大学物理：第 06 章 振动力学基础

1、第第 6 章章 振动力学基础振动力学基础第第 6 章章 振动力学基础振动力学基础6.1 简谐振动动力学简谐振动动力学6.2 简谐振动运动学简谐振动运动学6.3 微振动的简谐近似微振动的简谐近似6.5 垂直简谐振动的合成垂直简谐振动的合成6.6 阻尼振动阻尼振动6.7 受迫振动受迫振动 共振共振6.4 平行简谐振动的合成平行简谐振动的合成 振动频谱振动频谱 振动是一种普遍存在的运动形式：振动是一种普遍存在的运动形式： 物体的物体的来回往复来回往复运动（弹簧振子、钟摆等）运动（弹簧振子、钟摆等）电流、电压的电流、电压的周期性周期性变化变化机械振动：机械振动： 物体在一定位置附近作来回往复的运动物体

2、在一定位置附近作来回往复的运动 可以证明任何复杂的振动都可以认为是由若干个可以证明任何复杂的振动都可以认为是由若干个简单的基本振动的简单的基本振动的合成合成。这种。这种简单简单而又而又基本基本的振动形的振动形式称为式称为简谐振动简谐振动。简谐振动：简谐振动：凡质点的运动遵从凡质点的运动遵从余弦余弦（或（或正弦正弦） 规律时，其运动形式为规律时，其运动形式为简谐振动简谐振动。)cos(tAx6.1 简谐振动动力学简谐振动动力学txo一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧振子： 一根轻弹簧和一个质点构成的一一根轻弹簧和一个质点构成的一 个振动系统个振动系统F根据根据胡克定律：胡克定律：（k

3、为为劲劲度系数度系数）xkF（1）在弹性限度内，弹性力）在弹性限度内，弹性力 F 和位移和位移 x 成正比。成正比。（2）弹性力）弹性力 F 和位移和位移 x 恒反向，始终指向平衡位置。恒反向，始终指向平衡位置。回复力：始终指向平衡位置的作用力回复力：始终指向平衡位置的作用力xxo振动的条件：振动的条件：（1）存在）存在恢复力恢复力；（；（2）物体具有）物体具有惯性惯性二、简谐振子的动力学方程二、简谐振子的动力学方程F 由由牛顿牛顿第二定律得：第二定律得：xktxmF22ddxmktx22dd得：得：xoA- -Axmktx22ddxtx222dd令：令：mk2)cos(tAx动力学方程动力学

4、方程运动学方程运动学方程 结论：结论： 弹簧振子的振动为简谐振动弹簧振子的振动为简谐振动 。三、振动状态和振动能量三、振动状态和振动能量)cos(tAx位置位置：振动速度振动速度：)sin(ddtAtxv其中：其中： vm= A 称为称为“ 速度振幅速度振幅 ”其中：其中： am= 2A 称为称为“加速度振幅加速度振幅 ”)cos(dd2tAtva振动加速度：振动加速度：)2cos(mtv)cos(mta振动系统的振动系统的能量能量 (包括振动包括振动动能动能、势能势能)km2)(sin21212222ktAmmvE振子振子动能：动能：)(cos2121222ptkAkxE振子振子势能：势能：

5、2m222212121mvAmkAE总能量：总能量：pkEEEvxxo)(sin21212222ktAmmvE)(cos2121222ptkAkxEtx)cos(tAxoEktEoEp221kAE 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化， 但任一时刻总机械能保持不变。但任一时刻总机械能保持不变。 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两 倍。倍。 频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正 比。（比。（适合于任何谐振系统适合于任何谐振系统）结论结论：END一、周

6、期一、周期 频率和角频率频率和角频率周期周期T：完成一次全振动所经历的时间。完成一次全振动所经历的时间。频率频率n n ：单位时间内完成全振动的次数。：单位时间内完成全振动的次数。 n n =1/T ：角频率角频率 （或称圆频率）（或称圆频率）mkkmT221n)cos()(costATtAn22, 2TT6.2 简谐振动运动学简谐振动运动学T、 n n 或或 分别称为谐振子的分别称为谐振子的固有周期固有周期、固有频率固有频率和和固有角频率固有角频率故：故：)cos(tAx其中其中A即位移的即位移的最大值最大值，称为，称为振幅振幅T 的单位：秒的单位：秒(s) 、n n 的单位：赫兹的单位：赫

