电工-第二章-正弦交流电路课件

1、第二章第二章 正弦交流电路正弦交流电路2.1 正弦交流电的特征2.2 正弦交流电的相量表示法2.3 单一参数的正弦交流电路2.4 RLC串联电路2.5 RLC并联电路2.6日光灯电路及感性负载功率因数的提高。 2.1 2.1 正弦交流电的特征正弦交流电的特征 大小和方向均随时间作周期性变化，且在一个周期内其平均值为零的电压、电流或电动势统称为交流电，如图2-1所示。 大小和方向随时间按正弦规律变化的电压、电流或电动势统称为正弦交流电，如图2-1（a）所示。 以正弦交流电源为激励，电路中产生的电流、电压均为正弦量，这样的电路称为正 弦交流电路。正弦交流电应用广泛正弦交流电应用广泛（1）正弦交流电

2、易于产生、转换和传输。 交流电机结构简单，工作可靠，经济性好，可由火力发电机、风力发电机、水轮发电机、原子能发电机等方便地获得电能。 可方便地通过变压器改变交流电的大小，为用户提供各种不同等级的电压。 便于实现远距离输电（高压输电）。 能保证安全用电（降低交流电压）。（2）利用电子设备（整流器）可方便地将交流电转换成直流电。2.1.1 2.1.1 正弦交流电的三要素正弦交流电的三要素misin()iIt图图2-2 2-2 正弦电量的正方向和波形图正弦电量的正方向和波形图 正弦交流电的数值随时间按正弦规律变化，方向也正弦交流电的数值随时间按正弦规律变化，方向也随时间反复变化。随时间反复变化。与该

3、波形图相对应的正弦电流与该波形图相对应的正弦电流i i的数学表达式为的数学表达式为正弦交流电动势、正弦交流电压的瞬时值表达式分别表正弦交流电动势、正弦交流电压的瞬时值表达式分别表示为示为mesin()eEtmusin()uUt 表征正弦量的三要素有表征正弦量的三要素有 幅值幅值 （最大值）（最大值）初相位初相位 频率频率 幅值（幅值（最大值最大值）正弦交流电瞬时值中的最大值也称为幅值。正弦交流电流、电动势、电压的最大值（或幅值）分别用Im、Em、Um 表示。misin()iItmesin()eEtmusin()uUt周期、频率、角频率周期、频率、角频率周期、频率、角频率都可以表征正弦电量随时间

4、变化的快慢。周期T：正弦量变化一次所需的时间称为周期，其单位为秒（s）。频率f：正弦量每秒变化的次数称为频率，其单位为赫兹（Hz）。 角频率：正弦交流电每秒变化的电角度，其单位为弧度/秒（rad/s）。应用：我国电力标准频率为50HZ，亦称为工频 一个周期所对应的电角度为360，用弧度表示是2，则角频率为2f 如上图，角频率、频率和周期的关系为：如上图，角频率、频率和周期的关系为： 上式表示上式表示，三者之间的关系，只要知道其中的一个，则其余三者之间的关系，只要知道其中的一个，则其余的均可求出。的均可求出。 T2f2t 1fT例2-1： 某正弦交流电的频率f=50Hz，求其周期T和角频率 解1

5、10.02(s)20(ms)50Tf22 3.14 50314(rad/s)f 初相位初相位 正弦交流电在任一瞬时的电角度(t+u)、(t+i)、(t+e)等称为相位角，简称相位，其单位为弧度（rad）。当t=0时正弦电量的相位角称为初相位，简称初相。 规定初相角绝对值都小于等于，即。 如图3-4所示，由纵轴左边的零值点确定的初相角为i，由纵轴右边的零值点确定的初相角为i，根据初相角绝对值的规定，可判断该正弦电流的初相角应为i，而不是i。图2-4正弦电量的初相角 例2-2判断图3-5中正弦电量波形图的初相角，并写出对应的瞬时值表达式。解：在图3-5（a）中，正弦电量的零点与计时起点重合，其初相

