第1章 矢量分析090216

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 1第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 2本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第第1 1章章 矢量分析

2、矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 31. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代数表示矢量的代数表示：AeAeAAA1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定

3、是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 4zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 5（1）矢量的加减法）矢量的加减法)()

4、()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律()()ABCABCABBA交换律交换律第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 6（2 2）标量乘矢

5、量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角AB A B A B0BA/ A BAB第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 7（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeee

6、BAABBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为BAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 8（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电

7、子科技大学电子科技大学 91.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系：三种常用的正交曲线坐标系：坐标变量：坐标变量：描述坐标轴的量描述坐标轴的量正交曲线坐标系正交曲线坐标系：三条正交曲线组成的确定三维空间任三条正交曲线组成的确定三维空间任 意点位置的体系意点位置的体系坐标轴：坐标轴：三条正交曲线三条正交曲线直角直角坐标系坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 101. 直角坐标系直角坐标系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量坐标变量坐标

8、变量zyx,坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee, 点点P(x0,y0,z0)（平面）（平面）oxy（平面）（平面）（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeye0z z0 x x0yyz第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 11zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长

9、度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 122. 圆柱坐标系圆柱坐标系z,坐标变量：坐标变量：zeee,坐标单位矢量：坐标单位矢量：圆柱坐标系圆柱坐标系0 02z 变化范围：变化范围：变换关系：变换关系：22xyarctan()y xzzcosxsinyzz第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 13圆柱坐标系圆柱坐标系与与直角坐标直角坐标之间单位矢

10、量的变换关系之间单位矢量的变换关系 cossin0sincos0001xyzzeeeeee oxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系xeyeeeeeee cossin0sincos0001xyzzeeeeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 14dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSzeeelzdddd线元矢量线元矢量zVdddd体积元体积元面元矢量面元矢量zeerz位置矢量位置矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积

11、元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 153. 球坐标系球坐标系, r坐标变量：坐标变量：eeer,坐标单位矢量坐标单位矢量0r 002变化范围：变化范围：球球坐坐标标系系0（半半平平面面）0（圆圆锥锥面面）0rr （球球面面）),(000rP球球坐坐标标系系球球坐坐标标系系0（半半平平面面）0（圆圆锥锥面面）0rr （球球面面）),(000rP变换关系：变换关系：sincosxrsinsinyrcoszrarctan()y x222rxyz222arccos()zxyz第第1 1

12、章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 16坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系 球坐标系球坐标系与与圆柱坐标圆柱坐标 球坐标系球坐标系与与直角坐标直角坐标oz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系zeereesin0coscos0sin010rzeeeeeesincossinsincoscoscoscos sinsinsincos0rxyzeeeeee ,sinrreeee,cosreeee 0,sincosreeee 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢

13、量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 17ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSrdsindddrererelr线元矢量线元矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元rerr位置矢量位置矢量第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 181.3 标量场的梯度标量场的梯度标量场和矢量场标量场和矢量场、),(zyxuq 标量场标量场：物理量是为标量物理量是为标

14、量),(zyxFq 矢量场矢量场：物理量是矢量物理量是矢量、),(tzyxu),(tzyxFq 时变场：时变场： q 场的概念：场的概念：物理量在空间区域上的一个确定分布物理量在空间区域上的一个确定分布q 静态场静态场：( , , )u x y z 、( , , )F x y z 例如：例如：流速场流速场、重力场重力场、电场、磁场等、电场、磁场等 例如：例如：温度场、电位场、高度场等。温度场、电位场、高度场等。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 191.1. 标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面: : 标量场

15、取得同一数值的点在空标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁

16、场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 202. 方向导数方向导数意义意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率方向导数表示场沿某方向的空间变化率。00limcoscoscos|Mluuuuullxyz 概念概念： l u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l u(M)沿沿 方向减小；方向减小； l u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 l特点特点：方向导数既与点方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 的方向余弦。的方向余弦。

17、 l式中式中： coscoscos、0ul0ul0ul第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 21梯度的表达式梯度的表达式：zueueueuz1圆柱坐标系圆柱坐标系 ureurerueursin11球坐标系球坐标系zueyuexueuzyx直角坐标系直角坐标系 3. 标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）graduu意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及场在某点的最大变化率及 其变化最大的方向其变化最大的方向概念概念：max|luuel luel 其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向M0梯度的概念梯度的

18、概念 u第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 22标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增加）的方向，其数值表示变化最大方向上场变化最大（增加）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。的空间变化率。梯度的性质梯度的性质：标量场的梯度垂直于通过该点的标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）等值面（或切平面）lueul标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影，即影，即第第1

