第三章(几何变换之一)

1、yxP yxP xT yTxxTyPPyT平移变换yxTyyTxx几何关系yxTTyxyx矩阵形式（5-7）（5-8）xSySyx相对于原点原点的比例变换相对于重心重心的比例变换yx重心yxSyySxx几何关系yxSSyxyx00 矩阵形式（5-10）（5-9）10yxSSyxSS 1yxSSyxSS 1yxSSyxSS sincos ryrx（5-11）cossinsincos)sin(sinsincoscos)cos(rrryrrrx（5-12）cossinsincosyxyyxx将式（5-11）代入式（5-12）得：（5-13）PP几何关系（5-14） cossinsincos yxyx

2、矩阵形式yx旋转变换),.,(21nxxx)/,.,/,/(21nxxx ),.,(21nxxx),.,(21nxxx1101000111yxTTyxyx100000011yxSSyxyx 1000cossin0sincos11yxyx0),.,(21nxxx yyxx关系几何 1100010001 11yxyxyx形式矩阵yyxx关系几何 1100010001 11yxyxyx形式矩阵oyx对称变换（1）yxo对称变换（2）yyxx 1100010001 11yxyxyx关系几何形式矩阵形式矩阵关系几何xyyx 110000101011xyyxyxoxy对称变换（3）xyoy=x对称变换（4

3、）xyyx几何关系 110000101011xyyxyx矩阵形式xyoy=-x对称变换（5）x 错切变换（1）yxayyctgx 有ctga 令yyayxx 代入得yyxxx 几何关系11000100111yayxayxyx矩阵形式 错切变换（2）yxy 11000100111ybxxbyxyx矩阵形式几何关系yyyxx byyctgx 有ctgb 令yyayxx 代入得1010001001yxT1000000yxSSS1010001002yxT 1000000 112233yxSSyxyx 1010001 11001122yxyxyx 1010001 11003344yxyxyx任意点比例变

4、换示意图平移 111yx平移比例 21STTT TyxSTTyxyxyx 1 11111211144(x2,y2)(x3,y3)(x0,y0)Oxy(x1,y1)(x4,y4)相对于任意点(x0,y0)的旋转变换 1000cossin0sincos 112233yxyx 1010001 11001122yxyxyx 1010001 11003344yxyxyx任意点旋转变换示意图平移 100yx平移旋转1010001001yxT1000cossin0sincos R1010001002yxT 21RTTT TyxRTTyxyxyx 1 11111211144 3 3）对称平行于）对称平行于X

5、X轴的任意直线轴的任意直线 cccyyyyyyxx2)( 12001000111cyyxyx其中变换矩阵：120010001cyT4 4）对称平行于）对称平行于Y Y轴的直线轴的直线yyxxxxxxccc2)( 10201000111cxyxyx其中变换矩阵： 102010001cxT5 5）对称于任一点）对称于任一点(x(xc c,y,yc c) )的变换的变换ccyyyxxx22变换方程写成齐次坐标矩阵形式为： 12201000111ccyxyxyx其中变换矩阵：122010001ccyxT对称于任一点(xc,yc)的变换，可以看做分别相对于直线轴xxc和直线轴 yyc的两次对称变换，是两

6、者的综合：6 6）对称于任一轴的变换）对称于任一轴的变换 100100011bT1000cossin0sincos2T做对称于Y轴的对称变换，其变换矩阵为：1000100013T最后反向旋转和反向平移将直线置回原处，其变换矩阵分别为：1000cossin0sincos1000)cos()sin(0)sin()cos(4T100100015bT所以，对称于任一轴ymxb的变换矩阵为：1)sin(coscossin20sincoscossin20cossin2cossin22222254321bbbTTTTTT当m为直线斜率，b为截距时有：sinsin90sincos90cos11)90cos(2

7、mcossin90coscos90sin1)90sin(2mm所以222211sincosmm21cossinmm替换变换矩阵中的和得：11)1 (1201112012222222bmmbmbmmmmmmmm1m-1T222上述变换用代数方程表示为：2221)(211mmbyxmmxbmmbyxmmy22211)(12 smlqdcpbayxTyxyxD1112 旋转、比例旋转、比例错切、对称错切、对称透视投影ndycxymbyaxx二维仿射变换二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换： 用户坐标系与设备坐标系的变换关系可以二维仿射变换模用户坐标系与设备坐标系的变换关系可以二维仿射变换模型予以

8、描述，如何推导？型予以描述，如何推导？平移平移变换变换已知空间一点的坐标是P(x,y,z），沿X、Y及Z轴方向分别平移tx 、ty、tz ，后，得新坐标P(x,y,z）的表示式为：zyxtzztyytxx矩阵形式为： 101000010000111zyxtttzyxzyx比例比例变换变换相对于原点的比例变换的表示式为：zyxszzsyysxx 100000000000011zyxssszyxzyx矩阵表示为：矩阵表示为： 1000010000cossin00sincos11zzzzzyxzyx（1 1） 绕绕Z Z轴旋转变换轴旋转变换 三维图形绕Z轴旋转时，图形上各顶点z坐标不变，x、y坐标的

