第3章傅里叶变换

1、1.1.傅里叶级数定义及适用条件傅里叶级数定义及适用条件2.2.周期信号的频谱分析及特点周期信号的频谱分析及特点3.3.傅里叶变换定义及适用条件傅里叶变换定义及适用条件4.4.典型非周期信号的典型非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换5.5.傅里叶变换的基本傅里叶变换的基本性质性质6.6.周期信号和周期信号和抽样抽样信号的信号的傅里叶变换傅里叶变换7.7.抽样定理抽样定理第第3 3章章 傅里叶变换傅里叶变换l 重点：重点：3.1 引言引言 第二章第二章 第三章第三章时域分析时域分析 频域分析（变换域）频域分析（变换域）1、傅里叶分析：信号的频域分析（频谱分析）傅里叶分析：信号的频域分析（频谱分析）傅

2、里叶变换傅里叶变换时域信号时域信号f(t)信号信号f(t)的频谱的频谱F()即：即：2、频域分析：从频域分析：从F()中可以中可以分析出分析出信号信号f(t)所包含的频率成分所包含的频率成分3、重要性：傅里叶分析法在电子、通信和控制等领域中重要性：傅里叶分析法在电子、通信和控制等领域中 有着不可或缺的极其广泛而普遍的应用有着不可或缺的极其广泛而普遍的应用4、一、三角函数形式的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析若周期信号若周期信号f(t)满足狄里克雷条件，可以展成为傅里叶级数满足狄里克雷条件，可以展成为傅里叶级数狄氏条件：周期信号狄氏条件：周期

3、信号f(t)在一周期内在一周期内 （1）若有间断点存在，则间断点个数有限）若有间断点存在，则间断点个数有限 （2）极大值和极小值个数有限）极大值和极小值个数有限 （3）信号）信号 f(t)绝对可积绝对可积 ， 即即100)(Tttdttf（1）展成为傅里叶级数的条件）展成为傅里叶级数的条件一、三角函数形式的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析则 f (t) = a0 + a1cos(1t) + b1sin(1t) + a2cos(21t) + b2sin(21t) + ancos(n1t) + bnsin(n1t) +0111( )(cossi

4、n)nnnf taantbnt称为傅里叶级数称为傅里叶级数 即即若 f (t)的周期为T1;(s), 角频率1=2/T1;(rad/s), 频率f1=1/T1;(Hz)（2）级数表达式）级数表达式其中其中 n 正整数 (n = 1、2、3 )a0 直流分量an 各次谐波成分余弦分量的幅度bn 各次谐波成分正弦分量的幅度3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析100)(1TdttfTa101)cos()(2TndttntfTaan是是n的偶函数的偶函数101)sin()(2TndttntfTbbn是是n的奇函数的奇函数一、三角函数形式的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数（3）各次谐波

5、成分）各次谐波成分的幅度值计算式的幅度值计算式二、余弦形式的傅里叶级数二、余弦形式的傅里叶级数3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析直流分量直流分量 n=0n1基波分量基波分量 n次谐波分量次谐波分量 110)cos()(nnntncctfn=1c0 = a0 22nnnbac nnnabarctan其中各次谐波对应分量的幅度值各次谐波对应分量的相位值举例：举例： f (t) = c 0 + 11)cos(nnntnc = 0.25 + 0.45cos(1t + 00) + 0.32cos(21t + 00) + 0.15cos(31t + 00) + 0.09cos(51t + 1

6、800) + 0.10cos(61t + 1800) + 0.064cos(71t + 1800) + 三、指数形式的傅里叶级数三、指数形式的傅里叶级数3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析ntjnenFtf1)()(11001)(11TtttjnndtetfTF 简写为Fn F(n1) 为指数傅里叶级数的系数（一般为复函数）（1）级数表达式和系数）级数表达式和系数计算式计算式3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析直流分量关系：F0 = a 0 = c 0Fn为直角坐标复函数形式时为直角坐标复函数形式时 nnnjbaF21nnnjbaF21令 n = - nFn为实部函数

