第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

1、数学数学第第2 2节命题及其关系、充分条件与必要条件节命题及其关系、充分条件与必要条件数学数学数学数学知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析数学数学知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】 1.1.在四种命题中在四种命题中, ,会有会有1 1个或个或3 3个命题为真命题吗个命题为真命题吗? ?提示提示: :不会不会, ,由原命题与逆否命题由原命题与逆否命题, ,逆命题与否命题是两对互为逆否的逆命题与否命题是两对互为逆否的命题、真假性相同命题、真假性相同, ,则四种命题为真命题的可能个数为则四种命题为真命题的可能个数为

2、0,2,4.0,2,4.2.2.写一个命题的其他三种命题时需要注意什么写一个命题的其他三种命题时需要注意什么? ?提示提示: : (1)(1)对于不是对于不是“若若p,p,则则q”q”形式的命题形式的命题, ,需先改写需先改写. .(2)(2)当命题有大前提时当命题有大前提时, ,写其他三种命题时需保留大前提写其他三种命题时需保留大前提. .3.“p3.“p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件”与与“p p的充分不必要条件是的充分不必要条件是q”q”表达的意表达的意义相同吗义相同吗? ?数学数学知识梳理知识梳理 1.1.命题命题用语言、符号或式子表达的用语言、符号或式子表达的, ,可以可

3、以 的陈述句叫做命题的陈述句叫做命题. .其中其中 的语句叫做真命题的语句叫做真命题, , 的语句叫做假命题的语句叫做假命题. .2.2.四种命题及其关系四种命题及其关系(1)(1)四种命题间的逆否关系四种命题间的逆否关系判断真假判断真假判断为真判断为真 判断为假判断为假(2)(2)四种命题的真假关系四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题两个命题互为逆否命题, ,它们有它们有 的真假性的真假性; ;两个命题互为逆命题或互为否命题两个命题互为逆命题或互为否命题, ,它们的真假性它们的真假性 确定的关系确定的关系. .相同相同没有没有数学数学充分充分必要必要充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分

4、充要充要既不充分也不必要既不充分也不必要(2)(2)集合与充要条件集合与充要条件p p成立的对象构成的集合为成立的对象构成的集合为A,qA,q成立的对象构成的集合为成立的对象构成的集合为B Bp p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件A A是是B B的真子集的真子集p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件B B是是A A的真子集的真子集p p是是q q的充要条件的充要条件A=BA=Bp p是是q q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件A,BA,B互不包含互不包含数学数学【重要结论【重要结论】 1.1.四种命题中的等价关系四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题原命题等价于

5、逆否命题, ,否命题等价于逆命题否命题等价于逆命题, ,所以在命题不容易证明时所以在命题不容易证明时, ,往往找等价命题进行证明往往找等价命题进行证明. .2.2.等价转化法判断充分条件、必要条件等价转化法判断充分条件、必要条件p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件, ,等价于等价于q q是是p p的充分不必要条件的充分不必要条件. .其他情况以其他情况以此类推此类推. .数学数学夯基自测夯基自测1.1.给出命题给出命题:“:“若实数若实数x,yx,y满足满足x x2 2+y+y2 2=0,=0,则则x=y=0”,x=y=0”,在它的逆命题、否命在它的逆命题、否命题、逆否命题中题、逆

6、否命题中, ,真命题的个数是真命题的个数是( ( ) )(A)0(A)0个个 (B)1(B)1个个 (C)2(C)2个个 (D)3(D)3个个解析解析: :原原命题显然正确命题显然正确, ,其逆命题为其逆命题为: :若若x=y=0,x=y=0,则则x x2 2+y+y2 2=0,=0,显然也是真命题显然也是真命题, ,由四种命题之间的关系知由四种命题之间的关系知, ,其否命题、逆否命题也都是真命题其否命题、逆否命题也都是真命题. .故选故选D.D.D D数学数学2.(20152.(2015高考山东卷高考山东卷) )设设mmR R, ,命题命题“若若m0,m0,则方程则方程x x2 2+x-m=

7、0+x-m=0有实根有实根”的的逆否命题是逆否命题是( ( ) )(A)(A)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有实根有实根, ,则则m0m0(B)(B)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0有实根有实根, ,则则m0m0(C)(C)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0没有实根没有实根, ,则则m0m0(D)(D)若方程若方程x x2 2+x-m=0+x-m=0没有实根没有实根, ,则则m0m0解析解析: :由原命题和逆否命题的关系可知由原命题和逆否命题的关系可知D D正确正确. .D D数学数学C C 数学数学A A4.(20154.(2015高考重庆卷高

