第3章 连续时间信号的处理

1、信号分析与处理信号分析与处理1 1 1第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理 第三章第三章 连续时间信号处理连续时间信号处理3.1 3.1 线性时不变连续系统的时域数学模型线性时不变连续系统的时域数学模型 3.1.1 3.1.1 微分方程的建立微分方程的建立 3.1.2 3.1.2 微分方程的求解微分方程的求解 3.2 3.2 计算零状态响应的卷积积分法计算零状态响应的卷积积分法 3.2.1 3.2.1 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应 3.2.2 3.2.2 冲激响应冲激响应 3.2.3 3.2.3 用卷积积分计算零状态响应用卷积积分计算零状态响应 3.3 3.3 系统函数

2、系统函数 3.3.1 3.3.1 系统函数的定义系统函数的定义 3.3.2 3.3.2 系统的三种描述方式系统的三种描述方式 3.3.3 3.3.3 用系统函数计算系统的零状态响应用系统函数计算系统的零状态响应 3.3.4 3.3.4 由系统函数的零极点分布确定时域特性由系统函数的零极点分布确定时域特性 3.4 3.4 信号的频域处理信号的频域处理信号分析与处理信号分析与处理2 2 2第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3.4 3.4 信号的频域处理信号的频域处理 3.4.1 3.4.1 系统的频率响应系统的频率响应 3.4.2 3.4.2 信号的无失真传输条件信号的无失真传输条件 3

3、.4.3 3.4.3 理想低通滤波器理想低通滤波器 3.4.4 3.4.4 实际模拟滤波器实际模拟滤波器 信号分析与处理信号分析与处理3 3 3第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理F信号处理方法：信号处理方法：时域、复频域、频域时域、复频域、频域。F线性时不变系统的响应零输入响应零状态响应线性时不变系统的响应零输入响应零状态响应F线性时不变系统分析的一个重要思想：线性时不变系统分析的一个重要思想：将输入信号表示为某将输入信号表示为某个个基本信号基本信号的线性组合，当系统对该基本信号的零状态响应的线性组合，当系统对该基本信号的零状态响应已知，根据叠加原理和时不变性，系统的零状态响应则为基

4、已知，根据叠加原理和时不变性，系统的零状态响应则为基本信号响应的组合，其组合规律与输入信号的相同。本信号响应的组合，其组合规律与输入信号的相同。输入为零，仅由初始状态输入为零，仅由初始状态产生的响应产生的响应初始状态为零，仅由输入信号初始状态为零，仅由输入信号产生的响应产生的响应信号分析与处理信号分析与处理4 4 4第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理例如，例如，若已知系统对基本信号若已知系统对基本信号 输入时的零状态输入时的零状态响应为响应为 ，又已知输入，又已知输入 可以表示为可以表示为)(0tx)(0ty)(tx)()()()(303202101ttxattxattxatx则输入

5、为则输入为 时的零状态响应为时的零状态响应为)(tx)()()()(303202101ttyattyattyaty时域：时域：单位冲激信号就是这样一种基本信号，单位冲激信号就是这样一种基本信号，任一信号任一信号都可以用冲激信号的积分形式表示，即冲激信号的线性都可以用冲激信号的积分形式表示，即冲激信号的线性组合。组合。卷积积分卷积积分频域：频域：信号分解为信号分解为 的线性组合。的线性组合。 频率响应频率响应复频域：复频域：信号分解为信号分解为 的线性组合。的线性组合。 系统函数系统函数stetje信号分析与处理信号分析与处理5 5 5第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3.1 3.1

6、线性时不变连续系统的时域数学模线性时不变连续系统的时域数学模型型微分方程微分方程3.1.1 3.1.1 微分方程的建立微分方程的建立基尔霍夫定律（基尔霍夫定律（KCLKCL、KVLKVL）元件的电压电流约束关系（元件的电压电流约束关系（VCRVCR）依据：依据：例：例：图示图示RLCRLC串联电路中，串联电路中，e e( (t t) )为激励信号，输出响应为回路中为激励信号，输出响应为回路中的电流的电流i i( (t t) ) 。试求该电路中响应与激励的数学关系。试求该电路中响应与激励的数学关系。 信号分析与处理信号分析与处理6 6 6第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理解：解：根据根

7、据KVLKVL，得，得 RLCututute t由元件由元件VCRVCR，有，有 1RLtCutRi tdi tutLdtutidC 1tdi tRi tLide tdtC 221d i tdi tde tLRi tdtdtCdt二阶线性常系数微分二阶线性常系数微分方程，对应于一个二方程，对应于一个二阶系统阶系统 信号分析与处理信号分析与处理7 7 7第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理 1110111101nnnnnmmmmmmdddy tay tay ta y tdtdtdtdddbx tbx tbx tb x tdtdtdt对于一个对于一个n n阶系统，设激励信号为阶系统，设激励