7、an/2偶对称虚部函数-bn/2奇对称三、指数形式的傅里叶级数三、指数形式的傅里叶级数（2）系数）系数Fn与其他形式傅里叶级数系数关系与其他形式傅里叶级数系数关系3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析nnnnnnnabcbaFarctan212122幅度函数|Fn|为偶对称相位函数n为奇对称三、指数形式的傅里叶级数三、指数形式的傅里叶级数（2）系数）系数Fn与其他形式傅里叶级数系数关系与其他形式傅里叶级数系数关系njnneFFFn为极坐标复函数形式时为极坐标复函数形式时 3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析 F(n1)称为复数频谱，其中F0 为直流分量 F(n1)的极坐标

8、复函数形式为 F(n1) = |Fn| e-jn |Fn| 为复数频谱F(n1)的幅度谱，体现了周期信号f (t) 在频域的轴上每个频率点n1对应的幅度成分大小。 n 为复数频谱F(n1)的相位谱，体现了周期信号f (t) 在频域的轴上每个频率点n1对应的相位成分大小。F(n1) 的极坐标复函数形式的极坐标复函数形式体现了周期信号体现了周期信号f (t)的频谱特性的频谱特性三、指数形式的傅里叶级数三、指数形式的傅里叶级数（3）系数）系数F(n1)的物理意义的物理意义四、函数的对称性与傅里叶级数系数的关系四、函数的对称性与傅里叶级数系数的关系3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析（1）

9、偶）偶 函函 数数 P94（2）奇）奇 函函 数数 P95（3）奇谐函数）奇谐函数 P95自学自学例题例题1、用有限长度、用有限长度N的傅里叶级数逼近周期信号的傅里叶级数逼近周期信号f (t) 周期方波信号周期方波信号f (t)如图所示如图所示 f (t)奇函数且奇谐函数 a0 = 0 ; an = 0 ; bn =20111)sin()(4TdttntfT查表（P374 375） 附录二，E = 2bn =2sin42nnNnnnn5 , 3 , 1;4)cos1 (2NnnNnntTnntnbtf11112sin4sin)(奇数用用MATLAB仿真，分析逼近效果仿真，分析逼近效果 运行：运

10、行：基于基于MATLAB的信号与系统实验指导的信号与系统实验指导 书中书中P42【实例【实例6-1】的】的MATLAB源程序源程序结论：从【例题结论：从【例题1】可以看出，随着级数项的增多，】可以看出，随着级数项的增多， 逼近周期方波信号逼近周期方波信号f (t)的效果越好。的效果越好。N=47时，时， 已与周期方波已与周期方波f (t)波形很接近，但在跳变点波形很接近，但在跳变点 总存在过冲，这就是所谓的总存在过冲，这就是所谓的Gibbs现象。现象。例题例题2、周期信号、周期信号f (t)的频谱分析的频谱分析周期矩形脉冲周期矩形脉冲信号信号f (t)如图所示如图所示 f (t)偶函数，所以傅

11、氏级数仅有余弦分量，正弦分量为零。查表（P374 375） 附录二，E = 110Ta1sin2Tnnan即： 110)cos()(nntnaatf或：或：221121111nSaTnSaTaTn抽样函数 Sa (x) = sin (x) / x11111cos2)(ntnTnSaTTtf 11111cos2)(ntnnSaTtf或 1、周期矩形信号三角形式傅里叶级数为、周期矩形信号三角形式傅里叶级数为 2、周期矩形信号指数形式傅里叶级数为、周期矩形信号指数形式傅里叶级数为 )2(1112211nSaTdteTFtjnn系数为 级数为 ntjnntjnnenSaTeFtf112)(11用用MA

