线性代数问题求解

1、第四章 线性代数问题求解 矩阵 线性方程组的直接解法 线性方程组的迭代法 线性方程组的符号解法 稀疏矩阵技术 特征值与特征向量4.1 矩阵4.1.1特殊矩阵的输入 数值矩阵的输入零矩阵、幺矩阵及单位矩阵 生成nn方阵： A=zeros(n), B=ones(n), C=eye(n) 生成mn矩阵： A=zeros(m,n), B=ones(m,n), C=eye(m,n) 生成和矩阵B同样位数的矩阵： A=zeros(size(B) 随机元素矩阵若矩阵随机元素满足0,1区间上的均匀分布 生成nm阶标准均匀分布为随机数矩阵： A=rand(n,m) 生成nn阶标准均匀分布为随机数方阵： A=ra

2、nd(n)对角元素矩阵 已知向量生成对角矩阵： A=diag(V) 已知矩阵提取对角元素列向量： Vdiag(A) 生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵： A=diag(V,k) 例：diag( )函数的不同调用格式 C=1 2 3; V=diag(C) % 生成对角矩阵V = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 V1=diag(V) % 将列向量通过转置变换成行向量V1 = 1 2 3 C=1 2 3; V=diag(C,2) % 主对角线上第 k条对角线为C的矩阵V = 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0生成三对角矩阵: V=

3、diag(1 2 3 4)+diag(2 3 4,1)+diag(5 4 3,-1)V = 1 2 0 0 5 2 3 0 0 4 3 4 0 0 3 4Hilbert矩阵及逆Hilbert矩阵 生成n阶的Hilbert矩阵： A=hilb(n) 求取逆Hilbert矩阵： B=invhilb(n)Hankel(汉克 ) 矩阵 其中：第一列的各个元素定义为C向量，最后一行各个元素定义为R。H为对称阵。 H1=hankel(C) 由 Hankel 矩阵反对角线上元素相等得出一下三角阵均为零的Hankel 矩阵Vandermonde(范德蒙)矩阵 伴随矩阵其中：P(s)为首项系数为一的多向式。 符

4、号矩阵的输入 数值矩阵A转换成符号矩阵： B=sym(A)例： A=hilb(3)A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 B=sym(A)B = 1, 1/2, 1/3 1/2, 1/3, 1/4 1/3, 1/4, 1/54.1.2 矩阵基本概念与性质 行列式 格式 ：d=det(A)例：求行列式 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; det(A)ans = 0 例： tic, A=sym(hilb(20); det(A), toc ans = 1

5、/2377454716768534509091644243427616440175419837753486493033185331234419759310644585187585766816573773440565759867265558971765638419710793303386582324149811241023554489166154717809635257797836800000000000000000000000000000000000elapsed_time = 2.3140高阶的Hilbert矩阵是接近奇异的矩阵。 矩阵的迹 格式： t=trace(A) 矩阵的秩格式：r=r

6、ank(A) 用默认的精度求数值秩 r=rank(A， ) 给定精度下求数值秩 矩阵的秩也表示该矩阵中行列式不等于0的子式的最大阶次。可证行秩和列秩（线性无关的）应相等。 例 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; rank(A)ans = 3该矩阵的秩为3，小于矩阵的阶次，故为非满秩矩阵。 例 H=hilb(20); rank(H) 数值方法ans = 13 H=sym(hilb(20); rank(H) % 解析方法，原矩阵为非奇异矩阵ans = 20 矩阵范数 矩阵的范数定义：格式： N=norm(A) 求解默认的2范数 N=norm(A

7、，选项) 选项可为1,2,inf等 例：求一向量、矩阵的范数 a=16 2 3 13; norm(a), norm(a,2), norm(a,1), norm(a,Inf)ans = 2.092844953645635e+001 2.092844953645635e+001 3.400000000000000e+001 1.600000000000000e+001 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; norm(A), norm(A,2), norm(A,1), norm(A,Inf)ans = 34 34 34 34 符号运算工具箱未提供n

8、orm( )函数，需先用double( )函数转换成双精度数值矩阵，再调用norm( )函数。 特征多项式格式： C=poly(A)例： A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; poly(A) 直接求取ans =1.000000000000000e+000 -3.399999999999999e+001 -7.999999999999986e+001 2.719999999999999e+003 -2.819840539024018e-012 A=sym(A); poly(A) 运用符号工具箱 ans = x4-34*x3-80*x2+2720

