第二讲_命题及其关系、充分条件与必要条件

1、第1页 共 41 页第二讲第二讲 命题及其关系命题及其关系 充充分条件与必要条件分条件与必要条件第2页 共 41 页教材知识整合教材知识整合回归教材回归教材第3页 共 41 页1.四种命题四种命题一般地一般地,用用p和和q分别表示原命题的条件和结论分别表示原命题的条件和结论,则四种命题的则四种命题的形式就是形式就是:原命题原命题:若若p,则则q;逆命题逆命题:若若q,则则p否命题否命题:若若p,则则q逆否命题逆否命题:若若q,则则p原命题与它的原命题与它的逆否命题逆否命题同真假同真假,逆命题与逆命题与否命题否命题同真假同真假.第4页 共 41 页2.充要条件充要条件若若pq,则则p是是q的充分

2、条件的充分条件;若若qp,则则p是是q的必要条件的必要条件;若若pq且且q p,则则p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件;若若qp且且p q,则则p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件;若若pq,则则p是是q的充要条件的充要条件;若若p q且且q p,则则p是是q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件.第5页 共 41 页基础自测基础自测1.(2010陕西文数陕西文数)“a0”是是“|a|0”的的( )A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析:本题考查充要条件的判断本题考查充要条件的

3、判断a0|a|0,|a|0 a0,“a0”是是“|a|0”的充分不必要的充分不必要条件条件.答案答案:A第6页 共 41 页2.(2010山东文数山东文数)设设an是首项大于零的等比数列是首项大于零的等比数列,则则“a1a2”是是“数列数列an是递增数列是递增数列”的的( )A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案答案:C第7页 共 41 页3.(2010四川四川)函数函数f(x)=x2+mx+1的图象关于的图象关于x=1对称的充要对称的充要条件是条件是( )A.m=-2 B.m=2C.

4、m=-1 D.m=1答案答案:A第8页 共 41 页4.(2010广东广东)“m ”是一元二次方程是一元二次方程x2+x+m=0有实数解的有实数解的( )A.充分非必要条件充分非必要条件 B.充分必要条件充分必要条件C.必要非充分条件必要非充分条件 D.非充分非必要条件非充分非必要条件解析解析:一元二次方程一元二次方程x2+x+m=0有实数解有实数解=1-4m0m 由由m1,则方程则方程x2+2x+q=0有实根有实根.第12页 共 41 页 解解 (1)原命题为真原命题为真.逆命题逆命题:若若a0或或b0,则则ab0.为假为假.否命题否命题:若若ab0,则则a0且且b0.为假为假.逆否命题逆否

5、命题:若若a0且且b0,则则ab0.为真为真.第13页 共 41 页 (2)原命题为真原命题为真.逆命题逆命题:若若x y全为全为0,则则x2+y2=0.为真为真.否命题否命题:若若x2+y20,则则x y不全为不全为0.为真为真.逆否命题逆否命题:若若x y不全为不全为0,则则x2+y20.为真为真.(3)原命题为假原命题为假.逆命题逆命题:若方程若方程x2+2x+q=0有实根有实根,则则q1.为假为假.否命题否命题:若若q1,则方程则方程x2+2x+q=0没有实根没有实根.为假为假.逆否命题逆否命题:若方程若方程x2+2x+q=0没有实根没有实根,则则q1.为假为假.第14页 共 41 页

6、点评点评 (1)写出一个命题的逆命题写出一个命题的逆命题 否命题否命题 逆否命题的关逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论键是正确找出原命题的条件和结论;(2)在判断原命题及其逆命题在判断原命题及其逆命题,否命题和逆否命题真假时否命题和逆否命题真假时,要灵要灵活应用活应用“原命题与逆否命题同真同假原命题与逆否命题同真同假;否命题与逆命题同否命题与逆命题同真同假真同假”. 第15页 共 41 页变式变式1:有三个命题有三个命题:(1)“若若x+y=0,则则x,y互为相反数互为相反数”的逆命题的逆命题;(2)“若若ab,则则a2b2”的逆否命题的逆否命题;(3)“若若x-3,则则x2+x-60