12、TLAB仿真，分析【例题仿真，分析【例题2】频谱特性】频谱特性运行：运行：基于基于MATLAB的信号与系统实验指导的信号与系统实验指导书中书中P44【实例【实例6-2】的】的MATLAB源程序源程序(结合本【例题结合本【例题2】程序已改编】程序已改编)提示：观察提示：观察脉宽脉宽变化对变化对信号频谱的影响（带宽改变、谱线间隔不变）信号频谱的影响（带宽改变、谱线间隔不变）1、周期值、周期值T1 = 8， 输入三个不同脉宽值输入三个不同脉宽值 =0.5, =1, =22、画出相同周期、画出相同周期T1，不同脉宽，不同脉宽的的an 频谱的波形。频谱的波形。3、观察分析不同脉宽、观察分析不同脉宽对其频

13、谱的影响，得出结论。对其频谱的影响，得出结论。 周期矩形信号周期矩形信号频谱分析一频谱分析一频谱分析一：频谱分析一：周期值周期值T1 = 8， 脉宽值脉宽值 =0.5, =1, =22 2 2 4 用用MATLAB仿真，分析【例题仿真，分析【例题2】频谱特性】频谱特性运行：运行：基于基于MATLAB的信号与系统实验指导的信号与系统实验指导书中书中P44【实例【实例6-2】的】的MATLAB源程序源程序(结合本【例题结合本【例题2】程序已改编】程序已改编)1、脉宽脉宽值值 = 0.5， 输入三个不同输入三个不同周期周期值值T1=4,T1=8,T1=122、画出相同、画出相同脉宽脉宽 ，不同周期，

14、不同周期T1的的an 频谱的波形。频谱的波形。3、观察分析不同脉宽、观察分析不同脉宽T1 对其频谱的影响，得出结论。对其频谱的影响，得出结论。 提示：观察提示：观察脉宽脉宽T1变化对变化对信号频谱的影响（带宽不变、谱线间隔改变）信号频谱的影响（带宽不变、谱线间隔改变）周期矩形信号周期矩形信号频谱分析二频谱分析二频谱分析二：频谱分析二：脉宽值脉宽值 = 0.5 , 周期值周期值T1=4,T1=8,T1=122 2 2 4 结论结论从【例题从【例题2】频谱图分析可以看出，周期矩形脉冲信】频谱图分析可以看出，周期矩形脉冲信号号f(t)的频谱具有离散性、谐波性和收敛性。当周期的频谱具有离散性、谐波性和

15、收敛性。当周期T1不变，脉宽不变，脉宽由小由小大时，信号带宽大时，信号带宽B由大由大小，小，即带宽与脉冲宽度成反比。当脉宽即带宽与脉冲宽度成反比。当脉宽不变，周期不变，周期T1由由小小大时，谱线间隔大时，谱线间隔(基波频率基波频率1)由疏由疏密。密。表示信号含有的各个频率分量的表示信号含有的各个频率分量的幅度值。其横坐标为频率幅度值。其横坐标为频率（单位为（单位为rad/s），纵坐标对应各），纵坐标对应各频率分量的幅度值频率分量的幅度值| |F(n1)| 。l 振幅频谱振幅频谱（幅频特性图）（幅频特性图）表示信号含有的各个频率分量的表示信号含有的各个频率分量的相位值。其横坐标为频率相位值。其横

16、坐标为频率，纵纵坐标对应各频率分量的相位值坐标对应各频率分量的相位值（单位为度或弧度）。（单位为度或弧度）。nl 相位频谱相位频谱（相频特性图）（相频特性图）频频谱谱图图五、频谱的概念和周期信号频谱的特点五、频谱的概念和周期信号频谱的特点3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析)2(1112211nSaTdteTFtjnn系数为 级数为 ntjnntjnnenSaTeFtf112)(11举例：周期矩形信号指数形式傅里叶级数频谱分析举例：周期矩形信号指数形式傅里叶级数频谱分析 周期值周期值T1 = 8， 脉宽值脉宽值 =0.5时，时，周期矩形信号的频谱周期矩形信号的频谱MATLAB源程序