8、考重庆卷) ) “x=1 “x=1”是是“x x2 2-2x+1=0-2x+1=0”的的( ( ) )(A)(A)充要条件充要条件 (B)(B)充分而不必要条件充分而不必要条件(C)(C)必要而不充分条件必要而不充分条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析: :由由x x2 2-2x+1=0,-2x+1=0,解得解得x=1,x=1,所以所以“x=1”x=1”是是“x x2 2-2x+1=0”-2x+1=0”的充要条件的充要条件, ,故选故选A.A.数学数学5.5.若若“mama”是是“方程方程x x2 2+x+m=0+x+m=0有实数根有实数根”的必要不充分条件的必要

9、不充分条件, ,则实则实数数a a的取值范围是的取值范围是.数学数学考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 四种命题及真假判断四种命题及真假判断数学数学反思归纳反思归纳 (1)(1)四种命题的书写时四种命题的书写时, ,要注意词语的否定形式要注意词语的否定形式, ,如如“都是都是”的的否定应为否定应为“不都是不都是”,“”,“大于大于”的否定为的否定为“不大于不大于”等等. .(2)(2)命题真假的判断方法命题真假的判断方法联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. .利用原命题与逆否命题利用原命题与逆否命题,

10、 ,逆命题与否命题的等价关系进行判断逆命题与否命题的等价关系进行判断. .数学数学解析解析: :f(xf(x)=e)=ex x-m,-m,由由f(xf(x) )在在(0,+)(0,+)上是增函数知上是增函数知f(x)0,f(x)0,即即memex x在在x(0,+)x(0,+)上恒成立上恒成立, ,又又e ex x1,1,从而从而m1,m1,则原命题是真命题则原命题是真命题. .对于对于A,A,否命题写错否命题写错, ,故选项故选项A A错错; ;对于对于B,B,逆命题写对逆命题写对, ,但逆命题是真命题但逆命题是真命题, ,故选项故选项B B错错; ;对于对于C,C,逆否命题写错逆否命题写错

11、, ,故选项故选项C C错错; ;对于对于D,D,逆否命题写对逆否命题写对, ,且为真命题且为真命题. .故选故选D.D.数学数学考点二考点二充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断【例【例2 2】 (1)(2015(1)(2015高考北京卷高考北京卷) ) 设设,是两个不同的平面是两个不同的平面,m,m是直线且是直线且m m,“m,“m ” ”是是“ ” ”的的( () )(A)(A)充分而不必要条件充分而不必要条件(B)(B)必要而不充分条件必要而不充分条件(C)(C)充分必要条件充分必要条件(D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件(2)(2015(2)(2015高考天

12、津卷高考天津卷) )设设xxR R, ,则则“|x-2|1”|x-2|0”+x-20”的的( () )(A)(A)充分而不必要条件充分而不必要条件 (B)(B)必要而不充分条件必要而不充分条件(C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析: : (1) (1)由由m m,m,m不能推出不能推出, ,反之反之, ,由由,m,m能推出能推出mm. .故选故选B.B.数学数学反思归纳反思归纳 (1) (1)在求解这类问题时应注意以下三点在求解这类问题时应注意以下三点: :一要分清条件与一要分清条件与结论分别是什么结论分别是什么; ;二要从充分性、必要性两个

13、方面进行判断二要从充分性、必要性两个方面进行判断; ;三直接三直接判断比较困难时判断比较困难时, ,可举出反例说明可举出反例说明. .(2)(2)判断充分、必要条件的两个常用方法判断充分、必要条件的两个常用方法: :一是定义法一是定义法, ,判断判断p p是是q q的什的什么条件么条件, ,实际上就是判断实际上就是判断p pq q或或q qp p是否成立是否成立. .二是集合法二是集合法, ,把条件和把条件和结论转化为集合结论转化为集合, ,借助集合关系进行判定借助集合关系进行判定. .数学数学【即时训练】【即时训练】 (1)(2016(1)(2016沈阳高三模拟沈阳高三模拟) )设设xxR

