第二章导热基本定律和稳态导热

1、第二章第二章 导热基本定律和稳态导热导热基本定律和稳态导热 导热是在温度差作用下依靠物质微粒的运导热是在温度差作用下依靠物质微粒的运动进行的能量传递，因此导热与物体内的温动进行的能量传递，因此导热与物体内的温度场密切相关。度场密切相关。第二章第二章 导热基本定律和稳态导热导热基本定律和稳态导热 2 -1 2 -1 导热基本定律和热导率导热基本定律和热导率 一一 、温度场、温度场 （Temperature field） 温度场是指在各个时刻物体内各点温度温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。分布的总称。 由傅立叶定律知，由傅立叶定律知，物体的温度分布是坐物体的温度分布是坐标和时间的函数标

2、和时间的函数： ,zyxft 其中其中 为空间坐标，为空间坐标， 为时间坐标。为时间坐标。 , ,x y z一维温度场一维温度场 若温度场中温度只沿着一个坐标若温度场中温度只沿着一个坐标方向变化。方向变化。 一维温度场的温度分布表达式为：一维温度场的温度分布表达式为： t = f (x,)稳定温度场和不稳定温度场稳定温度场和不稳定温度场 稳态温度场稳态温度场 非稳态温度场非稳态温度场 2、等温面、等温面 在温度场中，在温度场中， 同一时刻下温度相同的各同一时刻下温度相同的各点连接而成的面点连接而成的面等温面的特点等温面的特点： （1 1）等温面不能相交；）等温面不能相交；（2 2）沿等温面无热

3、量传递。）沿等温面无热量传递。 注意注意：沿等温面将无热量传递，而沿和等温面相交的任何沿等温面将无热量传递，而沿和等温面相交的任何方向，因温度发生变化则有热量的传递。温度随距离的变化程方向，因温度发生变化则有热量的传递。温度随距离的变化程度以沿与等温面的垂直方向为最大。度以沿与等温面的垂直方向为最大。3、温度梯度、温度梯度 沿等温面法线方向的温度变化率称为沿等温面法线方向的温度变化率称为温度梯度。温度梯度。 温度梯度是向量，其方向垂直于等温面，并以温度增加的方向为正。温度梯度是向量，其方向垂直于等温面，并以温度增加的方向为正。xxtxxt),(),(xtxxtxxtgradtx),(),(li

4、m0对于一维温度场，等温面对于一维温度场，等温面x及及(x+x)的温度分别为的温度分别为t(x,)及及t(x+x,)，则两等温面之间的平均温度变化率为：则两等温面之间的平均温度变化率为： 温度梯度温度梯度:ndSQt/nt+ttt-t等温面，温度梯度与热流方向等温面，温度梯度与热流方向 二二 、导热基本定律、导热基本定律 1 、导热基本定律（傅立叶定律）、导热基本定律（傅立叶定律） 1 1 ）定义：）定义：在导热现象中，单位时间内通过在导热现象中，单位时间内通过给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该给定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率，而热量传递的方截面方向上的温度变化

5、率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反，即向与温度升高的方向相反，即 xtA2 2 ）数学表达式：）数学表达式： xtA（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反） xtq3 3 ）傅里叶定律用热流密度表示：）傅里叶定律用热流密度表示： 其中其中 热流密度热流密度( (单位时间内通过单位单位时间内通过单位面积的热流量面积的热流量) ) 物体温度沿物体温度沿 x x 轴方向的变化率轴方向的变化率 qxt2 2 、温度梯度与热流密度矢量的关系、温度梯度与热流密度矢量的关系 如图如图 2-22-2（a a）所示，表示了微元面积）所示，表示了微元面积 dAdA

6、附近的温度分布及垂直于该微元面积的热流附近的温度分布及垂直于该微元面积的热流密度矢量的关系。密度矢量的关系。 1 1 ）热流线）热流线 定义定义: :热流线是一组与等温线处处垂直的热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，是表示热流方向的线。曲线，是表示热流方向的线。 2 2 ）热流密度矢量与热流线的关系：）热流密度矢量与热流线的关系： 在整个物体中，热流密度矢量的走向可在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表示。如图用热流线表示。如图2-22-2（b b）所示，它指向）所示，它指向温度降低的方向。温度降低的方向。三三 、导热系数、导热系数 （ 导热率、比例系数）导热率、比例系数） 1 1 、导