8、信号为x x( (t t) )，响应为，响应为y y( (t t) )，可，可用一个用一个n n阶常系数线性微分方程来描述。阶常系数线性微分方程来描述。 LTILTI系统的时域数学模型：系统的时域数学模型：LTI系统系统x(t)y(t)式中，式中，an-1, ,a0和和bm, ,b0均为常数，均为常数，nm。信号分析与处理信号分析与处理8 8 8第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3.1.2 3.1.2 微分方程的求解微分方程的求解1 1、时域经典解法、时域经典解法 hpy tytyt齐次解齐次解为齐次微分方程为齐次微分方程的解，其函数形式由微分方程的特征根决定。的解，其函数形式由微分

9、方程的特征根决定。齐次解的形式仅取决于系统本身的特性（特征根），与激励信齐次解的形式仅取决于系统本身的特性（特征根），与激励信号的函数形式无关，称为系统的号的函数形式无关，称为系统的自由响应自由响应或或固有响应固有响应；特解特解的函数形式由激励信号决定，称为系统的的函数形式由激励信号决定，称为系统的强迫响应强迫响应。 )()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatymmmmnnn全解：全解：齐次解齐次解 0)()()()(01)1(1)(tyatyatyatynnn特解特解 信号分析与处理信号分析与处理9 9 9第第3章章 连续时间

10、信号处理连续时间信号处理例：例：描述某线性时不变连续系统的微分方程为描述某线性时不变连续系统的微分方程为 2232td y tdy ty tetdtdt 000yy试求系统的响应。试求系统的响应。解：解：特征方程为特征方程为 2320其特征根其特征根1 11 1，2 22 2。该方程的。该方程的齐次解齐次解为为 212tthytC eC e tx te 01ttpytC eC te激励激励，且且a a1 1与特征根与特征根1 1相同，故该方程的相同，故该方程的特解特解为为 将特解代入微分方程，比较方程两边系数可得将特解代入微分方程，比较方程两边系数可得C C0 0=0 =0 ，C C1 1=1

11、=1。所以所以特解特解 tpytte因此方程的因此方程的完全解完全解为为 212ttthpy tytytC eC ete信号分析与处理信号分析与处理101010第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理 1200yCC 120210yCC 2ttty teetet 代入初始条件代入初始条件 解得解得 C C1 1= =1 1 ，C C2 2=1=1。从而系统的响应。从而系统的响应为为 2 2、应用拉普拉斯变换法解微分方程、应用拉普拉斯变换法解微分方程 描述描述n n阶系统的微分方程的一般形式为阶系统的微分方程的一般形式为 nimjjjiitxbtya00)()()()(系统的初始状态为系统的

12、初始状态为y(0y(0- -) ,y) ,y(1)(1)(0(0- -),),，y y(n-1) (n-1) (0(0- -) )。信号分析与处理信号分析与处理111111第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理思路思路：用拉普拉斯变换微分特性用拉普拉斯变换微分特性)0()()()(101)(pippiiiyssYsty niniipmjjjppiiiisXsbysasYsa00100)(1)()0()(s s域的代数方程域的代数方程t t域的微分方程域的微分方程nimjjjiitxbtya00)()()()(11( )00000(0 )( )( )nimippjijipjnniiiiii

13、asyb sY sX sa sa s 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应y(t)若若 在在t t = 0 = 0时接入系统，则时接入系统，则)()()(sXstxjj)(tx信号分析与处理信号分析与处理121212第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理例例. . 某某LTI系统由微分方程描述系统由微分方程描述22( )( )32 ( )( ),( )2 ( )d y tdy ty tx tx ttdtdt(0 )3,y(0 )5y 求响应求响应( )y t解：对方程进行单边拉氏变换：解：对方程进行单边拉氏变换：22( )(0 )(0 )3( )(0 )2 ( )s Y ssyysY

14、 syY ss2223(3)52( )3232(32)零输入响应零状态响应sY ssssss ss 代入代入(0 )3,y(0 )5y 可得可得:信号分析与处理信号分析与处理131313第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理其中，第一项为其中，第一项为强迫响应强迫响应，其它为，其它为自然响应。自然响应。222342342( )32(32)(1)(2)sssY ssss sss ss11312sss 2( )(13) ( )tty teet信号分析与处理信号分析与处理141414第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3.2 3.2 计算零状态响应的卷积方法计算零状态响应的卷积方法3.