19、 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 23梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 24 解解 (1)PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.3.1 设一标量函数设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空间标量描述了空间标量场。试求：场。试求： (1) 该函数该

20、函数 在点在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。的单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。ooo60cos45cos60coszyxleeee222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学

21、 25 (2)(1,1,1)1221222Pxyl)212221()22(zyxzyxleeeeyexeel212 yx而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立恒成立。PPPl 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 261.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间形象直

22、观地描述了矢量场的空间 分布状态。分布状态。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM Fdrrrdr第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 272. 矢量场的通量矢量场的通量 问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 ndddSSFSF eS通量的概念通量的概念nd

23、dSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；nddF eS穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。如果如果 S 是闭合曲面，则是闭合曲面，则),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量SSSeFSFddnne外法向单位矢量外法向单位矢量dS第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 280通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等三种可能结果三种可能结果通量的物理意义

24、通量的物理意义第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 293. 矢量场的散度矢量场的散度散度的概念散度的概念：FVSzyxFzyxFSVd),(lim),(0散度的意义散度的意义：通量源密度通量源密度 散度表征矢量场的通量源的分布特性散度表征矢量场的通量源的分布特性 ( (正源正源) )0F ( (负负源源) )0F ( (无源）无源）0F第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 30圆柱坐标系圆柱坐标系)(sin1)(sinsin1)(12

25、2FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐标系球坐标系zFyFxFFzyx直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(为常量)()()()为常矢量(0第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 31直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000(,)(,

26、)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 穿出前、后两侧面的净通量值为穿出前、后两侧面的净通量值为包围包围P点的微体积点的微体积 V 为一直平行六面体，如图所示。则为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzxyPF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 32根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通

27、量为穿出该六面体的净通量为zFyFxFVSFFzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 334. 散度定理散度定理VSVFSFdd体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广关系，在电

28、磁理论中有着广泛的应用。泛的应用。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 34xyzO第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 351.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1. 矢量场的环流矢量场的环流磁感应线要磁感应线要么穿过曲面么穿过曲面磁感应线要么同时磁感应线要么同时穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感应线磁感应线流速场。流速场。第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电

29、子科技大学 36( , ) dCF x y zl（1）环流的概念环流的概念 矢量场沿闭合曲线矢量场沿闭合曲线C 的环流定义的环流定义为该矢量对闭合曲线为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即（2）环流面密度环流面密度SCMFnCSlFSFd1limrot0n称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。n特点特点：其值与点其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。矢量场矢量场的环流的环流n第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 37而而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。

30、rotxFoyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 rotxF 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式rotxFrotyFrotzF41321dddddllllClFlFlFlFlF)()(4321zFyFzFyFzyzy2)(2yyFMFFMzzz2)(3zzFMFFMyyy2)(1zzFMFFMyyy2)(4yyFMFFMzzz第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 38于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量场在矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值

31、为M 点的环点的环 流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积 元的法线方向，即元的法线方向，即物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。性质性质：（3）矢量场的旋度矢量场的旋度zyzFyFlFyzC)(dzFyFSlFFyzCSxdlimrot0maxnnrotFeFFeFnnrotxFzFFzxyrotyFxFFxyzrot第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 39yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzx旋度的计算公式旋度的计算公式: :1

32、zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系zyxzyxFFFzyxeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 40旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技

33、大学 41SCSFlFdd3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是闭合曲线定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。广泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即曲线所围的曲面的通量，即第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 42C111yxO2112C222

34、C322第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 434. 散度和旋度的区别散度和旋度的区别 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 441. 无旋场无旋场1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场0dClF性质性质： ，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，仅有散度源而无旋度源的矢量场，0F无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示为可以用标量场的梯度表示为例如：静

35、电场例如：静电场0EE uF()0Fu 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 45dddddluFlulu e llul uF( )ddQQPPu PFlCulC dd( )( )QQPPFluu Pu Q 第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 462. 无散场无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即，即性质性质：0dSSF0 F无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁

36、场例如，恒定磁场BA 0BAF0)(AF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 471.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1. 拉普拉斯运算拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算2u概念概念：2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐标系直角坐标系计算公式计算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系uu2)(第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电

37、磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 48 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算2F概念概念：2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，22()iiFF直角坐标系中：直角坐标系中：如：如：22()FF(, , )ix y z)()(2FFF第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 492. 格林定理格林定理 2 ()ddVSVSn 或或以上两式称为以上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。2 ()d() dVSVS ddnVSF VF eSF 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及 在区域在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，则由中具有连续的二阶偏导数，则由2() nF en利用利用令令SVne第第1 1章章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子科技大学电子科技大学 50基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理