9、*x 矩阵多项式的求解 符号多项式与数值多项式的转换格式： f=poly2sym(P) 或 f=poly2sym(P,x) 格式： P=sym2poly(f) 例： P=1 2 3 4 5 6; % 先由系数按降幂顺序排列表示多项式 f=poly2sym(P,v) % 以 v 为算子表示多项式 f = v5+2*v4+3*v3+4*v2+5*v+6 P=sym2poly(f)P = 1 2 3 4 5 6 矩阵的逆矩阵格式： C=inv(A)例： format long; H=hilb(4); H1=inv(H)H1 = 1.0e+003 * 0.01600000000000 -0.11999

10、999999999 0.23999999999998 -0.13999999999999 -0.11999999999999 1.19999999999990 -2.69999999999976 1.67999999999984 0.23999999999998 -2.69999999999976 6.47999999999940 -4.19999999999961 -0.13999999999999 1.67999999999984 -4.19999999999961 2.79999999999974检验： H*H1ans = 1.00000000000001 0.0000000000002

11、3 -0.00000000000045 0.00000000000023 0.00000000000001 1.00000000000011 -0.00000000000011 0.00000000000011 0.00000000000001 0 1.00000000000011 0 0.00000000000000 0.00000000000011 -0.00000000000011 1.00000000000011计算误差范数： norm(H*inv(H)-eye(size(H)ans = 6.235798190375727e-013 H2=invhilb(4); norm(H*H2-e

12、ye(size(H)ans = 5.684341886080802e-014 H=hilb(10); H1=inv(H); norm(H*H1-eye(size(H)ans = 0.00264500826202 H2=invhilb(10); norm(H*H2-eye(size(H)ans = 1.612897415528547e-005 H=hilb(13); H1=inv(H); norm(H*H1-eye(size(H)Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCO

13、ND = 2.339949e-018.ans = 53.23696008570294 H2=invhilb(13); norm(H*H2-eye(size(H)ans = 11.37062973181391对接近于奇异矩阵，高阶一般不建议用inv( )，可用符号工具箱。 H=sym(hilb(7); inv(H) ans = 49, -1176, 8820, -29400, 48510, -38808, 12012-1176, 37632, -317520, 1128960, -1940400, 1596672, -5045048820, -317520, 2857680, -10584000

14、, 18711000, -15717240, 5045040-29400, 1128960, -10584000, 40320000, -72765000, 62092800, -2018016048510, -1940400, 18711000, -72765000, 133402500, -115259760, 37837800-38808, 1596672, -15717240, 62092800, -115259760, 100590336, -3329726412012, -504504, 5045040, -20180160, 37837800, -33297264, 110990

15、88 H=sym(hilb(30); norm(double(H*inv(H)-eye(size(H)ans = 0 例：奇异阵求逆 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; format long; B = inv(A)Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.306145e-017.B = 1.0e+014 * 0.93824992236885 2.81474976710656 -2.8147497671

16、0656 -0.93824992236885 2.81474976710656 8.44424930131968 -8.44424930131968 -2.81474976710656 -2.81474976710656 -8.44424930131968 8.44424930131968 2.81474976710656 -0.93824992236885 -2.81474976710656 2.81474976710656 0.93824992236885 norm(A*B-eye(size(A) 检验ans = 1.64081513306419 A=sym(A); inv(A) 奇异矩阵

17、不存在一个相应的逆矩阵，用符号工具箱的函数也不行? Error using = sym/invError, (in inverse) singular matrix同样适用于含有变量的矩阵求逆。例： syms a1 a2 a3 a4; C=a1 a2;a3 a4； inv(C) ans = -a4/(-a1*a4+a2*a3), a2/(-a1*a4+a2*a3) a3/(-a1*a4+a2*a3), -a1/(-a1*a4+a2*a3) 矩阵的相似变换与正交矩阵 其中：A为一方阵，B矩阵非奇异。 相似变换后，X矩阵的秩、迹、行列式与特征值等均不发生变化，其值与A矩阵完全一致。 对于一类特殊的

18、相似变换满足如下条件，称为正交基矩阵。例： A=5,9,8,3; 0,3,2,4; 2,3,5,9; 3,4,5,8; Q=orth(A)Q = -0.6197 0.7738 -0.0262 -0.1286 -0.2548 -0.1551 0.9490 0.1017 -0.5198 -0.5298 -0.1563 -0.6517 -0.5300 -0.3106 -0.2725 0.7406 norm(Q*Q-eye(4)ans = 4.6395e-016 norm(Q*Q-eye(4)ans = 4.9270e-016例： A=16,2,3,13; 5,11,10,8; 9,7,6,12; 4