17、为T1=8;tao=0.5;w1=2*pi/T1;n=-60:60;Fn=tao/T1*sinc(n*w1*tao/2/pi);stem(n*w1,Fn,.);grid-50-40-30-20-1001020304050-0.02-0.0100.010.020.030.040.050.060.07Fn2 4 -2 -4 MATLAB源程序为T1=8;tao=0.5;w1=2*pi/T1;n=-60:60;Fn=tao/T1*sinc(n*w1*tao/2/pi);stem(n*w1, abs(Fn),.);grid周期值周期值T1 = 8， 脉宽值脉宽值 =0.5时，时，周期矩形信号的幅度频谱

18、周期矩形信号的幅度频谱-50-40-30-20-100102030405000.010.020.030.040.050.060.07|Fn|MATLAB源程序为T1=8;tao=0.5;w1=2*pi/T1;n=-60:60;Fn=tao/T1*sinc(n*w1*tao/2/pi);fain1=(Fn(1:61)0)*pi; fain2=(Fn(62:121)0, ()=0;F()0, ()=0; F()0时，相位= 900 F1() 0时，相位= -900解： f(t) = E g(t ) ESa(/2)此处：E = 2, = 2； f(t) 4 Sa()例：用时移特性求例：用时移特性求F

19、1() = F f1(t)(乘、除2j，欧拉公式)-10-50510-2-1.5-1-0.500.511.52同理可推得：同理可推得：带有尺度变换的时移特性带有尺度变换的时移特性j00()()ed(0)tFTfattfattta0j01()()etaFTf attFaa000j()0jjj1 ()( )ed11e( )ede()x tattxaaaFT f attf xxaf xxFaaa0 xatt令令0()/txtaa 0时加绝对值时加绝对值证明证明例：已知 f (t) F () 用带有尺度变换的时移特性求 F f (2t-3) =？ F f (3-2t) =？解： a = 2 , t0

20、= 3 F f (2t-3 = (1/2) F(/2)e-j(3/2) 解： f (3-2t) = f -2t-(-3) a = -2 , t0 = -3 F f (3-2t = (1/2) F(-/2)e-j(3/2)0j01()()etaFTf attFaa利用补充作业：补充作业：已知：已知：f (t) = 求：求：F () = ?答案：答案：F () = 0)4(nnt411je解：解： (t) F () = 1 F () = F F () =0404nnjnnjee411je0)4(nnt说明：无穷递缩等比数 列之和 此题首项a1=1, 公比|q|=|e-j 4|1。qaS11 频移特

21、性与时移特性对称（这里频移特性与时移特性对称（这里0为实常量）为实常量） ( )( )FT f tF0j0 ( )e()tFT f tF0j0 ( )e()tFT f tF000jjjj()0 ( )e( )eed( )ed()ttttFT f tf ttf ttF 证明证明六、频移特性六、频移特性物理意义：f(t) 的频谱，等于f(t)的频谱F() 沿频率轴右、左搬移了0频谱搬移：在通信中广泛应用，如调制f(t)cos0t、 f(t)sin0t、解调和变频等。tje00001( ) cos()()2fttFF000j( ) sin()()2fttFF同理可得同理可得000)0011 ( )c

22、osj()j()22(1222F f ttFFASaASa 利用频移特性可得利用频移特性可得求矩形脉冲信号求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号与余弦信号cos0 t 相乘后信号的频谱函数相乘后信号的频谱函数(用频移特性求解用频移特性求解)例例宽度为宽度为 高度为高度为A的矩形脉冲信号对应的频谱函数为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为解解2)(SaAjF0A2/t2/ -)( tfo F() A F()o 0 02/At2/-t tfcos)( 0 0 A /2A /2例：用频移特性求解 f (t) = f1(t) = cos0t 和 f2(t) = sin0t 的傅氏变换tje0200tjtjeeF1

