可以是某运动刚体上的一个点。个物体抽象成的点，也可以是某运动刚体上的一个点。2定系定系 一般以固结于地球表面的坐标系作为静（定）系。一般以固结于地球表面的坐标系作为静（定）系。3动系动系 建立在相对静系运动的参考体上的坐标系。建立在相对静系运动的参考体上的坐标系。2022-6-2668-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动

4、绝对运动在用点的合成运动概念做题时，一定要首先声明所选的动点和动系，在用点的合成运动概念做题时，一定要首先声明所选的动点和动系，静参考系一般不用声明，也不用画出，动参考系建于那个物体上需静参考系一般不用声明，也不用画出，动参考系建于那个物体上需要文字说明，可以画出也可以不画出。要文字说明，可以画出也可以不画出。2022-6-2678-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动4绝对运动绝对运动 动点相对于定系的运动。动点相对静（定）系的位移、轨迹、速度、动点相对于定系的运动。动点相对静（定）系的位移、轨迹、速度、加速度称为加速度称为绝对位移、轨迹、速度、加速度绝对位移、轨

5、迹、速度、加速度，通常用符号，通常用符号va，aa表示绝表示绝对速度与绝对加速度。对速度与绝对加速度。2022-6-2688-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动5相对运动相对运动 动点相对于动系的运动。动点相对动系的位移、轨迹、速度、加速动点相对于动系的运动。动点相对动系的位移、轨迹、速度、加速度称为度称为相对位移、轨迹、速度、加速度相对位移、轨迹、速度、加速度，通常用符号，通常用符号vr，ar表示相对速表示相对速度与相对加速度。度与相对加速度。2022-6-2698-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动6牵连运动牵连运动 动系相对于定

6、系的运动。在某瞬时，动点和动系重合的动系上一点动系相对于定系的运动。在某瞬时，动点和动系重合的动系上一点（称为（称为牵连点牵连点）相对定系的位移、轨迹、速度、加速度称为）相对定系的位移、轨迹、速度、加速度称为牵连位移、牵连位移、轨迹、速度、加速度轨迹、速度、加速度，通常用符号，通常用符号ve，ae表示牵连速度与牵连加速度。表示牵连速度与牵连加速度。2022-6-26108-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动7牵连点牵连点 动点和动系动点和动系重合重合的的动系上动系上的一点。的一点。2022-6-26118-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝

7、对运动在静（动）力学中求约束力时，一般要把所求的约束力用某种符号在静（动）力学中求约束力时，一般要把所求的约束力用某种符号表示，这具有任意性，无硬性规定，在其他地方也有这样的情况。表示，这具有任意性，无硬性规定，在其他地方也有这样的情况。但在表示绝对、相对、牵连速度与加速度时，一般要用上面规定的但在表示绝对、相对、牵连速度与加速度时，一般要用上面规定的符号表示，因为基本在国内所有理论力学教材和其他教材中，都用符号表示，因为基本在国内所有理论力学教材和其他教材中，都用这种符号，如同这种符号，如同y，x一样，这已经约定俗成。在这种情况下，每一样，这已经约定俗成。在这种情况下，每位同学再自己重新规定

8、一些符号已无意义，在平时考试和考研中，位同学再自己重新规定一些符号已无意义，在平时考试和考研中，一定要注意这一点。一定要注意这一点。2022-6-26128-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动在上面三种运动的定义中，为什么定义了绝对位移与轨迹、相对位在上面三种运动的定义中，为什么定义了绝对位移与轨迹、相对位移和轨迹，而不定义牵连位移和轨迹？在说到位移、轨迹、速度、移和轨迹，而不定义牵连位移和轨迹？在说到位移、轨迹、速度、加速度时，是对点而言，还是对物体（刚体）而言？说一个刚体的加速度时，是对点而言，还是对物体（刚体）而言？说一个刚体的位移、轨迹、速度、加速度对不对

9、？牵连运动是一个点的运动还是位移、轨迹、速度、加速度对不对？牵连运动是一个点的运动还是一个物体（刚体）的运动？一个物体（刚体）的运动？2022-6-26138-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动再者，在定义牵连速度、加速度时，为什么不说动点和动参照物重再者，在定义牵连速度、加速度时，为什么不说动点和动参照物重合的动参照物上一点，而说成动点和动系重合的动系上一点？参照合的动参照物上一点，而说成动点和动系重合的动系上一点？参照物和参考系有无区别？这一点在作某些题目时要特别注意，参照物物和参考系有无区别？这一点在作某些题目时要特别注意，参照物再大也是有限的，而参考坐标系