19、,14,15,1; Q=orth(A) A为奇异矩阵，故得出的Q为长方形矩阵Q = -0.5000 0.6708 0.5000 -0.5000 -0.2236 -0.5000 -0.5000 0.2236 -0.5000 -0.5000 -0.6708 0.5000 norm(Q*Q-eye(3)ans = 1.0140e-0154.2 线性方程组直接解法4.2.1线性方程组直接求解矩阵除法 关于线性方程组的直接解法，如Gauss消去法、选主元消去法、平方根法、追赶法等等，在MATLAB中，只需用“”或“”就解决问题。它内部实际包含着许许多多的自适应算法，如对超定方程用最小二乘法，对欠定方程时

20、它将给出范数最小的一个解，解三对角阵方程组时用追赶法等等。 格式： x=Ab 例：解方程组 A=.4096,.1234,.3678,.2943;.2246,.3872,.4015,.1129;.3645,.1920,.3781,.0643;.1784,.4002,.2786,.3927; b=0.4043 0.1550 0.4240 -0.2557; x=Ab; xans = -0.1819 -1.6630 2.2172 -0.446712341234123412340.40960.12340.36780.29430.40430.22460.38720.40150.11290.11500.36

21、450.19200.37810.06430.42400.17840.40020.27860.39270.2557xxxxxxxxxxxxxxxx4.2.2线性方程组直接求解判定求解 例： A=1 2 3 4; 4 3 2 1; 1 3 2 4; 4 1 3 2; B=5 1; 4 2; 3 3; 2 4; C=A B; rank(A), rank(C)ans = 4ans = 4 x=inv(A)*Bx = -1.8000 2.4000 1.8667 -1.2667 3.8667 -3.2667 -2.1333 2.7333检验 norm(A*x-B)ans = 7.4738e-015精确解

22、x1=inv(sym(A)*B x1 = -9/5, 12/5 28/15, -19/15 58/15, -49/15 -32/15, 41/15检验 norm(double(A*x1-B)ans = 0原方程组对应的齐次方程组的解求取A矩阵的化零矩阵： 格式： Z=null(A)求取A矩阵的化零矩阵的规范形式： 格式： Z=null(A, r ) 例：判断可解性 A=1 2 3 4; 2 2 1 1; 2 4 6 8; 4 4 2 2; B=1;3;2;6; C=A B; rank(A), rank(C)ans = 2 2 Z=null(A,r) % 解出规范化的化零空间Z = 2.0000

23、 3.0000 -2.5000 -3.5000 1.0000 0 0 1.0000123344232.53.51001xxxxxx x0=pinv(A)*B % 得出一个特解x0 = 0.9542 0.7328 %全部解 -0.0763 -0.2977验证得出的解 a1=randn(1); a2=rand(1); % 取不同分布的随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0; norm(A*x-B)ans = 4.4409e-015121234230.95422.53.50.732810-0.076301-0.2977xxaaxx 解析解 Z=null(sym(A)Z = 2, 3

24、 -5/2, -7/2 1, 0 0, 1 x0=sym(pinv(A)*B)x0 = 125/131 96/131 -10/131 -39/131 验证得出的解 a1=randn(1); a2=rand(1); % 取不同分布的随机数 x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0; norm(double(A*x-B)ans = 0 通解 syms a1 a2; x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0 x = 2*a1+3*a2+125/131 -5/2*a1-7/2*a2+96/131 a1-10/131 a2-39/131 摩尔彭罗斯广义逆求解出的方程最小二乘解不满足原始代

25、数方程。4.2.3 线性方程组的直接求解分析 LU分解 格式 l,u,p=lu(A) L是一个单位下三角矩阵，u是一个上三角矩阵， p是代表选主元的置换矩阵。故：Ax=y = PAx=Py = LUx=Py = PA=LU l,u=lu(A)其中l等于P-1 L，u等于U，所以(P-1 L)U=A 例：对A进行LU分解 A=1 2 3; 2 4 1; 4 6 7; l,u,p=lu(A)l = 1.0000 0 0 0.5000 1.0000 0 0.2500 0.5000 1.0000u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000p

26、= 0 0 1 0 1 0 1 0 0123241467A l,u=lu(A) lP-1 Ll = 0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000 QR分解 将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。 求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。 格式： Q,R = qr(A) 例： A = 1 2 3;4 5 6; 7 8 9; 10 11 12; Q,R = qr(A)Q = -0.0776 -0.8331 0.5456 -0.