7、热系数的含义、导热系数的含义 导热系数的定义式由傅里叶定律的数学表达式给导热系数的定义式由傅里叶定律的数学表达式给出：出：qtnn 数值上等于在单位温度梯度作用下物体内所数值上等于在单位温度梯度作用下物体内所产生的热流密度矢量的模。产生的热流密度矢量的模。 2 2、影响热导率的因素：、影响热导率的因素： 物质的种类、密度、温度、含水率等物质的种类、密度、温度、含水率等; 金属非金属固相液相气相 2-2 2-2 导热微分方程式及定解条件导热微分方程式及定解条件 由前可知：由前可知： （ 1 1 ）对于一维导热问题，根据傅立叶定）对于一维导热问题，根据傅立叶定律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。

8、律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。 （ 2 2 ）对于多维导热问题，首先获得温度）对于多维导热问题，首先获得温度场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空场的分布函数，然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流密度矢量。间各点的热流密度矢量。 一一 、导热微分方程、导热微分方程 1 、定义：、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。达式，称为导热微分方程。 2 、导热微分方程的数学表达式、导热微分方程的数学表达式 导热微分方程的推导方法，假定导热物体是导热微分方程的推导方法，假定

9、导热物体是各向同性的。各向同性的。 1 1 ）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体 由前可知，空间任一点的热流密度矢量由前可知，空间任一点的热流密度矢量可以分解为三个坐标方向的矢量。可以分解为三个坐标方向的矢量。 同理，通过空间任一点任一方向的热流同理，通过空间任一点任一方向的热流量也可分解为量也可分解为 x x 、 y y 、 z z 坐标方向的分坐标方向的分热流量，如图热流量，如图 2-4 2-4 所示。所示。 通过通过 x=x x=x 、 y=y y=y 、 z=z z=z ，三个微元表，三个微元表面而导入微元体的热流量：面而导入微元体的热流量： x x 、

10、 y y 、 z z 的计算。的计算。 根据傅立叶定律得根据傅立叶定律得 xyztdydzxtdxdzytdxdyz (a) 通过通过x=x+dxx=x+dx、y=y+dyy=y+dy、z=z+dzz=z+dz三个微元表三个微元表面而导出微元体的热流量面而导出微元体的热流量x+dxx+dx、y+dyy+dy、z+dzz+dz的计算。根据傅立叶定律得：的计算。根据傅立叶定律得： x dxxxy dyyyz dzzztdxdydz dxxxxtdydxdz dyyyytdzdxdy dzzzz (b) 对于任一微元体根据能量守恒定律，在对于任一微元体根据能量守恒定律，在任一时间间隔内有以下热平衡关

11、系：任一时间间隔内有以下热平衡关系： 导入微元体的总热流量导入微元体的总热流量 + + 微元体内热源微元体内热源的生成热的生成热 = = 导出微元体的总热流量导出微元体的总热流量 + + 微元微元体热力学能（内能）的增量体热力学能（内能）的增量(c)微元体热力学能的增量微元体热力学能的增量= =tcdxdydz微元体内热源的生成热微元体内热源的生成热= =dxdydzc、 、其中其中 微元体的密度、微元体的密度、比热容、单位时间内单位体积内热源的生比热容、单位时间内单位体积内热源的生成热及时间。成热及时间。导入微元体的总热流量导入微元体的总热流量导出微元体的总热流量导出微元体的总热流量 xyz

12、 入x dxy dyz dz 出将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：将以上各式代入热平衡关系式，并整理得： )()()(ztzytyxtxtc这是笛卡尔坐标系中这是笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方三维非稳态导热微分方程的一般表达式程的一般表达式。 其物理意义：其物理意义：反映了物体的温度随时间和空反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。间的变化关系。 1 1）对上式化简：）对上式化简： 导热系数为常数导热系数为常数 cztytxtat222222)(式中，式中， ，称为热扩散率。，称为热扩散率。)/( ca导热系数为常数导热系数为常数 、无内热源、无内热源 222222()ttttaxyz