10、是无限大的，因而牵连点可能在参再大也是有限的，而参考坐标系是无限大的，因而牵连点可能在参照物上，也可能不在参照物上而在参考坐标系上。照物上，也可能不在参照物上而在参考坐标系上。2022-6-26148-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26158-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26168-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26178-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26188-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动

11、牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26198-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26208-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26218-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26228-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26238-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26248-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26258-1 8-

12、1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26268-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26278-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26288-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26298-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26308-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26318-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动20

13、22-6-26328-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26338-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26348-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26358-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26368-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26378-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26388-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动

14、牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26398-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26408-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26418-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26428-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26438-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26448-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26458-1 8-

15、1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26468-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26478-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26488-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26498-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26508-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26518-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动20

16、22-6-26528-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26538-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26548-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动2022-6-26558-1 8-1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动运动方程运动方程 tyytxx绝对运动绝对运动yxOM动系：动系：，动点：动点：运动方程运动方程 tyytxx相对运动相对运动cossinsincosyxyyyxxxOO2022-6-2656第八章第八章 点的合成运动点的合成运动2022-6-

17、26578-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理点的速度合成定理点的速度合成定理reavvv 动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和，即对速度的矢量和，即2022-6-26588-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理 在推导点的速度合成定理时，对动系没有任何限制条件，也就在推导点的速度合成定理时，对动系没有任何限制条件，也就是说，不论动系做何种运动，此定理均成立。是说，不论动系做何种运动，此定理均成立。 在绝对、牵连、相对速度能直观观察出的情况，可按直观观察在绝对、牵连、相对速度能直观观察出的情况，可按

18、直观观察结果画出三种速度，若绝对速度不在牵连、相对速度的对角线上，结果画出三种速度，若绝对速度不在牵连、相对速度的对角线上，则观察结果有误。在三种速度不能完全观察出的情况，可按题给条则观察结果有误。在三种速度不能完全观察出的情况，可按题给条件假设某种速度方向，最后以绝对速度在以牵连、相对速度为邻边件假设某种速度方向，最后以绝对速度在以牵连、相对速度为邻边所形成的平行四边形的对角线上为准。所形成的平行四边形的对角线上为准。2022-6-26598-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理 在推导点的速度合成定理时，对动系没有任何限制条件，也就在推导点的速度合成定理时，对动系没有任何限制条件，

19、也就是说，不论动系做何种运动，此定理均成立。是说，不论动系做何种运动，此定理均成立。 在绝对、牵连、相对速度能直观观察出的情况，可按直观观察在绝对、牵连、相对速度能直观观察出的情况，可按直观观察结果画出三种速度，若绝对速度不在牵连、相对速度的对角线上，结果画出三种速度，若绝对速度不在牵连、相对速度的对角线上，则观察结果有误。在三种速度不能完全观察出的情况，可按题给条则观察结果有误。在三种速度不能完全观察出的情况，可按题给条件假设某种速度方向，最后以绝对速度在以牵连、相对速度为邻边件假设某种速度方向，最后以绝对速度在以牵连、相对速度为邻边所形成的平行四边形的对角线上为准。所形成的平行四边形的对角

20、线上为准。2022-6-26608-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理 （1）选取动点、动参考系和定参考系。所选的参考系应）选取动点、动参考系和定参考系。所选的参考系应能将动点的运动分解成为相对运动和牵连运动。因此，动点能将动点的运动分解成为相对运动和牵连运动。因此，动点和动参考系不能选在同一个物体上；一般应使相对运动易于和动参考系不能选在同一个物体上；一般应使相对运动易于看清楚。看清楚。2022-6-26618-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理 （2）分析三种运动和三种速度。相对运动是怎样的一种）分析三种运动和三种速度。相对运动是怎样的一种运动（直线运动、圆周运动或其他

21、某种曲线运动）？牵连运运动（直线运动、圆周运动或其他某种曲线运动）？牵连运动是怎样的一种运动（平移、转动或其他某一种刚体运动）？动是怎样的一种运动（平移、转动或其他某一种刚体运动）？绝对运动是怎样一种运动（直线运动、圆周运动或其他某种绝对运动是怎样一种运动（直线运动、圆周运动或其他某种曲线运动）？各种运动的速度都有大小和方向两个要素，只曲线运动）？各种运动的速度都有大小和方向两个要素，只有已知四个要素时才能画出速度平行四边形。有已知四个要素时才能画出速度平行四边形。2022-6-26628-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理 （3）应用速度合成定理，作出速度平行四边形。必须注）应用速