27、0478 -0.3105 -0.4512 -0.6919 0.4704 -0.5433 -0.0694 -0.2531 -0.7975 -0.7762 0.3124 0.3994 0.3748R = -12.8841 -14.5916 -16.2992 0 -1.0413 -2.0826 0 0 -0.0000 0 0 0 Cholesky(乔里斯基 )分解 若矩阵A为 n阶对称正定阵,则存在唯一的对角元素为正的三角阵D，使得 格式： D=chol(A)例：进行Cholesky分解。 A=16 4 8; 4 5 -4; 8 -4 22; D=chol(A)D = 4 1 2 0 2 -3 0

28、0 316484548422A利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 （1）LU分解： A*X=b 变成 L*U*X=b所以 X=U(Lb) 这样可以大大提高运算速度。例：求方程组 的一个特解。解： A=4 2 -1;3 -1 2;11 3 0; B=2 10 8; D=det(A)D = 0123123124x2xx23xx2x1011x3x8 L,U=lu(A)L = 0.3636 -0.5000 1.0000 0.2727 1.0000 0 1.0000 0 0U = 11.0000 3.0000 0 0 -1.8182 2.0000 0 0 0.0000 X=U(LB)

29、Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.018587e-017.X = 1.0e+016 * % 结果中的警告是由于系数行列式为零产生的。 -0.4053 % 可以通过A*X验证其正确性。 1.4862 1.3511 A*Xans = 0 8 8（2）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，方程 A*X=b 变成 R*R*X=b所以 X=R(Rb) （3）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可

30、以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR方程 A*X=b 变形成 QRX=b所以 X=R(Qb) 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。 三个变换 在线性方程组的迭代求解中，要用到系数矩阵A的上三角矩阵、对角阵和下三角矩阵。此三个变换在MATLAB中可由以下函数实现。 上三角变换： 格式 triu(A,1) 对角变换： 格式 diag(A) 下三角变换： 格式 tril(A,-1)例：对此矩阵做三种变换。122111221A A=1 2 -2;1 1 1;2 2 1; triu(A,1)ans = 0 2 -2

31、 0 0 1 0 0 0 tril(A,-1)ans = 0 0 0 1 0 0 2 2 0 b=diag(A); bans = 1 1 1122111221A4.3 迭代解法的几种形式5.3.1 Jacobi迭代法 方程组 Ax=b A可写成 A=D-L-U 其中:D=diaga11,a22,ann, -L、-U分别为A的严格下、上三角部分（不包括对角线元素）. 由 Ax=b x=Bx+f 由此可构造迭代法： x(k+1)=Bx(k)+f 其中：B=D-1(L+U)=I-D-1A, f=D-1b.function y=jacobi(a,b,x0)D=diag(diag(a); U=-triu

32、(a,1); L=-tril(a,-1);B=D(L+U); f=Db;y=B*x0+f;n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y; y=B*x0+f; n=n+1;endn 例：用Jacobi方法求解，设x(0)=0,精度为10-6。 a=10 -1 0; -1 10 -2; 0 -2 10; b=9; 7; 6; jacobi(a,b,0;0;0)n = 11ans = 0.9958 0.9579 0.7916121232310910272106xxxxxxx4.3.2 Gauss-Seidel迭代法由原方程构造迭代方程 x(k+1)=G x(k)+f其中：G=(D

33、-L)-1 U, f=(D-L)-1 b D=diaga11,a22,ann, -L、-U分别为A的严格下、上三角部分（不包括对角线元素）.function y=seidel(a,b,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G=(D-L)U ;f=(D-L)b;y=G*x0+f; n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y; y=G*x0+f; n=n+1;endn 例：对上例用Gauss-Seidel迭代法求解 a=10 -1 0; -1 10 -2; 0 -2 10; b=9; 7; 6; seidel(a,b,0;0

34、;0)n = 7ans = 0.9958 0.9579 0.7916例：分别用Jacobi和G-S法迭代求解,看是否收敛。123122911172216xxx a=1 2 -2; 1 1 1; 2 2 1; b=9; 7; 6; jacobi(a,b,0;0;0)n = 4ans = -27 26 8 seidel(a,b,0;0;0)n = 1011ans = 1.0e+305 * -Inf Inf -1.75564.3.3 SOR迭代法 在很多情况下，J法和G-S法收敛较慢，所以考虑对G-S法进行改进。于是引入一种新的迭代法逐次超松弛迭代法（Succesise Over-Relaxatio

35、n),记为SQR法。 迭代公式为： X(k+1)= (D-wL)-1(1-w)D+wU)x(k) + w(D-wL)-1 b 其中：w最佳值在1, 2）之间，不易计算得到，因此 w通常有经验给出。function y=sor(a,b,w,x0)D=diag(diag(a);U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);M=(D-w*L)(1-w)*D+w*U); f=(D-w*L)b*w;y=M*x0+f; n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y; y=M*x0+f; n=n+1;endn例：上例中，当w=1.103时，用SOR法求解原方程。 a=10 -1

