第1章 矢量与张量

1、张量分析张量分析Tensor Analysis 自从爱因斯坦自从爱因斯坦1915年发表广义相对论的著名论文以来，年发表广义相对论的著名论文以来，张量分析在理论物理中占有突出重要的地位。以后张量分析张量分析在理论物理中占有突出重要的地位。以后张量分析在理论物理学发展中起了重要作用。同时，反过来，来自物在理论物理学发展中起了重要作用。同时，反过来，来自物理学（相对论，场论）的概念也促进了张量分析的发展。理学（相对论，场论）的概念也促进了张量分析的发展。 近二十年来连续介质力学的发展又重复着同一历史。近二十年来连续介质力学的发展又重复着同一历史。今今天不熟悉张量分析的人阅读连续介质力学的文献是困难的

2、，天不熟悉张量分析的人阅读连续介质力学的文献是困难的，有时甚至是不可能的有时甚至是不可能的。张量分析与微分几何学的一些分支已。张量分析与微分几何学的一些分支已经渗透到连续介质力学中来。正如经渗透到连续介质力学中来。正如Flgge所说，有了张量分所说，有了张量分析，连续介质力学就如鱼得水析，连续介质力学就如鱼得水。 教材：教材：张量分析张量分析黄克智、薛明德、陆明万，清华大学出版社黄克智、薛明德、陆明万，清华大学出版社内容安排：内容安排：1. 矢量和张量矢量和张量2. 二阶张量二阶张量3. 张量函数张量函数4. 曲线坐标张量分析曲线坐标张量分析5. 曲面上的张量分析曲面上的张量分析 6. 张量对

3、参数张量对参数 t 的导数的导数7. 张量分析在固体力学中的应用举例张量分析在固体力学中的应用举例要求：掌握一定的计算能力，一定量作业，选择讲解要求：掌握一定的计算能力，一定量作业，选择讲解考核：开考核：开(闭闭)卷考试卷考试 信箱：/ 用户： 密码：zhoucw第1章 矢量与张量 1.1 矢量及代数运算39812.3.1.,1.1.1uvvuu v w 0uvw一些物理量，由分量组成（速度、力个分量；应力、应变个分量；弹性系数、柔度系数个分量），物理量本身是个客观量，不随观察者的观察角度而变，但其分量在不同的坐标系相同的模，相同的方向中取不同的。一个矢量值。平移后这个矢量不变。黑体字表示矢量

4、， 模表示长度相等 矢量和矢量和 交换律: 结合律矢量()()uvwuvw: 12121()5.: (),() ()6., ,7.IIIiiiababaaaa baba aaawuvw uw vuuuuvuvuuu uuu0u vv u线性相（无）关：是（否）存在一组非全为零的数，使 交换律: 分配律: 正定性数乘分配律结合律:线性相（无）关点积 : Schwartzu u0u u0u0u vuv，若 不等式: 8.sin( , );,xyzxyzuuuvvv ijkwuvuvu vu vu vuvvuuvwuvuwuvwu w vu v wuvwuvw组成的平行四边形面积 交换律: 分配律：

5、 三重积： 无结合律：叉积 作业练习 ； 9. , , , , , , ,xyzxxxxyzyyyxyzzzzuuuuvwvvvuvwwwwuvw u v wuvwuvwu v wv w uw u vv u wu w vw v uu uu vu wu v wu v wv uv vv ww uw vw w 混合积 2221.2cos1.1.2cababC举例2.coscoscossinsincos A求证 3.用矢量叉积表示刚体上任一点的线速度1.2 斜直角坐标系1212212121Einstein1.2.1xxPPPPggPgggg坐标系下的基矢 （不一定是单位矢） 、 平面问题求和约定：哑指

6、标，上、下成对出现，遍历求和 PPPPPPgggPgggP ggP gee定义对偶参考矢量：协变基矢量，逆变分量（ 逆变基矢量，协变分量（）笛卡尔坐标系：，不用区分上、下指标， ）1231231.2.2iiiiiirrrrddxxxrggggrrrg矢径 协变（自然）基矢量的定义：定义： ，三维问题123,jjiigg gggg（正实数） 逆变基矢量的定义: 1231231cos11,iigggg ggg gg 1232331122331121231111()iiijijijjjijjiijijijijjiiijijjijgggggggggggggggggggggggggggggggggggg