23、() = F cos0t = F jeetjtj200F2() = F sin0t = F = j(+0) -(-0) 解： 1 2() F() = F 1 = 2( 0)tje0= (-0) +(+0) 七、微分特性七、微分特性1、时域微分、时域微分若若 f (t) F() 则 jF() (j)n F()dttdf)(nndttfd)(如： Fu(t) = 1/j + () Fu(t) = F(t) = j1/j + () = 1 F(t) = j1 = j例：f(t) = cos t u(t + /2) - u(t - /2)求：用时域微分特性求解F()解：对f(t)求二阶导数，如下图所示

24、 f (t) = - cos t u(t +/2) - u(t -/2) +(t +/2) +(t -/2) = - f(t) + (t + /2) + (t - /2)两边取傅变：（利用微分和时移特性，且F(t) = 1） 2221 jjee212cos2 F() = = ；1 则：(j)2 F() = - F() + 1ej(/2) + 1e-j(/2)f (t) = - f(t) +(t +/2) +(t -/2)F(1) =2112cos2lim12sin;222sinlim11注：当当 = 1时的分析时的分析 dtetftj1)(22cosdtetjtF(1) =或者或者 0/0型，

25、型， 可用上、下求导再取极限求可用上、下求导再取极限求F(1) 222dteeejtjtjt2121222dtejt注：ej = -1例：用时域微分特性求解F() = F f (t)解：解：abA f (t) = (t + b) -(t + a) -(t - a) +(t - b)2coscos2baabA F() = abA f (t) = (t + b) -(t + a) -(t - a) +(t - b)两边取傅变两边取傅变(j)2 F() = ejb eja e-ja + e-jbabAnnndttfdFj)(1F() =也可用公式求：也可用公式求：七、微分特性七、微分特性2、频域微分

26、、频域微分若若 f (t) F() 则 -jt f(t) (-jt)n f(t)ddF)(nndFd)(解： u(t) F() =() + 1/j 例：用频域微分性质求 F t u(t) = ? 由频域微分性质有： F -jt u(t) =ddF)(上式两边同乘j F t u(t) = jdjdjddF1)()(= j () - 1/j2 = j() - 1/2 八、时域积分特性八、时域积分特性若 f(t) F() 则 tdf)()()0()(FjF当 F(0) = 0时 ，则 tdf)(jF)(例：用时域积分特性求例：用时域积分特性求F u(t) = ? F u(t) = 1/j +()解：

27、解： F (t) = F() = 1 , F(0) = 1 F u(t) =tdF)()()0()(FjF注意：注意：用时域微分特性求解此题容易出错用时域微分特性求解此题容易出错jtFF2)sgn(,)(2 1 注意：注意：用时域微分特性求解此题容易出错用时域微分特性求解此题容易出错作业：作业：P168 , 3-29 (3) (4) (5) 用傅变性质求解例如：例如：用时域微分特性用时域微分特性求单位阶跃求单位阶跃u(t)的傅里叶变换的傅里叶变换 1)(;1)(1)(1tjtFjdttduFj 错误解法(丢掉直流项)F() = 正确解法(有直流项) u(t) = (1/2) + (1/2) s

28、gn (t) F u(t) =() + 1/j（1）时域卷积定理）时域卷积定理11( )( )FT f tF若若22,( )( )FT ftF则则1212( )*( )( )( )FT f tf tFF3.8 卷积特性（卷积定理）卷积特性（卷积定理）可简记为可简记为11221212( )( )( )( )( )( )( )( )LLLf tFf tFf tf tFFFFF此性质是通信系统和信号处理研究领域中此性质是通信系统和信号处理研究领域中应用最广泛的傅里叶变换性质之一应用最广泛的傅里叶变换性质之一证明证明dtfftftf)()()(*)(2121dtedtfftftfFtj )()()(*