6、角i=0。其对应的表达式为i=Imsint。在图3-5（b）中，正弦电量的零点在计时起点之前，其初相角为。其对应的表达式为misin()iItii0在图3-5（c）中，正弦电量的零点在计时起点之后，其初相角为i其对应的表达式为misin()iIt2.1.22.1.2同频率正弦交流电的相位关系同频率正弦交流电的相位关系 两个同频率正弦交流电的相位之差称为相位差，用字母 表示 musin()uUtmisin()iIt u、i的相位差为 uiuitt两个同频率正弦量的相位差 等于它们的初相位之差。 两个同频率正弦电量相位关系的几种情况两个同频率正弦电量相位关系的几种情况图图3-63-6两同频率正弦电

7、量相位关系两同频率正弦电量相位关系例例2-3已知某元件的电流及其两端的电压是同频率的正弦量，角频率电压的最大值电流的最大值电压比电流超前60。314 rad /sm100 VUm10 AI试写出该正弦电压、电流的瞬时值表达式，并画出电压、电流的波形图。解：解：设以电流为参考正弦量，则i0 由已知条件知：ui60ui60060 电压、电流的瞬时值表达式如下：musin()100sin(31460 )(V)uUttmisin()10sin(314 )(A)iItt电压、电流的波形图如图2-7所示。2.1.32.1.3正弦交流电的有效值正弦交流电的有效值 周期电压和电流的瞬时值是随时间变化的，在实周

8、期电压和电流的瞬时值是随时间变化的，在实际工作中，人们更关心它作功的实际效果。要反映际工作中，人们更关心它作功的实际效果。要反映它的实际效果，用最大值或平均值都不合适，因为它的实际效果，用最大值或平均值都不合适，因为最大值是瞬时值，而正弦波在一个周期内平均值是最大值是瞬时值，而正弦波在一个周期内平均值是零。在电工技术中，常用有效值来衡量周期电压和零。在电工技术中，常用有效值来衡量周期电压和电流的大小电流的大小。 交流电的有效值是根据电流的交流电的有效值是根据电流的热效应原理热效应原理来规定的。来规定的。 在交流电路中，一般所讲的电压或电流在交流电路中，一般所讲的电压或电流的大小都是指有效值。例

9、如最常见的供电电的大小都是指有效值。例如最常见的供电电压压220V220V就是有效值。就是有效值。注意注意 交流电的有效值是根据电流的热效应原理来规定的。在交流电的有效值是根据电流的热效应原理来规定的。在数值相同的电阻数值相同的电阻R上分别通以周期电流上分别通以周期电流i和直流电流和直流电流I。 dttiRRdttidttpTTT)()()(20200 当直流电流流过电阻当直流电流流过电阻R R时时( (图图b)b)，在相同时间，在相同时间T T内所消内所消耗的电能为耗的电能为 PT PT= =I I2 2R RT T 当周期电流流过电阻时当周期电流流过电阻时( (图图a)a)，该电阻在一个周

10、，该电阻在一个周期期T T内所消耗的电能为内所消耗的电能为 如果在周期电流一个周期如果在周期电流一个周期T的时间内，的时间内， 这两个电阻这两个电阻所消耗的电能相等，所消耗的电能相等， 也就是说，也就是说， 就其作功平均能力来就其作功平均能力来说，说， 这两个电流是等效的，这两个电流是等效的， 则该直流电流则该直流电流I的数值可的数值可以表征周期电流以表征周期电流i的大小，的大小， 于是，于是， 把这一等效的直流把这一等效的直流电流电流I称为交流电流称为交流电流i的有效值，的有效值， 即即dttiTIdttiRRTITT)(1)(20202 正弦交流电流正弦交流电流i(t)=Im sin(t+

11、i)的有效值为的有效值为2)(cos112)(sin1)(120222020miTmimTTIdttTIdttITdttiTI热效应相同的直流电流热效应相同的直流电流I I称为交流电流称为交流电流i的有效值。同的有效值。同理，交流电压、交流电动势的有效值分别用理，交流电压、交流电动势的有效值分别用U U、E E表表示。有效值可以确切地反映交流电的做功能力示。有效值可以确切地反映交流电的做功能力有效值与最大值的关系有效值与最大值的关系mm0.7072IIImm0.7072UUUmm0.7072EEE 例2-4一个耐压为220V的电容器是否可以接在220V交流电压的电路中使用呢？解：220V交流电