7、兹(Hz) 的单位：弧度每秒的单位：弧度每秒(rad/s)2cos(tTA)2cos(ntA二、相位二、相位(1) ( t + + )是是 t 时刻的时刻的相位相位 (2) 是是t =0时刻的相位时刻的相位 初相初相位位由由t=0；x=x0，v=v0 得得22020vxA00tanxv三、旋转振幅矢量三、旋转振幅矢量旋转矢量旋转矢量A在在x轴上的投影轴上的投影点点 P 的运动规律：的运动规律：)cos(tAx 投影点投影点P 的运动与的运动与 简谐振动的运动规律简谐振动的运动规律 相同。相同。P0PPAxtP =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1) 相位差相位差对两同频率的谐振动对两同频率的

8、谐振动 = 2- - 1初相差初相差 同相和反相同相和反相当当 = 2k ， ( k =0, 1, )，两振动步调相同，称两振动步调相同，称同相同相当当 = (2k+1) ，( k =0, 1,)， 两振动步调相反，称两振动步调相反，称反相反相oA1-A1A2- A2x1x2T同相同相txxoA1-A1A2- A2x1x2Tt反相反相 超前和落后超前和落后若若 = 2- - 10，则，则 x2 比比 x1较早达到正最大，称较早达到正最大，称x2比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后)。超前超前、落后、落后以以 0)cos(tAx)cos(12. 0tx3cos213振动振动式

9、式： )3cos(12. 0txx- -/3cos12. 006. 05 . 05 . 05 . 0)3sin(12. 0ddtttttxv5 . 025 . 05 . 0)3cos(12. 0ddtttttva)m(103. 0)3cos(12. 05 . 0txt)m/s(189. 0)m/s(03. 12设在某一时刻设在某一时刻 t1， x = - -0.06 m)3(cos12. 006. 01t代入振动代入振动式式：21)3(cos1t343231或ts132311ttx- -/33/2s61123322tt) s (65161112tttx- -/33/2例题例题6-2 两质点作同

10、方向、同频率的简谐振动，振幅相等。两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点当质点1在在 x1=A/2 处，处，且向左运动时，另一个质点且向左运动时，另一个质点2在在 x2= - -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。处，且向右运动。求这两个质点的相位差。)(cos11tAx)(cos21tAA31t31t解：解：A- -AoA/ /2- -A/ /2x/3322t)cos(22tAA322t)()(21tt)32(3x332例题例题6-3质量为质量为m的比重计，放在密度为的比重计，放在密度为 的液体中。已的液体中。已知比重计圆管的直径为知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计

11、推动后，在竖试证明，比重计推动后，在竖直方向的运动为简谐振动，并计算周期。直方向的运动为简谐振动，并计算周期。解：解： 取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点平衡时：平衡时：0Fmg浮力：浮力： VgF其中其中 V 为比重计的排水体积为比重计的排水体积omgF 222dd2txmgxdVmgxmgdtx4dd222222dd2txmxdgVgmgmgd2gmdT42xxo例题例题6-4 证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为mkkkk212121n 证：证：2211xkxkf设物体位移设物体位移x，弹簧弹簧 分别伸长分别伸长x1和和x221xxxxkkk

12、x2112 xk1k2o x22ddtxmf 22212122ddtxmxkkkkxkxkkkx2112mkkkk)(21210dd212122xmkkkktxmkkkk212121n xk1k2o x2kp21kAEEEEAkkxE412212122p例题例题6-5当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？势能各占总能量的一半？解：解：EEEE43pk当当 时时：2/Ax 220212121kAkxAAx707. 0210END一、同频率平

13、行简谐振动的合成一、同频率平行简谐振动的合成 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐振动，其振动方程分别表示为：谐振动，其振动方程分别表示为：)cos(111tAx x1x2x)cos(222tAx x1A2A12A21AAA21xxx6-4 平行简谐振动的合成平行简谐振动的合成 振动频谱振动频谱一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐振动，其合成运动仍为简谐振动振动，其合成运动仍为简谐振动。 结论：结论：)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinarctanAA

14、AA, 2, 1, 0212kk(1)若若：, 2, 1, 0) 12(12kk(2)若若：212122212AAAAAAA则则:212122212AAAAAAA则则：例题例题6-6两个同方向的简谐振动曲线两个同方向的简谐振动曲线(如图所示如图所示) 1. 求合振动的振幅。求合振动的振幅。2. 求合振动的振动式。求合振动的振动式。12AAA解：解：T20cos11A22110cos22A22221A2AA1A2Ax)(1tx)(2txTt)22cos(12tTAAx1A2AA2由矢量图由矢量图：解：解：126cos212122AAAAA6cos3102023102022A1A2A6cm10例题

15、例题6-7两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为幅为20cm，与第一个振动的位相差为与第一个振动的位相差为 。若第。若第一个振动的振幅为一个振动的振幅为 。则（。则（1）第二个振动的振幅）第二个振动的振幅为多少？（为多少？（2）两简谐振动的相位差为多少？）两简谐振动的相位差为多少？61cm3106sinsin2AA16sin10206sinsin2AA212A1A2A6二、不同频率平行简谐振动的合成二、不同频率平行简谐振动的合成 拍拍 设两同方向，角频率分别为设两同方向，角频率分别为 和和 的两简谐振动的两简谐振动（ ）。它们所对应的旋转矢量分