29、)(2121交换积分次序ddtetfftftfFtj)()()(*)(2121defFdeFfjj)()()()(1221)()()()(2112FFFF证毕证毕（2）提供了频域求零状态响应和频域分析系统的方法）提供了频域求零状态响应和频域分析系统的方法（1）建立了激励、响应和系统的时域与频域关系）建立了激励、响应和系统的时域与频域关系时域卷积定理在信号与系统中的应用时域卷积定理在信号与系统中的应用（时域卷积，频域相乘）（时域卷积，频域相乘）（2 2）频域卷积定理）频域卷积定理11( )( )FT f tF若若22,( )( )FT ftF则则12121( )( )( )( )2FT f tf

30、 tFF112212121212( )( )( )( )1( )( )( )( )2( )( )( )()dLLLf tFf tFf tf tFFFFFF可简记为可简记为FFFuuu自习：自习：P140 141 , 例例3-8 ; 例例3-9 = 2 Sa () e-j F2() = 411jeF() = F1()F2()作业：P169 , 3-33卷积定理 41)(2jjeeSa02tjeSaE其中f1(t)门函数的E = 1 ;= 2 ; 右时移 t0 = 1所以，F1() 例：用卷积定理求 F () = F f (t) 解：f (t) = f1(t) * f2(t)0)4(nnt3.9

31、周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换一、正弦、余弦信号的傅里叶变换一、正弦、余弦信号的傅里叶变换F sin (1t) = j( +1 ) -( -1 ) F cos (1t ) =( +1 ) +( -1 ) 二、一般周期信号二、一般周期信号f (t)的傅里叶变换的傅里叶变换221111)(1TTtjnndtetfTFFn为傅氏级数系数ntjnneFtf1)(f (t)的傅里叶级数为令周期为T1，角频率为1(= 2f1 = 2/T1)ntjnneFF1ntjnneFF1F f (t) =两边取傅里叶变换为其中：)(211neFtjn)()()(2100Fetftj频移直流nnnF)(21

32、F f (t) = 傅氏级数系数Fn与单个脉冲f0(t)的傅氏变换F0()关系 221111)(1TTtjnndtetfTF比较22011)()(TTtjdtetfF所以有1)(101nnFTF自习：P147149 , 例3-10 ，例3-11 例：利用例：利用Fn与与F0()关系求周期单位冲激序列关系求周期单位冲激序列T(t)的的Fn 解： F0() = F f0(t) = F (t) = 1 即 F0() = 1T(t) = nnTt)(11)(101nnFTF= 11T 3.10 抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换数字信号处理系统简单框图数字信号处理系统简单框图模模拟拟信信号号输输

33、入入模模拟拟信信号号输输出出 /A D转转换换器器 数数字字信信号号处处理理器器 /D A转转换换器器取取样样量量化化抽抽抽样的概念（抽样的概念（“抽样抽样”也可称为也可称为“取样取样”或或“采样采样”）抽样抽样频域抽样频域抽样( (不要求不要求) )时域抽样时域抽样自然自然抽抽样样(矩形抽样矩形抽样)理想抽样理想抽样(冲激抽样冲激抽样)3.10 抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换说明：本节只研究连续信号说明：本节只研究连续信号f (t)经抽样后的抽样信号经抽样后的抽样信号fs (t)其其频谱频谱Fs ()的变换规律。的变换规律。“量化和编码量化和编码”的概念在第五章的概念在第五章 5.

34、10节介绍。节介绍。 /A D转转换换器器时时域域抽抽样样简简图图连续信号连续信号量化量化编码编码数字信号数字信号抽样信号抽样信号)(tfsf (t)抽样抽样周期抽样脉冲周期抽样脉冲p (t)f (n)（1）抽样后抽样信号fs(t)的频谱Fs ()是什么样的？ 它与未被抽样的连续信号 f (t)的频谱F ()有什么关系？（2）连续信号f (t)被抽样后，抽样信号fs(t)是否保留了原连续 信号f (t)的所有信息？即在什么条件下，可以从抽样信号 fs(t)中无失真地恢复出原连续信号f (t) ？问题问题:连续时连续时间信号间信号离散时离散时间信号间信号抽样抽样还原还原( (有条件有条件) )