13、导热系数为常数导热系数为常数 、稳态、稳态 2222220tttxyz 导热系数为常数导热系数为常数 、稳态、稳态 、无内热源、无内热源 2222220tttxyz2 2）圆柱坐标系中的导热微分方程：）圆柱坐标系中的导热微分方程： 3 3）球坐标系中的导热微分方程：）球坐标系中的导热微分方程： 211()()()ttttcrrrrrzz22222111()()( sin)sinsinttttcrrrrrr综上说明：综上说明： （ 1 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律；）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量

14、（非稳态项）；增量（非稳态项）； （ 3 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量微分元体在单位时间内增加的能量 ( ( 扩散项扩散项 ) ) ； （ 4 4 ）等号右边最后项是源项；）等号右边最后项是源项；（ 5 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消失。失。 二、二、 定解条件定解条件 1 、定义：、定义：是指使导热微分方程获得适合某是指使导热微分方程获得适合某一特定导热问题的求解的附加条件。

15、一特定导热问题的求解的附加条件。 通过导热微分方程可知，求解导热问题，通过导热微分方程可知，求解导热问题，实际上就是对导热微分方程式的求解。预知实际上就是对导热微分方程式的求解。预知某一导热问题的温度分布，必须给出表征该某一导热问题的温度分布，必须给出表征该问题的附加条件。问题的附加条件。2 、分类、分类 1 1 ）初始条件：）初始条件：初始时间温度分布的初始条件；初始时间温度分布的初始条件； 2 2 ）边界条件：）边界条件：导热物体边界上温度或换热情况的边导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。界条件。 说明：说明： 非稳态导热定解条件有两个；非稳态导热定解条件有两个； 稳态导热定解条件只有

16、边界条件，无初始条件。稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。 3 3 、导热问题的常见边界条件可归纳为、导热问题的常见边界条件可归纳为 以下三类以下三类 （1 1）规定了边界上的温度值，称为规定了边界上的温度值，称为第一类边第一类边界条件界条件。对于非稳态导热，这类边界条件要。对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：求给出以下关系式： 0wtf时（2 2）规定了边界上的热流密度值，称为规定了边界上的热流密度值，称为第第二类边界条件二类边界条件。对于非稳态导热，这类边界。对于非稳态导热，这类边界条件要求给出以下关系式：条件要求给出以下关系式：20()( )wtfn时（3 3）规定了边

17、界上物体与周围流体间的表规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数及周围流体的温度，称为面传热系数及周围流体的温度，称为第三第三类边界条件类边界条件。第三类边界条件可表示为。第三类边界条件可表示为()()wwfth ttn1 1 、热扩散率的物理意义、热扩散率的物理意义 由热扩散率的定义可知：由热扩散率的定义可知： 1 1 ） 是物体的导热系数，是物体的导热系数， 越大，在相越大，在相同温度梯度下，可以传导更多的热量。同温度梯度下，可以传导更多的热量。 2 2 ）是单位体积的物体温度升高）是单位体积的物体温度升高 1 1 所需的热量。所需的热量。 越小，温度升高越小，温度升高 1 1 所吸收所

18、吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。高而升高。()ac三、有关说明、有关说明由此可见由此可见物理意义物理意义： 越大，表示物体受热时，其内部各点温越大，表示物体受热时，其内部各点温度扯平的能力越大。度扯平的能力越大。 越大，表示物体中温度变化传播的越快。越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，所以，也是材料传播温度变化能力大小的指也是材料传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。标，亦称导温系数。 2 、导热微分方程的适用范围、导热微分方程的适用范围 1 1 ）适用于）适用于 q q 不很高，而作用时间长。同不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。时傅立叶定律也适用该条件。 2 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。不适用。3 3 ）若属极底温度（）若属极底温度（ -273 -273 ）时的导热）时的导热不适用。不适用。 d