15、2.1 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 zizsy tytyt零输入响应零输入响应 完全响应完全响应：零状态响应零状态响应 零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态( )0jy所引起的响应。由于激励为零，故有所引起的响应。由于激励为零，故有零状态响应是系统的初始状态为零时仅由激励所引起的响应零状态响应是系统的初始状态为零时仅由激励所引起的响应 。在在t=0t=0- -时刻激励尚未接入，故应有时刻激励尚未接入，故应有( )( )( )000zizijjjyyy ()00jzsy信号分析与处理信号分析与处理151515第第3章章 连续时间信号处

16、理连续时间信号处理 零输入响应中，初始状态是指系统没加外部激零输入响应中，初始状态是指系统没加外部激励时系统的固有状态，反映的是系统以往的历励时系统的固有状态，反映的是系统以往的历史信息。史信息。(1)(1)(0 ),(0 ),(0 )(0),(0),(0)nnyyyyyy区别：区别： 零状态响应的求解有经典法和卷积法。零状态响应的求解有经典法和卷积法。信号分析与处理信号分析与处理161616第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理 2256d y tdy ty tx tdtdt 6x tt010y00y 22560d y tdy ty tdtdt2560 2312ttziytC eC e

17、00010ziziyyy0000ziziyyy 231010ttziyteet例：例：描述某线性时不变连续系统的微分方程为描述某线性时不变连续系统的微分方程为，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。由特征方程由特征方程有有1= -2，2= -3。则齐次解则齐次解 代入初始条件代入初始条件解得解得C1=10 ，C2=10。于是零输入响应为于是零输入响应为 解：（解：（1 1）求零输入响应）求零输入响应yzi(t)当激励为零时，满足齐次方程当激励为零时，满足齐次方程信号分析与处理信号分析与处理171717第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理 6x

18、tt 1pyt 2312ttC eC e 23121ttzsytC eC et000zszsyy000zszsyy 23321ttzsyteet 23781ttzizsy tytyteet（2 2）求零状态响应）求零状态响应yzs(t)则方程的特解则方程的特解由于齐次解为由于齐次解为则则 由于激励为阶跃函数，在由于激励为阶跃函数，在t=0t=0时不会使系统发生突变，因此时不会使系统发生突变，因此，解得解得C1=3 ，C2=2。于是零状态响应为于是零状态响应为 （3 3）全响应）全响应 由于激励由于激励信号分析与处理信号分析与处理181818第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理1. 1.

19、 定义：系统在单位冲激信号激励下的零状态定义：系统在单位冲激信号激励下的零状态响应，简称冲激响应，以响应，简称冲激响应，以h(t)h(t)表示表示. .2. 2. 求解：用常系数微分方程描述的系统，其冲激求解：用常系数微分方程描述的系统，其冲激响应满足响应满足)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(tbtbtbtbthathathathmmmmnnnmn )()()(1tuekthnitsii当则：式中，待定系数式中，待定系数), 2 , 1(niki采用冲激平衡法确定采用冲激平衡法确定( )(0 )0(0,1,1)及初始状态ihin3.2.2 冲激响应冲激响应信号分析

20、与处理信号分析与处理191919第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3. 3. 特点：特点：4. 4. 冲激响应在系统分析中的作用：冲激响应在系统分析中的作用：1).1).冲激响应由系统的特征根组成；冲激响应由系统的特征根组成；2).2).冲激响应的形式与齐次解的形式相同；冲激响应的形式与齐次解的形式相同；3).3).冲激响应中的待定系数由冲激函数平衡法决定；冲激响应中的待定系数由冲激函数平衡法决定；4).4).冲激响应中可能含有冲激函数。冲激响应中可能含有冲激函数。1).1).用冲激响应求解系统的零状态响应；用冲激响应求解系统的零状态响应；2).h(t)2).h(t)可以表征系统本身

21、的特性。可以表征系统本身的特性。信号分析与处理信号分析与处理202020第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理例例1：已知某线性时不变系统的动态方程为：已知某线性时不变系统的动态方程为：( )3 ( )2 ( ),0dy ty tx ttdt试求系统的冲激响应试求系统的冲激响应h(t)。解：由冲激响应定义，当解：由冲激响应定义，当( )( )x tt时，时，y(t)即为即为h(t),原动态方程为原动态方程为：0),(2)(3)(ttthdttdh特征根特征根s1 =-3，且，且nm,则冲激响应则冲激响应h(t)为：为： 3( )( )th tAet其中，其中，A为待定系数，将为待定系数，

22、将h(t)代入原方程式有：代入原方程式有： 33( )3( )2 ( )ttdAetAettdt信号分析与处理信号分析与处理212121第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理333( ) 3( ) 3( )2 ( )tttAetAetAett)(2)(ttA筛选特性筛选特性( ) ( )(0) ( )x ttxt解得解得A2，则系统的冲激响应为：，则系统的冲激响应为：3( )2( )th tet信号分析与处理信号分析与处理222222第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理例例2：已知某线性时不变系统的动态方程为：已知某线性时不变系统的动态方程为：( )6 ( )2 ( )3 ( )