35、说明：本节研究问题（说明：本节研究问题（1 1）, ,下节研究问题（下节研究问题（2 2）3.10 抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换一、时域抽样：一、时域抽样：fs (t) = f (t)p (t) 3.10 抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换 抽样信号抽样信号fs (t)的频谱的频谱Fs ()的研究的研究 f (t) F() 其中：Pn 周期抽样脉冲p(t)的傅傅里叶级数系数 抽样角频率s = 2/Ts 抽样周期(抽样间隔) 说明：抽样后的频谱Fs()是连续信号的频谱F()以 抽样频率s为间隔，以傅氏系数Pn为幅度加权。 周期地重复出现，其F()形状不发生变化。 p(t) P(

36、) = 2 参见：例3-11 ( P148 149 ) nsnnP)( Fs() = nsnnFP)(fs(t) = f(t) p(t) Fs() = F() * P() (时域相乘) (频域卷积) 213.10 抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换1矩形脉冲抽样（自然抽样）矩形脉冲抽样（自然抽样）一、时域抽样：一、时域抽样：fs (t) = f (t)p (t) Fs() = nsnnFP)(矩形脉冲p (t)如图所示 ssnsnsnSaETPTP21)(102ssnSaTE= 其中：矩形脉冲抽样后fs(t)的Fs()是以s为周期的重复过程中幅度以Sa(ns/2)的规律变化。 Fs()

37、=nsssnFnSaTE)(2矩形脉冲抽样矩形脉冲抽样FTtof (t)(F1mmoFT)(P2sssEo2sTtop (t)ssFT)(tfsto22osTE)(sF点点乘乘卷卷积积1/(2)3.10 抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换2冲激脉冲抽样（理想抽样）冲激脉冲抽样（理想抽样）一、时域抽样：一、时域抽样：fs (t) = f (t)p (t) Fs() = nsnnFP)(ssnsnsnTPTP11)(10sT1= 其中：冲激脉冲抽样后fs(t)的Fs()是以s为周期幅度为1/Ts等幅地重复。 冲激脉冲p (t)如图所示 Fs() =nssnFT)(1冲激脉冲抽样冲激脉冲抽样F

38、Ttof (t)(F1mmoFT)(PssosTtop (t)122s-2s(1)(s)FT)(tfstosso-2s2s1/TsFs()点点乘乘卷卷积积1/(2)周期信号和抽样信号的特性周期信号和抽样信号的特性（1）时域理想抽样的傅里叶变换）时域理想抽样的傅里叶变换下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结：下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结：)(1)(snssnFTF)(tf)(FFT12 相乘相乘FT)()(nsTnTttnssnp)()( 相卷积相卷积FT( )2()nsnpPn j221( )edSa()2sssTntsTnssnEPp ttTT （2）关于非理想抽样）关于非

39、理想抽样1( )( )* ( )2sFFp( )Sa() ()2sssnsnEFFnT 非理想抽样非理想抽样)(1)(snssnFTF理想抽样理想抽样比较比较3.11 抽样定理抽样定理一、时域抽样定理（奈奎斯特抽样定理）一、时域抽样定理（奈奎斯特抽样定理） 抽样信号抽样信号fs(t)无失真恢复原连续信号无失真恢复原连续信号f(t) (1) 恢复条件 当满足s2m时，频谱不混迭。(2) 恢复方法 让fs (t)通过理想低通滤波器低通特性：H() =mmsT0输入fs (t)时，输出为f (t) 时域抽样定理（奈奎斯特抽样定理）时域抽样定理（奈奎斯特抽样定理）若带限连续时间的实信号 f(t)最高角