36、0; -1 10 -2; 0 -2 10; b=9; 7; 6; sor(a,b,1.103,0;0;0)n = 8ans = 0.9958 0.9579 0.79164.3.4 两步迭代法 当线性方程系数矩阵为对称正定时，可用一种特殊的迭代法来解决，其迭代公式为： （D-L）x(k+1/2) =U x(k) +b （D-U）x(k+1)=Lx(k+1/2) +b= x(k+1/2) =(D-L)-1 U x(k) + (D-L)-1 b x(k+1)= (D-U)-1 Lx(k+1/2) + (D-U)-1 bfunction y=twostp(a,b,x0)D=diag(diag(a);U

37、=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G1=(D-L)U; f1=(D-L)b;G2=(D-U)L; f1=(D-U)b;y=G1*x0+f1; y=G2*y+f2; n=1;while norm(y-x0)=1.0e-6 x0=y; y=G1*x0+f1; y=G2*y+f2; n=n+1;endn 例：求解方程组 a=10 -1 2 0; -1 11 -1 3; 2 -1 10 3; 0 3 -1 8; b=6; 25; -11; 15; twostp(a, b, 0; 0; 0; 0)n = 7ans = 1.0791 1.9824 -1.4044 0.9560123410

38、120611113252110111031815xxxx4.4 线性方程组的符号解法 在MATLAB的Symbolic Toolbox中提供了线性方程的符号求解函数，如 linsolve(A,b) 等同于 X = sym(A)sym(b). solve(eqn1,eqn2,.,eqnN,var1,var2,.,varN ) 例： A=sym(10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10)； b=(9; 7; 6)； linsolve(A,b)ans = 473/475 91/95 376/475 vpa(ans)ans = .99578947368421052631578947368421

39、 .95789473684210526315789473684211 .79157894736842105263157894736842例： x,y = solve(x2 + x*y + y = 3,x2 - 4*x + 3 = 0,x,y) x = 1 3 y = 1 -3/2 4.5 稀疏矩阵技术 稀疏矩阵的建立： 格式 S=sparse(i,j,s,m,n)生成一mxn阶的稀疏矩阵，以向量i和j为坐标的位置上对应元素值为s。 例： n=5; a1=sparse(1:n, 1:n, 4*ones(1,n), n, n)a1 = (1,1) 4 (2,2) 4 (3,3) 4 (4,4) 4

40、 (5,5) 4 例： a2=sparse(2:n, 1:n-1,ones(1,n-1),n,n)a2 = (2,1) 1 (3,2) 1 (4,3) 1 (5,4) 1 full(a2)ans = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 例：n=5,建立主对角线上元素为4，两条次对角线为1的三对角阵。 n=5; a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n); a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n); a=a1+a2+a2a = (1,1) 4 (2,1) 1 (1,2) 1

41、(2,2) 4 (3,2) 1 (2,3) 1 (3,3) 4 (4,3) 1 (3,4) 1 (4,4) 4 (5,4) 1 (4,5) 1 (5,5) 4 full(a)ans = 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 格式 A=spdiags(B,d,m,n) 生成一mxn阶的稀疏矩阵，使得B的列放在由d指定的位置。 例： n=5 b=spdiags(ones(n,1),4*ones(n,1),ones(n,1),-1,0,1,n,n); full(b)ans = 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0

42、 0 1 4 1 0 0 0 1 4 格式： spconvert(dd) 对于无规律的稀疏矩阵，可使用此命令由外部数据转化为稀疏矩阵。 调用形式为：先用load函数加载以行表示对应位置和元素值的.dat文本文件，再用此命令转化为稀疏矩阵。 例：无规律稀疏矩阵的建立。首先编制文本文件sp.dat如下：5 1 5.003 5 8.004 4 2.005 5 0 load sp.dat spconvert(sp)ans = (5,1) 5 (4,4) 2 (3,5) 8 full(ans)ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 2 0 5 0 0 0 0 稀疏矩阵的计算： 同满矩阵比较，稀疏矩阵在算法上有很大的不同。具体表现在存储空间减少，计算时间减少。例：比较求解下面方程组n1000时两种方法的差别。124111411141nxxx n=1000; a1=sparse(1:n,1:n,4*ones(1,n),n,n); a2=sparse(2:n,1:n-1,ones(1,n-1),n,n); a=a1+a2+a2; b=ones(1000,1); t