23、,0dy ty tx tx ttdt试求系统的冲激响应试求系统的冲激响应h(t)。解：由冲激响应定义，当解：由冲激响应定义，当( )( )x tt时，时，y(t)即为即为h(t),原动态方程为：原动态方程为：0),(3)(2)(6)(tttthdttdh特征根特征根s1 =-6，且，且n=m,为保持动态方程左右平衡，冲激响应为保持动态方程左右平衡，冲激响应h(t)必含必含 则冲激响应则冲激响应h(t)为：为： 6( )( )( )th tAetBt其中，其中，A、B为待定系数，将为待定系数，将h(t)代入原方程式有：代入原方程式有： 66( )( )6( )( )2 ( )3( )ttdAet

24、BtAetBtttdt)(t信号分析与处理信号分析与处理232323第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理)(3)(2)()()6(tttBtBA筛选特性筛选特性( ) ( )(0) ( )x ttxt解得解得A16，B3。系统的冲激响应为：系统的冲激响应为：6( )3( )16( )th ttet)(3)(2)()(6)(6tttBtBtAet326BBA总结：冲激响应总结：冲激响应h(t)h(t)中是否含冲激信号中是否含冲激信号 及其高阶导数，是及其高阶导数，是过观察动态方程右边的过观察动态方程右边的 的导数最高次与方程左边的导数最高次与方程左边h(t)h(t)的导的导数次来决定。对

25、于数次来决定。对于h(t)h(t)中的中的 项，其形式由特征方程的特征根项，其形式由特征方程的特征根来定。来定。)(t)(t)(t信号分析与处理信号分析与处理242424第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理2( )3( )2 ( )2( )3( )s Y ssY sY ssX sX s( ) ( )1X sLt22311( )3212sY sssss方法二：拉普拉斯变换法方法二：拉普拉斯变换法 由于由于对上式作拉氏逆变换，得系统的冲激响应为对上式作拉氏逆变换，得系统的冲激响应为方程两边取拉氏变换，得方程两边取拉氏变换，得 2tth teet 223223d y tdy ty tx tx

26、 tdtdt信号分析与处理信号分析与处理252525第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3.2.3 用卷积积分计算零状态响应用卷积积分计算零状态响应 1、连续时间信号的冲激表示、连续时间信号的冲激表示d)()()(txtx任一信号任一信号x(t)可用无限多个不同加权的冲激函数的可用无限多个不同加权的冲激函数的“和和”表示：表示： 2、求解求解LTI系统零状态响应的卷积方法系统零状态响应的卷积方法l原理：原理：将信号分解为冲激信号的加权和，借助冲激响应，求解将信号分解为冲激信号的加权和，借助冲激响应，求解系统对任一信号的零状态响应。系统对任一信号的零状态响应。l卷积定义：卷积定义： 对于

27、任意两个信号对于任意两个信号f1(t)和和f2(t),两者的卷积运算定义为两者的卷积运算定义为12122121( )( )( )()( )()( )( )f tf tff tdff tdf tf t信号分析与处理信号分析与处理262626第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理任意信号任意信号x(t)x(t)分解为单位冲激信号的线性组合分解为单位冲激信号的线性组合0( )( ) ()lim() ()kx txtdx ktk 系统的冲激响应系统的冲激响应h(t)h(t)()(thtT系统的时不变特性系统的时不变特性)()(kthktT线性特性的均匀性线性特性的均匀性 ()()()()T x

28、ktkx kh tk 卷积与零状态响应卷积与零状态响应信号分析与处理信号分析与处理272727第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理( )( ) ()( )( )zsytxh tdx th t0即：即：y yzszs(t)(t)等于等于x(t)x(t)与与h(t)h(t)的卷积积分的卷积积分线性特性的叠加性线性特性的叠加性()()()()kkTx ktkx kh tk ( ) ()( ) ()Txtdxh td 在输入信号在输入信号x(t)作用下，系统的零状态响应为输入信号与冲作用下，系统的零状态响应为输入信号与冲激响应的卷积积分。激响应的卷积积分。 信号分析与处理信号分析与处理2828