22、度合成定理，作出速度平行四边形。必须注意，作图时要使绝对速度成为平行四边形的对角线。意，作图时要使绝对速度成为平行四边形的对角线。 （4）利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。）利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。2022-6-26638-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理2022-6-26648-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理2022-6-26658-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理2022-6-26668-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理2022-6-26678-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理2022-6-26688-

23、2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理2022-6-26698-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理2022-6-26708-2 8-2 点的速度合成定理点的速度合成定理2022-6-2671第八章第八章 点的合成运动点的合成运动2022-6-26728-3 8-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理点的加速度合成定理点的加速度合成定理Creaaaaa 动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度、动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，即相对加速度与科氏加速度的矢量和，即其中，科氏加速度其中，科氏加速度reCva2sin2re

24、va C大小指向按右手法则确定。，和方向垂直与rev2022-6-26738-3 8-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理点的加速度合成定理点的加速度合成定理reaaaa 当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。此时，由于此时，由于0e02reCva故故2022-6-26748-3 8-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理动系平移时的加速度合成定理和速度合成定理在形式上相同，但速度动系平移时的加速度合成定理和速度合成定理在形式上相同，但速度合成定理

25、有合成定理有3个矢量，而动系平移时的加速度合成定理最多可有个矢量，而动系平移时的加速度合成定理最多可有6个矢个矢量，绝对切向、法向加速度，牵连切向、法向加速度，相对切向、法量，绝对切向、法向加速度，牵连切向、法向加速度，相对切向、法向加速度。动系转动时的加速度合成定理里有科式加速度，最多可有向加速度。动系转动时的加速度合成定理里有科式加速度，最多可有7个矢量，所以求解速度和加速度矢量的方法大多数情况下不同。个矢量，所以求解速度和加速度矢量的方法大多数情况下不同。2022-6-26758-3 8-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理求解速度问题，一般归结为求解三角形的问题，对直角三角形，一般

26、求解速度问题，一般归结为求解三角形的问题，对直角三角形，一般很容易求解，对斜三角形，一般用正弦定理、余弦定理或三角知识求很容易求解，对斜三角形，一般用正弦定理、余弦定理或三角知识求解，均相对比较容易。求解加速度问题，因涉及的矢量较多，通常采解，均相对比较容易。求解加速度问题，因涉及的矢量较多，通常采用在轴上投影的方法解决，计算相对复杂一些，且要注意与刚养成的用在轴上投影的方法解决，计算相对复杂一些，且要注意与刚养成的列平衡方程的习惯，方程右边等于零区别开来，此处用的是合矢量投列平衡方程的习惯，方程右边等于零区别开来，此处用的是合矢量投影定理，不要按方城右边等于零计算。加速度合成定理一般为平面矢

27、影定理，不要按方城右边等于零计算。加速度合成定理一般为平面矢量式，可求解两个未知数。请同学们考虑，加速度合成定理有无空间量式，可求解两个未知数。请同学们考虑，加速度合成定理有无空间矢量式？若为空间矢量式，可求解几个未知数？矢量式？若为空间矢量式，可求解几个未知数？ 2022-6-26768-3 8-3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理记忆加速度合成定理可按平移、定周转动分别记忆，也可统一按公式记忆加速度合成定理可按平移、定周转动分别记忆，也可统一按公式aa=ae+ar+aC记忆，当动系平移时，自然有记忆，当动系平移时，自然有we=0，所以有，所以有aC=0。教材大。教材大部分题目中动系或为

28、平移，或为定轴转动，但对动系为刚体平面运动，部分题目中动系或为平移，或为定轴转动，但对动系为刚体平面运动，公式公式aa=ae+ar+aC仍然成立。仍然成立。2022-6-2677第八章第八章 点的合成运动点的合成运动2022-6-2678 2022-6-26792022-6-26802022-6-2681 Oxy，2022-6-26822022-6-268300ea577. 060 cot cotvvvvreavvv2022-6-26842022-6-26852022-6-26862022-6-2687 。 2022-6-2688动系动系Oxy，绝对运动绝对运动相对运动相对运动牵连运动牵连运动