7、”的否命题的否命题.其中真命题的个数为其中真命题的个数为_.第16页 共 41 页解析解析:(1)的逆命题为的逆命题为若若x,y互为相反数互为相反数,则则x+y=0是真命题是真命题.(2)原命题是假命题原命题是假命题,所以逆否命题为假命题所以逆否命题为假命题.(3)的逆命题为的逆命题为若若x2+x-60,则则x-3,是假命题是假命题.又逆命题与否又逆命题与否命题是等价命题命题是等价命题,故否命题为假命题故否命题为假命题.答案答案:1个个第17页 共 41 页题型二题型二充要条件的判定充要条件的判定【例【例2】 (2010上海文数上海文数)“x=2k+(kZ)”是是“tanx=1”成立的成立的(

8、 )A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案答案 A4第18页 共 41 页(2010北京理数北京理数)a b为非零向量为非零向量.“ab”是是“函数函数f(x)=(xa+b)(xb-a)为一次函数为一次函数”的的( )A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案答案B第19页 共 41 页21,4451.;,A.4ktananttna解析 所以充分但反之不成立 如故选第20页 共 41 页函数函数f

9、(x)=x2ab-(a2-b2)x-ab当函数当函数f(x)是一次函数时必然要求是一次函数时必然要求ab=0,即即ab反过来反过来,当当ab时且时且|a|=|b|时时,f(x)不是一次函数不是一次函数,ab是是f(x)是一次函数的必要不充分条件是一次函数的必要不充分条件.故选故选B.第21页 共 41 页点评点评 判断充分必要条件时判断充分必要条件时,一是要分清命题的条件和结论一是要分清命题的条件和结论,二是要从两个方向上判断条件二是要从两个方向上判断条件结论与结论结论与结论条件是否成条件是否成立立.第22页 共 41 页变式变式2:设设l,m,n均为直线均为直线,其中其中m,n在平面在平面内

10、内,则则“l”是是“lm且且ln”的的( )A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析:m,n,llm且且ln,反之由反之由lm且且ln,当当mn时时,不能推出不能推出l,故选故选A.答案答案:A第23页 共 41 页题型三题型三充要条件的应用充要条件的应用【例【例3】 设设A=xR|-2xa,B=y|y=2x+3,xA,C=z|z=x2,xA,则命题则命题C B的充要条件是什么的充要条件是什么?第24页 共 41 页解解 A=xR|-2xa,B=y|-1y2a+3.当当-2a2时时,C=z|

11、0za2.当当-2a2时时,C B42a+3 a2; 当当a2时时,C Ba22a+320),若非若非p是非是非q的必要而不充分条件的必要而不充分条件,求实数求实数m的取值的取值范围范围.113x第26页 共 41 页2222:,:. :2, 21 2,13, 210. :210,(1111331312,11),11(0).9.9,0.3.,9pqpqpxq xxmxmmxm mxxxmmpqmmmm 解 由题意知 若非 是非 的必要不充分条件的等价命题为是 的充分不必要条件 是 的充分不必要条件 即实数 的取值范围是第27页 共 41 页解题方法拾遗解题方法拾遗【例【例4】 “a=1”是是“

12、函数函数f(x)=|x-a|在区间在区间1,+)上为增函数上为增函数”的的( )A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件第28页 共 41 页解析解析 当当a=1时时,f(x)=|x-1|在区间在区间1,+)上为增函数上为增函数,而函数而函数f(x)=|x-a|在区间在区间1,+)上是增函数上是增函数,得出得出a1,因此因此“a=1”是是“函数函数f(x)=|x-a|在区间在区间1,+)上为增函数上为增函数”的充分不必要的充分不必要条件条件.故选故选A.答案答案 A 第29页 共 41 页【例【例5】 设全

13、集为设全集为U,在下列条件中在下列条件中,(1)AB=A;(2)( UA)B=;(3) UA UB;(4)A UB=U能作为能作为B A的充要条件的有的充要条件的有_.(把正确的序号都把正确的序号都填上填上).第30页 共 41 页解析解析 利用韦恩图解答利用韦恩图解答,作韦恩图作韦恩图,如图所示如图所示.(1)AB=AB A.(2)( UA)B=B A.(3) UA UBB A.(4)A UB=U UA UB.A UB=U是是B A的充要条件的充要条件.答案答案 (1)(2)(3)(4) 第31页 共 41 页点评点评 判断充要条件的方法判断充要条件的方法(1)定义法定义法:若若pq,则则p