29、28第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3、卷积运算的性质l卷积的代数性质卷积的代数性质)()()()(txththtx交换律交换律( )x t( )h t()()xt ht( )x t( )h t()()htxt交换律交换律表示两个函数卷积，其顺序可以交换。有时可使卷积简表示两个函数卷积，其顺序可以交换。有时可使卷积简便。在系统分析中，这意味着一个冲激响应为便。在系统分析中，这意味着一个冲激响应为h(t)的的LTILTI系统对系统对输入输入x(t)的响应与一个冲激响应为的响应与一个冲激响应为x(t)的的LTILTI系统对输入系统对输入h(t)的响的响应是一样的。应是一样的。信号分析与

30、处理信号分析与处理292929第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理分配律分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。并联系统的各子系统冲激响应之和。x(t)h1(t)h2(t)()()(21ththtx分配律分配律)()()()()()()(2121thtxthtxththtx信号分析与处理信号分析与处理303030第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理结合律结合律)()()()(*)()(2121ththtxththtx结合律结合律用于系统分析，相当于级联系统的冲激响应，等于组成用于系统分

31、析，相当于级联系统的冲激响应，等于组成级联系统的各子系统冲激响应的卷积。改变两个系统的级联顺级联系统的各子系统冲激响应的卷积。改变两个系统的级联顺序，系统总的响应保持不变。序，系统总的响应保持不变。 h1(t) h2(t)x(t)()()(21ththtx信号分析与处理信号分析与处理313131第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理l卷积的时移性质卷积的时移性质)()(*)(tythtx)()(*)()(*)(211221tttytthttxtthttx)()(*)(11ttythttxh(t)x(t)y(t)h(t)y(t-t1)x(t-t1)h(t-t2)x(t-t1)y(t-t1-

32、t2)h(t-t2)x(t)y(t-t2)时不变性质时不变性质 000 x tttx tttx tt信号分析与处理信号分析与处理323232第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理l卷积的微积分性质卷积的微积分性质（1 1）卷积的微分）卷积的微分dd ( )d ( ) ( )( )( )( )dddx th tx th th tx ttttd ( )d ( )( )d ( )( )( )( )dddx tx ttx ttx ttttt( )( )( )x ttx t ( )* ( )d( )d * ( )( )*( )d tttxhxh tx th 与冲激偶信号的卷积与冲激偶信号的卷积 （

33、2 2）卷积的积分）卷积的积分( 1)( 1)( 1)( )( )( )( )( )xtxttx tt特别地：特别地：特别地：特别地：与阶跃信号的卷积与阶跃信号的卷积 tx ttxd信号分析与处理信号分析与处理333333第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理 与冲激信号与冲激信号 的卷积，等于的卷积，等于x(t)x(t)本身；本身； 与冲激偶信号与冲激偶信号 的卷积，等于的卷积，等于x(t)x(t)的导数；的导数； 与阶跃信号与阶跃信号 的卷积，等于的卷积，等于x(t)x(t)的积分。的积分。( )( )( )x ttx t( )()()x tt Tx t T1212()()()x t

34、 tt tx t tt ( )( )( )x ttx t1( )( )( )x ttxt( ) t( ) t( ) t信号分析与处理信号分析与处理343434第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理例例1： 求求 )2(*) 1()(ttty解：解： 根据时移性质和微积分性质，有根据时移性质和微积分性质，有 )3()3()3( )3(*)()3(*)() 12(*)()(3)1()1(ttdttttttttyt信号分析与处理信号分析与处理353535第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理例例2: 已知系统的冲激响应已知系统的冲激响应)(e)(2ttht求输入求输入 时的零状态响应时的

35、零状态响应yzs(t)。 )(e)(3ttxt解：解： d)(eed)(eed)()()(*)()(03)(3020tttxhtxthtytt)()ee (eedee320303ttttttt信号分析与处理信号分析与处理363636第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理( )( )th tet( )( )(2)x ttt( )( )* ( )( )* ( )( )* (2)ttzsyth tx tettett0( )* ( )(1) ( )( )tttette detf t( )* (2)(2)tettf t(2)( )(1) ( )1 (2)ttzsytetet 例例3: 已知系统的冲

36、激响应已知系统的冲激响应求输入求输入 时的零状态响应时的零状态响应yzs(t)。 解：解： 信号分析与处理信号分析与处理373737第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3.3 3.3 系统函数系统函数3.3.1 系统函数的定义系统函数的定义系统函数系统函数H H(s)(s)定义为定义为 )()()()()(defsDsNsXsYsH它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。系统函数的来源系统函数的来源信号分析与处理信号分析与处

37、理383838第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理l 由描述系统输入输出关系的微分方程由描述系统输入输出关系的微分方程( (零状态零状态) )产生产生l 由时域卷积产生由时域卷积产生l 由系统冲激响应产生由系统冲激响应产生l 由由s s域电路模型产生（初始条件为域电路模型产生（初始条件为0 0）)(d)(dd)(d)(d)(dd)(d01110111txbttxbttxbtyattyattyamm-mmmmnn-nnnn011011)()()(asasabsbsbsXsYsHnnnnmmmm)()()()(011011sXbsbsbsYasasammmmnnnn( )( )( )( )