40、频率为m，并且对其抽样的角频率s满足条件s2m时，（或对其隔抽样的频率fs满足条件fs 2fm时）（或对其等间隔抽样的Ts满足条件Ts1/2fm时）则f (t)可以用抽样信号fs (t)唯一地表示。其中：最低允许的抽样频率fs = 2fm称为“奈奎斯特(Nyquist)频率” 最大允许的抽样间隔Ts = 1/2fm称为“奈奎斯特(Nyquist)间隔”(1) 如果取样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十如果取样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时候，这个冲激函数的假定将是一个很好分小的时候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分析简化。的近似，它将使分析简化。(2) 通过冲激取样的方法

41、来表明数字信号，在数字通过冲激取样的方法来表明数字信号，在数字信号处理中有着广泛的应用。信号处理中有着广泛的应用。(点抽样；均匀抽样点抽样；均匀抽样)122smsmTf或取样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。取样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。（2）抽样频率的选择）抽样频率的选择！结结论论 矩形脉冲抽样和冲激抽样的重要差别就在于频矩形脉冲抽样和冲激抽样的重要差别就在于频谱分量的性质不同。矩形脉冲抽样所导出的频谱分量的性质不同。矩形脉冲抽样所导出的频谱分量的幅度是按包络谱分量的幅度是按包络 的变化规律随频的变化规律随频率而下降的，而理想抽样所导出的频谱却有着率而下降的，而理想抽样所导出

42、的频谱却有着相同的幅度，不随频率而减少；相同的幅度，不随频率而减少； 是信号本身固有的；是信号本身固有的； 是人为的；是人为的； 称为奈奎斯特抽样频率；称为奈奎斯特抽样频率； 称为奈奎称为奈奎斯特抽样间隔；斯特抽样间隔； 抽样频率为奈奎斯特抽样频率的两倍或两倍以抽样频率为奈奎斯特抽样频率的两倍或两倍以上时，抽样信号的频谱才不会发生混叠。只有上时，抽样信号的频谱才不会发生混叠。只有这样才能无失真地恢复出原信号。这样才能无失真地恢复出原信号。 sin nnmf1/2smTf2mf1/2smTf3抽样定理抽样定理定理定理3.13.1设有一连续信号设有一连续信号 f(t)，它的频谱，它的频谱则只要取样

43、间隔满足则只要取样间隔满足 ，连续信号连续信号f(t)就可表示为：就可表示为：sin()( )()()mmnmtnTf tf nTtnT()F j1m0其 它mT 由于由于f(t)的频带有限的频带有限,而时域取样必导致频域而时域取样必导致频域周期。在周期重复时，为保证周期。在周期重复时，为保证 内为内为 ，则重复周期应满足则重复周期应满足 ,将取样信号将取样信号 通通过截止频率为过截止频率为 的理想低通滤波器，便能从中的理想低通滤波器，便能从中恢复恢复 ,也就是说，能从取样信号也就是说，能从取样信号fs(t)中恢复中恢复出原始信号出原始信号 f(t)。m()Fs2mm()sF()F证明证明mm

44、( )FO( )sFmmO2( )( )msFGF由时域卷积定理知：由时域卷积定理知：( )( )( )sf tf tg t设设 、 , ,则当则当 通过通过截止频率为截止频率为 的理想低通滤波器时，滤波器的响的理想低通滤波器时，滤波器的响应频谱为应频谱为 ，显然滤波器的作用等效于一个开，显然滤波器的作用等效于一个开关函数关函数 同同 的相乘。即的相乘。即( )( )f tF( )( )ssf tFm( )Fm2Gs( )Fs( )F则则 ( (内插公式内插公式) )( )( )( )()() ()msmnf tg tftSatf nTtnTsin()()()()()mmmmnnmtnTf nT SatnTf nTtnT证毕证毕而而( )( ) ()() ()snnf tf ttnTf nTtnT由傅里叶变换的对称性可知：由傅里叶变换的对称性可知：2( )( )()mmmGg tSat由于定理二是讨论由离散由于定理二是讨论由离散信号恢复成连续信号，所信