29、动点动点直升飞机直升飞机。Oxy2022-6-26891 -2a2erhkm 18.41vvv486.0 taneavv92.25reavvv绝对速度绝对速度相对速度相对速度牵连速度牵连速度Oxy2022-6-26902022-6-26912022-6-26922022-6-2693y x2022-6-2694reavvvvavevr2022-6-2695reavvv sinaevv 22211erlrAOv, sin22rlr， arv 222erlrv221rlAO2221rlrvavevr2022-6-26962022-6-26972022-6-26982022-6-2699R2022-

30、6-26100yx2022-6-26101reavvveOAeOAvvcotea2022-6-261022022-6-261032022-6-26104 2022-6-26105reavvv385. 0 sin21aevvvv6 .222022-6-261062022-6-261072022-6-26108, cos12vv tan1rvv reavvv2022-6-26109tttttx4sin64cos2522ttttty4cos64sin232tx226ty cos sin sin cosyxyyyxxxoo sin6 cos24 sin64 cos25222ttxttttto cos6

31、 sin24 cos64 sin2322ttyttttto,52txo, 3tyot 42022-6-26110 2022-6-261112022-6-26112) cos1 ( cos11rvtrMOOOxrvtrMOy sin sin1, 0OOxx, 0OOyyttrvtrtrvtrxsinsincos)cos1(trvtrtrvtrycossinsin)cos1(cossinsincosyxyyyxxxOOrvt2022-6-261132022-6-261142022-6-261152022-6-261162022-6-26117txxcostxysintbttbx2sin2cossi

32、n)2cos1 (2sin2tbtby4)2()(222bbyx2022-6-26118yyxxOOyxMMOu 2022-6-26119),sin(,ktayOMutOO).sin(,ktaOMyutOOxuxkaysinyyxxOOyxMMOu，2022-6-2612030BAM2022-6-2612130BAMyx2022-6-26122reavvv6030BAMyx2022-6-26123-1ae2a2ersm 6 . 360 cos2vvvvv214660 sinarcsinrevvreavvv30BAMyx2022-6-261242022-6-261252022-6-26126 ，

33、xyzO2022-6-26127 )sin(elev1rlv xyzO2022-6-261281 -212222r2easkm 060 3 )sin(llevvv5) sin( tan1rellevv69.78reavvvxyzO2022-6-261292022-6-261302022-6-26131 ，xzy2022-6-26132reavvv2022-6-2613321222r2eaRvvv12retanvvreavvv2022-6-261342022-6-261352022-6-261362022-6-26137reavvv tan tan1evvvasecsec1ervvv2022-6

34、-26138nrtreaaaaa1 2022-6-26139nrea sin cosaaa3211asectanvaax1nrtreaaaaa2022-6-261402022-6-261412022-6-26142trvddetrvddr2022-6-26143reavvvtrvvddrartrvvddea222a2ara)dd(ddtrtrvvvrrvvtgaar2022-6-2614422rddtraCrenetaaaaaa22teddtra2ne)dd(tratrtvadddd22rC2022-6-26145 222raddddtrtratrtrtrttradddd1dddd2)dd(2

35、22a2222222a2raa)dd(dd1)dd(ddtrtrtrtraaaCrenetaaaaaa2022-6-261462022-6-261472022-6-26148，2022-6-26149reavvvcoscos0aelvvvD2022-6-261502022-6-26151retanaaaaaenatasincosaaa)sincos(200ela2022-6-261522022-6-261532022-6-26154Bxy，yx2022-6-26155reaaaa cos cos2aeBCraaa2022-6-261562022-6-26157 Oxy，凸轮轮廓曲线凸轮轮廓曲线

36、2022-6-26158sinsinervvvreavvv2022-6-26159 aeaanratra2022-6-26160nrea cossinaaa3222asin cot)sin cos( sin1RvaRvaarnrteaaaaaaeaanratra2022-6-261612022-6-261622022-6-26163yxO ，2022-6-26164yxO reavvv sec cos0errvv2022-6-26165aeaaaCtranrayxO ;20e ra;2rnrva r0C2va2022-6-2616622022rnrsecrvasec2220r0CrvaCnre

37、acoscosaaaa)sec2seccos(cos120220220arrra22320)sec2sec1 (rrCnrtreaaaaaa,20e raaeaaaCtranrayxO 2022-6-261672022-6-261682022-6-261692ersincoscotsincothhvvreavvv2022-6-26170Caaasin32sincos2sinhaaCacreaaaaa sinhear0C2va2022-6-2617160302022-6-261722022-6-261736030 Cxy，线线2022-6-261746030 rvvvoarelrlvlvOBer

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