38、( )( )y tx th tY sX s H s( ) ( )H sL h tI1(s)I2(s)U1(s)U2(s)+)()(,)()(,)()(,)()(12121212sUsIsIsIsIsUsUsU信号分析与处理信号分析与处理393939第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3.3.2 系统的三种描述方式系统的三种描述方式l 时域输入输出关系微分方程时域输入输出关系微分方程 经典法经典法l 时域的冲激响应时域的冲激响应h h( (t t) ) 卷积法卷积法ls s域的系统函数域的系统函数H H( (s s) ) 拉氏变换拉氏变换在这三种描述中，能够根据其中任一种形式推导出另外两

39、种在这三种描述中，能够根据其中任一种形式推导出另外两种形式。形式。信号分析与处理信号分析与处理404040第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理例例: 已知当输入已知当输入x (t)= e-t (t)时，某时，某LTI因果系统的零状态响应因果系统的零状态响应 y(t) = (3e-t - -4e-2t + e-3t) (t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解：解：65823224) 3)(2()4(2)()()(2sssssssssXsYsHh(t)= (4e-2t - -2e-3t) (t)微分方程为微分方程为 y(t)+5y(t)

40、+6y(t) = 2x (t)+ 8x(t) s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2sX(s)+ 8X(s) 取逆变换取逆变换 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2x (t)+ 8x (t) 信号分析与处理信号分析与处理414141第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3.3.3 用系统函数计算系统的零状态响应用系统函数计算系统的零状态响应 y(t)= h(t)*x(t)H(s)= L h(t)Y(s)= H(s)X(s)X(s)= L x(t)零状态零状态根据系统函数的定义，任意激励下，系统的零状态响应的根据系统函数的定义，任意激励下，系统的零状态响应的

41、象函数可以表示为系统函数与激励信号的象函数的乘积。象函数可以表示为系统函数与激励信号的象函数的乘积。 我们可以利用系统函数，在复频域中求得系统零状态响应的我们可以利用系统函数，在复频域中求得系统零状态响应的象函数，然后对其作拉普拉斯逆变换，求得时域中零状态响象函数，然后对其作拉普拉斯逆变换，求得时域中零状态响应的原函数。应的原函数。 信号分析与处理信号分析与处理424242第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理例例: te tEet如图所示电路，激励信号如图所示电路，激励信号求电路的零状态响应求电路的零状态响应u2(t)。 解解: 2212211111RUssCH sE sRRsCsCR

42、121121()RRRC sR R C kH ss EE ss 2kEUsH s E sss11kEss 2ttkEuteet令令11kRC1212RRR R C信号分析与处理信号分析与处理434343第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理1 1、系统函数的零、极点、系统函数的零、极点LTILTI系统的系统函数是复变量系统的系统函数是复变量s s的有理分式，即的有理分式，即 nm3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性由系统函数的零极点分布确定时域特性 11101110mmmmnnnnN sb sbsb sbH sD sa sasa saD(s)=0D(s)=0的根的根p p1 1，

43、p p2 2，p pn n称为系统函数称为系统函数H(s)H(s)的极点；的极点；N(s)=0N(s)=0的根的根z z1 1，z z2 2，z zm m称为系统函数称为系统函数H(s)H(s)的零点。的零点。 11mjjnniszksp信号分析与处理信号分析与处理444444第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理例例:) 1() 1()2(2)(22ssssHj0(2)-1-2j-j将零极点画在复平面上得将零极点画在复平面上得零、极点分布图。零、极点分布图。 由于多项式的系数为实数，因此系统函数的零极点为：由于多项式的系数为实数，因此系统函数的零极点为： 实数、共轭虚数、共轭复数实数、

44、共轭虚数、共轭复数零点：零点：z = -2极点：极点：p1 = -1, p2,3 = j信号分析与处理信号分析与处理454545第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理研究系统函数的零、极点有下列几个方面的意义研究系统函数的零、极点有下列几个方面的意义: :（1 1）从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率）从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率, ,进而了进而了解系统冲激响应的模式解系统冲激响应的模式, ,也就是说可以知道系统的冲激响应也就是说可以知道系统的冲激响应是指数型是指数型, ,衰减振荡型衰减振荡型, ,等幅振荡型等幅振荡型, ,还是几者的组合还是几者的组合, ,从而可从而