14、是是q的充要条件的充要条件.(2)逆否法逆否法:若证非若证非p是非是非q的充要条件的充要条件,只需证明只需证明q是是p的充要条的充要条件件.(3)集合法集合法:从集合的观点出发从集合的观点出发,建立命题建立命题p和和q相应的集合相应的集合,A=x|p(x),B=x|q(x).若若A B,则则p是是q的充分条件的充分条件.若若B A,p是是q的必要条件的必要条件.若若A=B,则则p是是q的充要条件的充要条件.第32页 共 41 页考向精测考向精测1.若若a0,b0,且且a1,则则logab0是是(a-1)(b-1)0的的( )A.充分不必要条件充分不必要条件B.必要不充分条件必要不充分条件C.充

15、要条件充要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案答案:C第33页 共 41 页2.下列命题错误的是下列命题错误的是( )A.命题命题若若m0,则方程则方程x2+x-m=0有实数根有实数根的逆否命题为的逆否命题为:若若方程方程x2+x-m=0无实数根无实数根,则则m0B.x=1是是x2-3x+2=0”的充分不必要条件的充分不必要条件C.若若pq为假命题为假命题,则则p q均为假命题均为假命题D.y=sin(2x+)为偶函数的充要条件是为偶函数的充要条件是=k+(kZ)答案答案:C2第34页 共 41 页教师备课资源教师备课资源1.指出下列命题中指出下列命题中,p是是q的什么条件的什

16、么条件(在在充分不必要条件充分不必要条件 必要不充分条件必要不充分条件 充要条件充要条件 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件中选出一种作答中选出一种作答).(1)在在ABC中中,p:A=B,q:sinA=sinB;(2)对于实数对于实数x y,p:x+y8,q:x2或或y6;(3)非空集合非空集合A B中中,p:xAB,q:xB;(4)已知已知x yR,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.第35页 共 41 页解解:(1)在在ABC中中,A=BsinA=sinB,反之反之,若若sinA=sinB,因为因为A与与B不可能互补不可能互补(因为三角形三个内角和为因

17、为三角形三个内角和为180),所所以只有以只有A=B.故故p是是q的充要条件的充要条件.(2)易知易知,p:x+y=8,q:x=2且且y=6,显然显然qp,但但p q,即即q是是p的充分不必要条件的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性根据原命题和逆否命题的等价性知知,p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.(3)显然显然xAB不一定有不一定有xB,但但xB一定有一定有xAB,所以所以p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件.(4)条件条件p:x=1且且y=2,条件条件q:x=1或或y=2,所以所以pq但但q p,故故p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件.第36页 共 41 页2.

18、现有命题现有命题:若若cb,且且f(x)在两个区间在两个区间a,b,c,d上都是增函数上都是增函数,则则f(x)在区间在区间a,bc,d上是增函数上是增函数,若认为该命题为真若认为该命题为真,请请给出证明给出证明.若认为该命题为假若认为该命题为假,请对原命题予以补充条件请对原命题予以补充条件(不不允许变更原命题的内容允许变更原命题的内容 不允许举反例不允许举反例)使原命题成立使原命题成立,请请先写出补充条件先写出补充条件,然后证明给出的真命题然后证明给出的真命题.第37页 共 41 页解解:原命题为假命题原命题为假命题.需补充的条件需补充的条件:f(c)f(b).证明证明:任取任取x1,x2a,bc,d,且且x1x2.(1)若若x1,x2a,b,由由f(x)在在a,b上为增函数上为增函数,必有必有f(x1)f(x2)成立成立;(2)若若x1,x2c,d,由由f(x)在在c,d上为增函数上为增函数,必有必有f(x1)f(x2)成立成立;第38页 共 41 页(3)若若x1a,b,x2c,d,由题设知由题设知f(x1)f(b),f(x2)f(c),又又f(b)f(c).f(x1)f(x2).综上所述综上所述,f(x)在在a,bc,d上为增函数上为增函数. 第39页 共 41 页3.求关于求关于x的方程的方程ax2+