第三章离散傅里叶变换

1、第3章 离散傅里叶变换3.1 有限长序列的傅里叶分析有限长序列的傅里叶分析一、四种信号傅里叶表示一、四种信号傅里叶表示1. 周期为周期为T0的连续时间周期信号的连续时间周期信号ntnenXtx0j0)()(dtetxTnXtnT00j00)(1)(频谱特点： 离散非周期谱2. 连续时间非周期信号连续时间非周期信号deXtxt j)j (21)(dtetxXt j)()j (频谱特点： 连续非周期谱3. 离散非周期信号离散非周期信号deeXeXkxk jjj)(21)(IDTFTkkekxkxeXj -jDTFT)(频谱特点： 周期为2的连续谱4. 周期为N 的离散周期信号mkNNmmkNNmW

2、mXNemXNmXkx102j1011IDFSkmNNkmkNNkWkxekxkxmX102j -10DFS频谱特点：周期为N的离散谱2jNNWe2j()nnnNNNWWe为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。一个周期为N的周期序列，即 ， k为任意整数，N为周期周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。 )()(kNnxnx3.2 离散傅里叶级数（DFS）nNjene/21)(knNjken

3、e/2)(周期为N的正弦序列其基频成分为： K次谐波序列为：knNjnNkNjee/2)(/2 但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处， 即 因此 )()(nenekNk 将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数， 利用正弦序列的周期性可求解系数 。将上式两边乘以 ，并对一个周期求和 10/2)(1)(NKknNjekXNnx)(kXrnNje)/2(1010)(2101010)(22)(1)(1)(NkNnnrkNjNnNnNknrkNjrnNjekXNekXNen

4、x111)(10/)(2)(2NkNrkjrkjeeNkXrksNrkeNNnnrkNj01110)(2(上式中 部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有 或写为 1) 可求 N 次谐波的系数 2） 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3） 为周期序列，周期为N。)()(102rXenxNnrnNj10)()(102NkenxkXNnknNj)(kX)(kX)(kX)()()()(10/210)(/2kXenxenxmNkXNnknNjNnnmNkNj时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。 是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种

5、对称关系可表为： 习惯上：记 ， )()(nxkX10/2)()()(NnknNjenxnxDFSkX10/2)(1)()(NnnkNjekXNkXIDFSnxNjNeW/2 DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。1010)()(1)()()()(NkknNNnknNkXIDFSWkXNnxnxDFSWnxkX则DFS变换对可写为DFS 离散傅里叶级数变换IDFS离散傅里叶级数反变换。D3.3 DFS的性质

6、的性质 假设 都是周期为 N 的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为： 1）线性）线性 a,b为任意常数)()(nynx、)()()()(nyDFSkYnxDFSkX)()()()(kYbkXanybnxaDFS 2）序列移位）序列移位 证因为 及 都是以N为周期的函数，所以有 )()()()(nxwlkXIDFSkXwmnxDFSnlNmkN)(nxknNw101)()()(NnmNmikmNkiNknNwwixwmnxmnxDFS)()()(101kXwwixwwixwmkNNikiNmkNmNmikiNmkN时移频移由于 与 对称的特点，同样可证明)(nx)(kX)()(nxwlkXID

7、FSnlN 3）共轭对称性共轭对称性 对于复序列 其共轭序列 满足 nx nx* kXnx*DFS kXWnxWnxnxNnnkNNnnkN*10*10*)()(DFS证证: kXnx*DFS同理同理:进一步可得 )()(21DFS21ReDFS*kNXkXnxnxnx )()(21ReDFS*ekNXkXkXnx共轭偶对称分量 )()(21ImDFS*okNXkXkXnxj共轭奇对称分量 4）周期卷积）周期卷积若 则 或 )()()(kYkXkF10)()()()(NmmnymxkFIDFSnf10)()(Nmmnxmy 周 期 卷 积证： 这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于

8、，这里的卷积过程只限于一个周期内（即 m=0N-1），称为周期卷积。例： 、 ，周期为 N=7, 宽度分别为 4 和 3 ，求周期卷积。 结果仍为周期序列，周期为 N 。10)()(1)()()(NkknNwkYkXNkYkXIDFSnf1010)()(1NkNmnkNmkNwkYwmxN101010)()()()(1)(NmNmNkkmnNmnymxwkYNmx)(nx)(ny)()()(nynxnf1010)()(1)()(1)()(NlNllYlkXNlkYlXNnfDFSkF 由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式，若 则 我们知道周期序列实际上只有有限

9、个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列 x(n)，长为N， 为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ，它由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成，它们的关系： nNnnxnx其余010)()()(nxnNnnxnxrNnxnxr其它010)()()()(3.4 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFT）周期序列的主值区间与主值序列： 对于周期序列 ，定义其第一个周期 n=0N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。x(n)与 的关系可描述为： 数学表示： RN（n）为矩形序列。符号（n）N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数