45、可以了解系统的响应特性及系统是否稳定。以了解系统的响应特性及系统是否稳定。（2 2）从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性）从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性, ,从从而可以分析系统的正弦稳态响应特性。而可以分析系统的正弦稳态响应特性。系统的时域、频域系统的时域、频域特性都集中地以其系统函数或系统函数的零、极点分布表现特性都集中地以其系统函数或系统函数的零、极点分布表现出来。出来。信号分析与处理信号分析与处理464646第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理2 2、系统函数、系统函数H(s)H(s)与时域响应与时域响应h(t)h(t) 冲激响应的函数形式由冲激响应的函

46、数形式由H(s)H(s)的极点确定。的极点确定。 所讨论系统均为因果系统。主要讨论单极点的情况所讨论系统均为因果系统。主要讨论单极点的情况。 信号分析与处理信号分析与处理474747第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理 H(s)H(s)按其极点在按其极点在s s平面上的位置可分为平面上的位置可分为: : 在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。 （1）在左半开平面：）在左半开平面：衰减衰减 (a)(a)若系统函数有若系统函数有负实单极点负实单极点p= p= (0)(0)，则，则N(s)N(s)中有因子中有因子(s+)(s+)，其所对应的响应函数为，其所对

47、应的响应函数为KeKe-t-t(t) (t) (b) (b) 若有一对若有一对共轭复极点共轭复极点p p1,21,2=-=-j j0 0，则，则N(s)N(s)中有因子中有因子(s+)(s+)2 2+ + 0 0 2 2 K eK e-t-tcos(cos(0 0 t+)(t)t+)(t) 以上两种情况：当以上两种情况：当tt时，响应均趋于时，响应均趋于0 0。信号分析与处理信号分析与处理484848第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理（2 2）在虚轴上）在虚轴上 ：等幅：等幅(a)(a)单极点单极点p=0p=0，则响应为，则响应为K(t) K(t) (b)(b)共轭虚数极点共轭虚数极

48、点p p1,21,2= =j j 0 0 则响应为则响应为 Kcos(Kcos(0 0 t+)(t)t+)(t)（3 3）在右半开平面）在右半开平面 ：均为递增函数。：均为递增函数。 (a)(a)正正实单极点实单极点p= (0)p= (0)，则响应为，则响应为KeKett(t) (t) (b) (b) 一对共轭复极点一对共轭复极点p p1,21,2=j j0 0 则响应为则响应为 K eK ettcos(cos(0 0 t+)(t) t+)(t) 信号分析与处理信号分析与处理494949第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理综合结论：综合结论：LTILTI连续因果系统的连续因果系统的h(

49、t)h(t)的函数形式由的函数形式由H(s)H(s)的极点确定。的极点确定。 H(s)H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当tt时，响应均趋于时，响应均趋于0 0。 H(s)H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数不增不减。在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数不增不减。 H(s)H(s)在右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。在右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当即当tt时，响应均趋于时，响应均趋于。 信号分析与处理信号分析与处理505050第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理 H(s)H(s)的极

50、点的极点的的实部实部决定了冲激响应随时间的决定了冲激响应随时间的衰减或衰减或增长增长情况。极点距离虚轴越远，即极点的实部的绝对值情况。极点距离虚轴越远，即极点的实部的绝对值越大，冲激响应的衰减或增长越快，反之越慢。而极点越大，冲激响应的衰减或增长越快，反之越慢。而极点的的虚部虚部决定了冲激响应随时间的决定了冲激响应随时间的正弦振荡正弦振荡情况。当极点情况。当极点距离实轴越远，即极点的虚部的绝对值越大，冲激响应距离实轴越远，即极点的虚部的绝对值越大，冲激响应正弦振荡的角频率越高，反之越低。正弦振荡的角频率越高，反之越低。 H(s)H(s)的零点的零点分布影响冲激响应的幅度和相位，但不分布影响冲激

51、响应的幅度和相位，但不影响冲激响应的变化规律。影响冲激响应的变化规律。 信号分析与处理信号分析与处理515151第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3.4 3.4 信号的频域处理信号的频域处理3.4.1 系统的频率响应系统的频率响应零状态零状态频率响应频率响应H H( ( ) )可定义为系统零状态响应的傅里叶变换可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y Y( ( ) )与与激励激励x x(t)(t)的傅里叶变换的傅里叶变换X X( ( ) )之比，即之比，即 傅里叶变换法傅里叶变换法 YHX jHHe H( ) 称为称为幅频特性幅频特性（或（或幅频响应幅频响应）；）； 称为称为相频特性相频

52、特性（或（或相频响应相频响应）。）。 H H( ( ) ) 是是 的偶函数，的偶函数， 是是 的奇函数的奇函数。 信号分析与处理信号分析与处理525252第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理频率响应频率响应H(H( ) )的求法的求法1. H( ) = F h(t) 2. H( ) = Y( )/X( )(1)(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。(2)(2)由电路直接求出。由电路直接求出。 例例：某系统的微分方程为：某系统的微分方程为 y y (t) + 2y(t) = (t) + 2y(t) = x x(t)(t)求（求（1 1）