7、gggggggg在 系下分解：度量张量在 系下分解：度量张量协、逆变坐标系之间的相互表示: 由定义 由度量张量进行指标升降将 ，将 ， （）)，22123123(4)23 det(),det(),1,kjjkjikiikijijijiikmijkjjmnmijlknmijlkg gggggggpppg ppgpu vu vuv gu v gg gggggPggu v矩阵互逆（ ）（ ）1.3 曲线坐标系ix1.3.1 曲线坐标系与局部基矢量1. P点位置用固定点O至该点矢径 r 表示；2. r 可由 3 个独立参数确定： 与空间所有点11对应， 就是曲线坐标系；3. 不是 r 在在固定坐标系中

8、的投影长度 ：4. 与 1-1对应：123(,)x x xrrix()ix()ix()ix123123()()()iiiXxXxXxxxxrijkijk()iX()jkXxdet0,det0ijijXxxX01231235.lim6.iiiiiiiixiiiiiiiijjddxdxxxxXXXxxxxxxxXXX rrgrrgggijkgijk曲线坐标系基矢量定义大小、方向均随空间位置变化7. 与笛卡尔坐标系之间的关系：12312312312312,sincossinsincosxrxxxxxxxxxxxxxrijkijk 22221221221.1.3am0amijijiiiggdsddAd

9、xA dxA dxAgrr正交系中线元的长度平方正交曲线坐标系与 L常数： L常数1.4 1.4 坐标转换坐标转换.2jjiiiijjjkkikkijijiiijijijijijjiijiijiijiijjjxxxxuuuuu ugggggggggggg协变转换系数：逆变转同一物理量，在不同坐标系换系数：中分量不同，研究分量之间的关系基矢量的转换关系，矢量分量的转换系数1.4.3,jiijjijjiijkli jijkli jijklkluuuuugggg ，度量张量分量的转换系数1.5 1.5 并矢与并矢式并矢与并矢式 n2Proj()()()();():1.5.11ff

10、f n nn n ff nnn n fnn fabTTabcc a b = c aba b c = ab cabcfn举例：界面单位面积上的力矢量 与内力状态和切面 均有关 （ ） 对截面的拉伸作用： 定义： 并矢，的分量为 、 分量遍历互乘，扩维。对于任意矢量 有： 多并矢并矢 （）()()(); ()()(); ()()Tmmmmdaba bababab ca bcabca bcabacab cdacadbcbdabbaabba 结合律: 分配律: 无交换率：， (,:1.5.2 =)1.5.3,ijkijkAa db cu abu a b ab ua b uu abab uab uvb

11、u avab uvabuvaabcda bcda b cdA abcda d bc ：并矢中，某两个矢量进行点积 缩维，新分量乘系数：原并矢分量的和 并矢与矢量点积： 并矢与并矢点积： 并矢并矢双点积：缩并 缩并并矢的点积与双点积1.5.4ub vab uvabuva vb u矢量相等：其分量在同一组基下必然相等 并矢相等：其分量在同一组基下必然相等 并矢相等 1.6 张量的基本概念 9,.2ijmniii jijmnmnmni jijmniinmjmjnT i jT ijT ijm nxxTTTTTT T，若干个分量(如 个)组成的集合，坐标变换时分量满足转换关系: 下，分量

12、为，在坐标系下，分量为之间满足： 逆变分量： 协变分量： 混变分量： 实体表示： ； 分量表示：张量定义表示方法1.6.3iijjjiijijijijTTGGg gGg gg g； 并矢表示：度量张量： 定义： 指标升降 2123,1/ijjiijjijkkiiiijijjjijijijijiijjjiijGGGGG GGGGGgGGGGggggggg 性质： 在斜直线坐标系中是常数，在曲线坐标系中是坐标的函数。 对称： 互逆： 行列式值： 指标升 降 基矢量指标升 降：， （度量张量的元素实际上就是协、逆基矢量相互线性分解的系数） 矢量、/ijiijiijjjjiijimjnijnmjiji