10、。)(nx)(nx)(nx)()()()(主值序列的是的周期延拓是nxnxnxnx)()()()()()()(nRnxnRnxnxnxnxNNNN有限长序列及其周期延拓 例： 是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。因此 )(nx6)2(68) 1(23)11(3811188nn)6()2(),3()11(xxxx频域上的主值区间与主值序列： 周期序列 的离散付氏级数 也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间 ，以及主值序列 X(k)。数学表示： )(nx)(kX10NkNNkXkXkRkXkX)()()()()(10( ) ( )( )01NknNnX kDFS

11、 x nx n WkN101( )( )( )01NknNnx nIDFS X kX k WnNN再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式： 这两个公式的求和都只限于主值区间（0N-1），它们完全适用于主值序列 x(n) 与 X(k) ，因而我们可得到一个新的定义有限长序列离散傅里叶变换定义。 长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为： x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ，同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) ，实际上 x(n) 与 X(k) 都是长

12、度为 N 的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。有限长序列隐含着周期性。10)(1)()(10)()()(1010NnWkXNkXIDFTnxNkWnxnxDFTkXNkknNNnknN 例 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT 设变换区间N=8， 则273880038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk设变换区间N=16， 则273880038( )( )sin()4,0,1,15sin()16jknknnNj kX kx n Wekekk1. 线性线性1212DFT DFT DFT ax nbx na

13、x nbx n需将较短序列补零后，再按长序列的点数做需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT2. 循环位移循环位移(Circular shift of a sequence) () NNy nx nmRn 循环位移定义为3.5 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质 xk, N=501234 )(Nkx-5 -4 -3 -2 -10123456789 )2(5kx-5 -4 -3 -2 -10123456789 55)2(Rkx0123415432k=0k=2k=1k=4k=3DFS mkNx nmWX kDFT ()= mkNx nmWX k nlNDFS Wx xX kl()( )(

14、 )nlNNNIDFT XklRkWx nDFT频域循环位移特性DFT时域循环位移特性3. 对称性对称性(symmetry)周期共轭对称(Periodic conjugate symmetry)定义为 周期共轭反对称(Periodic conjugate antisymmetry)定义为*)(*kNxkRkxkxNN*)(*kNxkRkxkxNN当序列xk为实序列时，周期偶对称序列满足kNxkx当序列xk为实序列时，周期奇对称序列满足kNxkx对称特性对称特性DFSmXkxDFSmXkx)(mXkRkxDFTNN)(DFTmRmXkxNN当xk是实序列时)(kRmXmXNN奇序列的DFT当序列

15、是奇对称时，即则其离散傅里叶变换也是奇对称，即 ( )x nx nx Nn ()X kXkX Nk 偶序列的DFT当序列是偶对称时，即则其离散傅里叶变换也是偶对称，即 ()x nxnx Nn ()X kXkX Nk共轭对称与共轭反对称序列示意图 4.循环卷积循环卷积 xk,N=401231234 hk01231 01231 01231 01231 01231 xk 4 hk01234123h(n)Nh(1n)Nh(2n)Nh(3n)N卷积定理卷积定理1212DFT N x nx nX k Xk12121DFT x n x nX kN XkN序列序列DFT与与z变换的关系变换的关系mNjezmN

16、jkNkezzkxzXmX22|)(10kmNNkekx2j -10 xk的 Xm等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样设序列设序列xk的长度为的长度为NkNkzkxzX)(10kmNNkWkxmX1011 , 0;)(2NmzXmXmNjezmXIDFTkx变换Z)(zXmNNmNWzmXNzzX1101)1 ()(内插公式)3.6 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积3.6.1 圆周卷积可以采用和线性卷积的关系 对于有限长序列，存在两种形式的卷积，即线性卷积和圆周卷积。由于时域圆周卷积在频域上相当与两序列DFT的相乘，因而可以采用快速傅里叶变换算法进行运算，它与线性卷积相比，计算速度可以大

17、大加快。可否利用DFT计算线性卷积？例：x1n=1,1,1, x 2n=1,1,0,1 , N=41212 , x nx nx nx nx2nx1n*x2n线性卷积的矩阵表示线性卷积的矩阵表示5432 1 0yyyyyy01 200001 20001 2001 201 0111111111111111xxxxxxxxxxxxxxx0032 1 02222xxxx1110001110011101111110010111222210 11n21nx30 11n22nx30 11n2)2(1kRkxNN30 11n2)3(1kRkxNN3x1(2-n)NRNnx1(3-n)NRNn12xnNxn循环

18、卷积的矩阵表示循环卷积的矩阵表示32 1 0yyyy0 1 2 3 30 1 22 30 1 1 2 301111111111111111xxxxxxxxxxxxxxxx32 1 02222xxxx1110011110111101101122320 11n2)(1nRnxNN30 11n2)1(1nRnxNN30 11n2)2(1kRkxNN30 11n2)3(1kRkxNN30 11n2)4(1kRkxNN3540 11n2)5(1kRkxNN3540 12k21321kxkx5412xnNxnx1(2-n)NRNnx1(3-n)NRNnx1(5-n)NRNnx1(4-n)NRNn循环卷积的矩阵表示循环卷积的矩阵表示5432 1 0yyyy