16、别为）。它们所对应的旋转矢量分别为 和和 211A2A122A相对于相对于 的转动角速度：的转动角速度：121A两矢量同向重合时：两矢量同向重合时： 合振动振幅合振动振幅 极大极大A 合振动振幅合振动振幅 极小极小A两矢量反向重合时：两矢量反向重合时： 拍：合振动的振幅时大时小的现象拍：合振动的振幅时大时小的现象1A12A2xO12122nnn122T拍的周期：拍的周期：拍的频率：拍的频率：从解析式来分析：从解析式来分析：tAtAx111112coscosntAtAx222222coscosntAtAxxx2211212cos2cosnnttAx22cos22cos21212nnnntA22c

17、os212nn振幅：振幅：随时间缓慢变化随时间缓慢变化t22cos12nn为一谐振因子为一谐振因子AAA21设设：ox1tox2tox=x1+x2tt1t2t3(a)(b)(c)END)cos(22tAy222sinsincoscosttAy)cos(11tAx111sinsincoscosttAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx一、同频率垂直简谐振动的合成一、同频率垂直简谐振动的合成6-5 垂直简谐振动的合成垂直简谐振动的合成 y xo 结论：两相互垂直同频率简谐振动的合成其振动轨结论：两相互垂直同频率简谐振动的合成其振动轨 迹一般情况下为一椭圆迹一般情况下为

18、一椭圆(又称又称“椭圆振动椭圆振动”)。 椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。讨论：讨论：0221222212AAxyAyAx0221AyAx(1)y xo01212AAxAAy斜率斜率:)2(012k或或)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx1212k0221222212AAxyAyAx0221AyAx 结论：质点作线振动结论：质点作线振动(2)xyo0,1212AAxAAy斜率斜率：1222212AyAx 结论：质点振动轨迹为正椭圆结论：质点振动轨迹为正椭圆 (若若 y 超前超前x，顺时针，称为右旋；顺时针，称为右旋； 若若 x 超

19、前超前y，逆时针，称为左旋逆时针，称为左旋。)(3)当：当：)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxy xo 212212k或或 两垂直简谐振动在不同相位差时的合成两垂直简谐振动在不同相位差时的合成012424322A12A452347249END二、不同频率垂直简谐振动的合成二、不同频率垂直简谐振动的合成（李萨如图）（李萨如图）y:x0 xy阻力阻力振动机械能振动机械能振幅振幅产生阻尼的原因：产生阻尼的原因：摩擦、空气阻力、辐射摩擦、空气阻力、辐射一、阻尼振动的微分方程一、阻尼振动的微分方程txvFdd一级近似一级近似xkf6-6 阻尼振动阻尼振动Fxxo22ddtx

20、mvkx 称为阻尼系数称为阻尼系数0dd2dd2022xtxtx动力学方程：动力学方程：物体大致的运动情况：物体大致的运动情况：只有弹性力只有弹性力简谐振动简谐振动加粘滞阻力后加粘滞阻力后振幅逐渐变小，即有振幅逐渐变小，即有衰减衰减如何衰减？如何衰减？考虑以考虑以 v0 运动的物体在只有粘滞阻力作用时的运动情况运动的物体在只有粘滞阻力作用时的运动情况mmk2,20令：令：xxm 即即02xx vtv2ddtvvd2d积分得：积分得：tevvtvv2002lnln动能与时间关系：动能与时间关系：temvmvE4202k2121随时间指数减少随时间指数减少0220costAext2202T方程的解

21、：方程的解：周期：周期：0costAext220可以设想：可以设想：阻尼不太大时，物体一方面在弹性力作用阻尼不太大时，物体一方面在弹性力作用下振动，另一方面在粘滞力作用下振幅随时间指数地下振动，另一方面在粘滞力作用下振幅随时间指数地衰减。衰减。讨论：讨论：0220costAext 当（当（ ）时，为）时，为“临界阻尼临界阻尼”情况。是质点不作情况。是质点不作 往复运动的一个极限往复运动的一个极限0 阻尼较小时（阻尼较小时（ ），振动为减幅振动，振幅），振动为减幅振动，振幅 随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大， 减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。tAe0 阻尼较大时（阻尼较大时（ ），质点缓慢回到平衡位置，），质点缓慢回到平衡位置， 不作往复运动。不作往复运动。0txoA0teA0Ttxo临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼END系统在周期性的外力持续作用下所系统在周期性的外力持续作用