14、R, ,则则“x=2”x=2”是是“复数复数(x(x2 2- -4)+4)+(x+2)i(x+2)i为纯虚数为纯虚数”的的( () )(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件(B)(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充分必要条件充分必要条件(D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件数学数学(2)(2016(2)(2016江西上饶模拟江西上饶模拟) )已知直线已知直线l l1 1:ax+y=1:ax+y=1和直线和直线l l2 2:9x+ay=1,:9x+ay=1,则则“a+3=0”a+3=0”是是“l l1 1ll2 2”的的( () )(A)(A)充要条件充要条件 (B)

15、(B)必要不充分条件必要不充分条件(C)(C)充分不必要条件充分不必要条件(D)(D)既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件数学数学充分条件、必要条件的探求与应用充分条件、必要条件的探求与应用考点三考点三 【例【例3 3】 (1)(2015(1)(2015龙岩模拟龙岩模拟) )命题命题“对任意对任意x1,2),xx1,2),x2 2-a0”-a0”为真命题为真命题的一个充分不必要条件可以是的一个充分不必要条件可以是( () )(A)a4(A)a4(B)a4(B)a4 (C)a1(C)a1(D)a1(D)a1(2)(2)设命题设命题p:p:实数实数x x满足满足x x2 2-4ax+3a-4a

16、x+3a2 20,0,其中其中a0;a0,80,且且q q是是p p的必要不充分条件的必要不充分条件, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是.解析解析: :(1)(1)由题意知由题意知axax2 2对对x1,2)x1,2)恒成立恒成立, ,当当x1,2)x1,2)时时,1x,1x2 24,4a4是命题为真命题的一个充分不必要条件是命题为真命题的一个充分不必要条件. .答案答案: :(1)B(1)B(2)(-,-4(2)(-,-4数学数学反思归纳反思归纳 充分条件、必要条件的应用充分条件、必要条件的应用, ,一般表现在参数问题的一般表现在参数问题的求解上求解上. .解题时需注意解题时需注

17、意: :(1)(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系, ,然后然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式根据集合之间的关系列出关于参数的不等式( (或不等式组或不等式组) )求解求解. .(2)(2)要注意区间端点值的检验要注意区间端点值的检验. .数学数学解析解析: :(1)ab+1(1)ab+1ab;ab;反之反之, ,例如例如a=2,b=1a=2,b=1满足满足ab,ab,但但a=b+1a=b+1即即abab推不出推不出ab+1,ab+1,故故ab+1ab+1是是abab成成立的充分而不必要条件立的充分而不必要条件. .

18、故选故选A.A.数学数学备选例题备选例题 数学数学【例【例2 2】 若若xm-1xm+1xm+1是是x x2 2-2x-30-2x-30的必要不充分条件的必要不充分条件, ,则实数则实数m m的取的取值范围是值范围是.答案答案: : 0,2 0,2数学数学【例【例3 3】 已知集合已知集合M=x|xM=x|x-35,P=x|(x-a)(x-8)0.x5,P=x|(x-a)(x-8)0.(1)(1)求实数求实数a a的取值范围的取值范围, ,使它成为使它成为MP=x|5x8MP=x|5x8的充要条件的充要条件; ;(2)(2)求实数求实数a a的一个值的一个值, ,使它成为使它成为MP=x|5x

19、8MP=x|5x8的一个充分不必要条件的一个充分不必要条件. .解解: :(1)(1)由由MP=x|5x8,MP=x|5x8,结合集合结合集合M,PM,P可得可得-3a5.-3a5.故故-3a5-3a5是是MP=x|5x8MP=x|5x8的必要条件的必要条件. .下面证明这个条件也是充分的下面证明这个条件也是充分的. .证明证明: :当当-3a5-3a5时时, ,集合集合P=x|ax8,P=x|ax8,集合集合M=x|xM=x|x-35,x5,故故MP=x|5x8.MP=x|5x8.综上可知综上可知,-3a5,-3a5是是MP=x|5x8MP=x|5x8的充要条件的充要条件. .(2)(2)求实数求实数a a的一个值的一个值, ,使它成为使它成为MP=x|5x8MP=x|5x8的一个充分不必要条件的一个充分不必要条件, ,就就是在集合是在集合a|-3a5a|-3a5中取一个值中取一个值, ,如取如取a=0,a=0,此时必有此时必有MP=x|5x8;MP=x|5x8;反反之之,MP=x|5x8,MP=x|5x8未必有未必有a=0,a=0,故故a=0a=0是