13、mnjimnnmnjnimnmimjpppG ppG pTT GGT G GTTG G TPggTg gggg gg g分量指标升 降：， 张量分量指标升 降： 1.7 张量的代数运算ijijijiiiijijijjjjjkkiiiijijjjijijiiijijjjUTSUTSUTSG GGGTSTSTSUTSTTS 相等：，在同一坐标系中的逆变（协变、混变）分量一一相等。 相加：，在同一坐标系中的逆变（协变、混变）分量一一相加。 互逆： 标量与张量相乘：、ijijiiijijjji jlijjijlkijlki jlkkkijklkijlkijlkTkSTkSTkSUT STST SUTS

14、UTSTSSTUg gg gg g g gg g g gST、 （每一个分量乘） 张量与张量的并乘：、 （并乘是扩维，新张量的分量是两个相乘张量所有分量相乘的组合） 张量的缩并： 123123iiiikkkkijklijlkijkikklijkljikjikiSTTTTTSg g g gg gg gg g （缩并是降维，新张量的分量是原张量分量的和：）(),ijklrsttrsklijtrsr stijrskltijlsktkltijrskltijsijtklrsijtklrqklr sijtklr sijqTSUTSTSTSTSGTg g g gSg g gUg g gT Sg g g g

15、g g gg g g g gT Ug g g g g g gg g g gg 张量的点积 先并乘后缩并 ： :stijtrlksklr sijtijrskltijkltijtkltijrskltijtijijrskltijlktijtkltijrskltijtijTS GTSTSWTSTSVg gg g g g gT Sg g g g g g gg g gg g gTSg g g g g g gg g gg g g 1 21 3ijklklijjiklklijjiklklijTTTTg g g gSg g g gRg g g g 张量的转置：、指标转置：、指标转置： ( , , , ,)012

16、12ijklklijijjiklklijjiiiklklklTTT i j k l mqTTTTTT Tg g g gATTBTT设一组数的集合如果与任意一个阶张量的内积（缩并） 对称化和反对称化： 对称： 反对称： （反对称张量中，对角分量为零：）对称化： 反对称化： 商法则： ， 3311 ( , , , ,)( , , , ,)( , , , ,)lmijkijklmlmpT i j k l m SUUT i j k l m ST i j k l mqp 为一个阶张量：即必定组成一个 阶张量。 ， 1.8 张量的矢积1.8.1 置换符号与行列式展开式1. 置换符号（Ricci）符号-用于

17、指标轮换 不是张量的分量 （分量值不随坐标改变而变化） 对任意两个指标反对称 2. 表示行列式展开 （下标按1-2-3排列时，上标按顺序为“”，按逆序为“”）序序,0,1,1非逆顺序kjikjikjieeijkijk111123222123123123333123det()iiijkijkjjijkijkaaaaaaaaa a a ea a a eaaaa 行列式列重排 行列式行列均重排 3. 矢量叉乘 （al、bm、in 按顺序为“”，按逆序为“”） lmnijkknjmilnmlnmlnmlaeeaaaaaaaaaaaa333222111lmnijkknkmkljnjmjlinimilea

18、eaaaaaaaaa123123123lmnlmna a aab eb b bi i iabi4. 混合积 ijkkjiewvuwwwvvvuuu321321321wvuwvuwv,u,1.8.2 置换张量（Eddington张量）1. 度量张量的行列式2. 置换张量 2123123,1lijijlmnlmnmnlmnlmnlmnGGgeggeeggggi ,i ,ig ,g ,gg ,g ,gg ,g ,g 1ijkijkijkijkijkijkijkijkgeg eg g gg g gg g gg g g 是张量 用于基矢量互相表示3. 广义 Kronecker 符号 有6个自由指标，是6阶张量 前式：上、下指标均顺序，后式：上指标均顺序，下指标逆序） 只有和均为顺或逆序时非零，且及同为顺序或逆序为1，否则为-1 kijijkijijkkgggggg,ijkkkjjiikjikkjjiikkkjjjiiikjikj i ggggggggg,ijkrrrijkijkijk