9、变化相当于在XY二维平面内绕原点旋转。所以绕Z轴旋转变换的表达式为：zzyxyyxxzzzzcossinsincos（2 2） 绕绕X X轴旋转变换轴旋转变换 xxxxzyzzyyxxcossinsincos 10000cossin00sincos0000111xxxxzyxzyx（3 3） 绕绕Y Y轴旋转变换轴旋转变换 三维图形绕Y轴旋转时，图形上各顶点y坐标不变，x、z坐标的变化相当于在XZ二维平面内绕原点旋转。所以绕Y轴旋转变换的表达式为：yyyyzconxzyyzxxsinsincos矩阵表示为： 10000cos0sin00100sin0cos11yyyyzyxzyx绕任意轴旋转变

10、换绕任意轴旋转变换coscoscos321nnn绕该轴进行旋转变换其旋转矩阵的获取方法为：通过绕该轴进行旋转变换其旋转矩阵的获取方法为：通过平移及旋转给定轴使其与某一坐标轴重合，绕坐标轴平移及旋转给定轴使其与某一坐标轴重合，绕坐标轴完成指定的旋转，然后再用逆变换使给定轴回到其原完成指定的旋转，然后再用逆变换使给定轴回到其原始位置。各次变换矩阵乘起来即形成复合变换。始位置。各次变换矩阵乘起来即形成复合变换。(1) (1) 将将P(xP(xc c,y,yc c,z,zc c) )平移到坐标原点；变换矩阵为：平移到坐标原点；变换矩阵为：10100001000011ccczyxT(2) (2) 将将I

11、 I轴绕轴绕Y Y轴旋转轴旋转 y y角角，同YZ平面重合，其变换矩阵为：10000cos0sin00100sin0cos2yyyyT(3) (3) 将将I I轴绕轴绕X X轴旋转轴旋转 x x角角，同Y轴重合，其变换矩阵为：10000cossin00sincos000013xxxxT(4) (4) 将将P(x,y,zP(x,y,z）点绕）点绕Y Y轴旋转轴旋转角角，其变换矩阵为：10000cos0sin00100sin0cos4T（5 5）绕）绕X X轴旋转轴旋转- - x x角角，其变换矩阵为：10000cossin00sincos000015xxxxT（6 6）绕）绕Y Y轴旋转轴旋转-

12、 - y y角角，其变换矩阵为：10000cos0sin00100sin0cos6yyyyT（7 7）将）将P(xP(xc c,y,yc c,z,zc c) )平移回原位置平移回原位置，其变换矩阵为：10100001000017ccczyxT复合变换矩阵为：TT1T2T3T4T5T6T7（8）中间变量的计算方法）中间变量的计算方法变换过程式中，sinx、siny、cosx、cosy为中间变量，应使用已知量n1、n2、n3表示出来。考虑I轴上的单位向量n n，它在三个坐标轴上的投影值即为n1、n2、n3。取Y轴上一单位向量将其绕X轴旋转-x角，再绕Y轴旋转-y角，则此单位向量将同单位向量n n重

13、合，其变换过程为： 10000cos0sin00100sin0cos10000cossin00sincos0000110101321yyyyxxxxnnn1sinsinsinyxxyxconcon即n1=sinx siny，n2= cosx，n3= sinx cosy。同时考虑到n12+n22+n32=1，可解得：2cosnx23212cos1sinnnxx232133sincosnnnnxy232111sinsinnnnnxy x(xxc)(n12(1n12)cos (yyc)( n1n2(1cos)n3sin) (zzc)( n1n3(1cos)n2sin)xc y=(xxc)( n1n2

14、(1cos)n3sin) (yyc)( n22(1n22)cos) (zzc)( n2n3(1cos)n1sin)yc z=(xxc)( n1n3(1cos)n2sin) (yyc)( n2n3(1cos)n1sin) (zzc)( n32(1n32)cos)zc 对称变换对称变换 100001000010000111zyxzyx相对于XZ平面的对称变换只需改变y坐标的正负号, 其变换的矩阵表示为： 100001000010000111zyxzyx空间一点P(x,y,z)对XY坐标平面对称变换时，只需改变z坐标的正负号，其它两坐标不变，其变换的矩阵表示为：相对于YZ平面的对称变换只需改变x坐标的正负号, 其变换的矩阵表示为： 100001000010000111zyxzyx如果需要相对于任一平面作对称变换时，可以将此平面转换成与某一坐标平面相重合，并运用上述简单的对称变换，然后再将平面反变换回原来的位置即可。错切错切变换变换第一列中元素c和e不为0，产生