53、系统的频率特性）系统的频率特性（2）x(t) = e-t(t)时的响应时的响应y(t)。解：解：（1 1）微分方程两边取傅里叶变换微分方程两边取傅里叶变换j Y( ) + 2Y( ) = X( ) 21)()()(jXYH（2）11)(jX2111)2)(1(1)()()(jjjjXHY)()()(2teetytt信号分析与处理信号分析与处理535353第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3.4.2 系统的无失真传输条件系统的无失真传输条件系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输信号的传输，一，一类是类是滤波滤波。传输要求信号尽量不失真

54、，而滤波则滤去或削弱不。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真需要有的成分，必然伴随着失真。 1、失真、失真线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成幅度失真：幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减各频率分量幅度产生不同程度的衰减；相位失真：相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。 信号经系统传输，要受到系统函数信号经系统传输，要受到系统函数 的加权，输出波形发生的加权，输出波形发生了

55、变化，与输入波形不同，则产生失真。了变化，与输入波形不同，则产生失真。jH信号分析与处理信号分析与处理545454第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理线性系统的失真线性系统的失真幅度，相位变化，不产生新的频幅度，相位变化，不产生新的频率成分；率成分；非线性系统产生非线性失真非线性系统产生非线性失真产生新的频率成分。产生新的频率成分。 对系统的不同用途有不同的要求：对系统的不同用途有不同的要求：（1 1）无失真传输；（）无失真传输；（2 2）利用失真）利用失真波形变换波形变换。2、无失真传输、无失真传输 （1 1）定义）定义：信号：信号无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与输入信号是指

56、系统的输出信号与输入信号相比，只有相比，只有幅度的大小幅度的大小和和出现时间的先后不同出现时间的先后不同，而没有波形上，而没有波形上的变化。的变化。 即：即： 输入信号为输入信号为x x(t)(t)，经过无失真传输后，输出信号应为，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K x(tt0)信号分析与处理信号分析与处理555555第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理幅度可以比例增加幅度可以比例增加可以有时移可以有时移波形形状不变波形形状不变 0ttKxtytO)(txtO)(txtO)(ty0ttO)(ty0t信号分析与处理信号分析与处理565656第第3章章 连续时间信号处理连续时

57、间信号处理（2 2）无失真传输的系统条件）无失真传输的系统条件即即 0t幅频特性幅频特性 H( ) =K , 各分量衰减一致各分量衰减一致相频特性相频特性 ，各分量时延一致各分量时延一致 0j tYHkeX信号分析与处理信号分析与处理575757第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理几点认识：几点认识：要求要求幅度幅度为与频率无关的为与频率无关的常数常数K，系统的通频带为，系统的通频带为无限宽。无限宽。相位特性与相位特性与 成正比成正比，是一条，是一条过原点过原点的的负斜率负斜率直线。直线。不失真的线性系统其冲激响应也是不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数冲激函数。 信号分析与处理信号

58、分析与处理585858第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理 00()jjetHKKtth t只有只有相位相位与频率与频率成正比成正比，方能保证各谐波有相同的，方能保证各谐波有相同的延延迟时间迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。 延迟时间延迟时间t0 是相位特性的斜率：是相位特性的斜率： 0ddt 群时延群时延或称群延时或称群延时 dd 在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。群时延特性应为常数。 相位特性为什么与频率成正比关系？相位特性为什么与频率成正比关系？信号分析与处理信号分析

59、与处理595959第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理tsintOtOt 2sintOtt2sinsin 2sin ttOtO 32sin ttO 32sin2sin tt输入输入输出输出 0ddt 此系统不满足此系统不满足信号失真信号失真信号分析与处理信号分析与处理606060第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3、利用失真利用失真波形形成波形形成信号分析与处理信号分析与处理616161第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理系统的无失真传输条件系统的无失真传输条件0(), ( )jHKt 即总结总结0( )()h tKtt时域时域0()jjetHK频域频域0Kt和为常数

60、为常数信号分析与处理信号分析与处理626262第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理理想滤波器可分为理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。低通、高通、带通、带阻。 滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（通带（pass band ），完全不允许信号通过的频，完全不允许信号通过的频段称为段称为阻带（阻带（stop band）。cc01cc01011122011122信号分析与处理信号分析与处理636363第第3章章 连续时间信号处理连续时间信号处理3.4.3 理想低通滤波器理想低通滤波器具有如图所示幅频、相频特性的系具有如图所示幅频、相频特性