12、压是交流电的有效值，其最大值是m22220311(V)UU因为电容器承受的最大电压已经超过了它的耐压值，故该电容器不能在220V的交流电路中使用。例2-5已知msinuUtm310VU 50 Hzf ， 求电压的有效值U和t=0.125s时的瞬时值。m310220(V)22UU 解：解：t=0.125s时的瞬时值为msin2310sin(1000.125)310sin(12.5 )310(V)uUft 思考题与习题思考题与习题 1、指出下列各正弦量的幅值、 频率、 初相角、有效值， 并画出它们的波形图。 (1) i=10 sin(6280t+45) mA; (2) u=220 sin(314t

13、-120) V; (3) u=5 sin(2000t+90) V。22.2 2.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法用复数表示正弦量的方法称为相量表示法，简称相量法，相量法，又称符号法符号法。在正弦交流电路中，所有的电流和电压都是同频率的正弦量，故正弦量的角频率不用考虑。复数正好能反映同频率正弦量的两个要素，故同频率正弦量的运算可以转化为复数运算。2.2.12.2.1复数及复数运算复数及复数运算1复数的表示形式及其相互转换（1 1）代数式）代数式复数A一般由实部和虚部组成。其代数形式（直角坐标形式）为A A= =a a+j+jb bj1称为虚数单位（数学中用i表示）i表示） 复数A

14、 = a + jb可用复平面上的一个点A（a，b）表示，用有向线段连接O和A，线段的末端带有箭头，成为一个矢量，则该矢量与复数A相对应，称为复数矢量，如图2-9所示。复数的模（即复数矢量的长度）为复数的幅角（即复数矢量与实轴的夹角）为22Aabarctanbaab矢量在实轴和纵轴上的投影分别是复数的实部和复数的虚部和复数的虚部： cosaAsinbA（2 2）复数的三角函数形式）复数的三角函数形式（3 3）复数的指数形式）复数的指数形式j(cosjsin )AabA（代数式转为三角函数式）jjjjeeeecossin22j，j(cosjsin )eAAA（三角函数式转为指数式）根据尤拉公式根据

15、尤拉公式得出得出（4 4）复数的极坐标形式）复数的极坐标形式jeAAA（指数式转为极坐标式）22jarctanbAababa（代数式转为极坐标式）cosjsinAAAA（极坐标式转为代数式）2 2复数的运算复数的运算（1 1）复数的加减运算）复数的加减运算设两个复数分别为A1 = a1 + jb1，A2 = a2 + jb2，则121212()j()AAaabb（2 2）复数的乘、除运算）复数的乘、除运算 复数的乘法运算：两复数的模相乘，幅角相加121212()AAAA 复数的除法运算：两复数的模相除，幅角相减。111222()AAAA3 3复数相等复数相等两个复数相等的条件是：实部和实部相等

16、，虚部和虚部相等，或者复数的模相等，复数的幅角相等。2.2.2 2.2.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法用相量表示正弦量用相量表示正弦量 能表示正弦量特征的复数称为相量。为了与一般的复数相区别，相量用一个上面加黑点的大写英文字母表示，加黑点表示该相量是时间的函数。例如， 表示正弦电流的相量， 表示正弦电压的相量， 表示正弦电动势的相量。相量的模表示正弦量的有效值，相量的幅角表示正弦量的初相角。其中，模为最大值的相量称为最大值相量。IUEmisin()iItmesin()eEtmusin()u UtiimmIIII 式中式中, , 和和 均为复数，均为复数， 它能代表正弦电流的两个要素（

17、幅值和初它能代表正弦电流的两个要素（幅值和初相）。相）。 这种能表示正弦量的复数称为相量，这种能表示正弦量的复数称为相量， 用大写字母上加一点来表示，用大写字母上加一点来表示， 以示与一般复数的区别，以示与一般复数的区别， 即相量不是一般的复数，即相量不是一般的复数， 它对应于某一正弦的时它对应于某一正弦的时间函数。间函数。 称为电流最大值相量，称为电流最大值相量， 称为电流有效值相量。称为电流有效值相量。 ImIuummUUUUuummUUEE 式中，式中， 称为电压最大值相量，称为电压最大值相量， 称为电压有效值相量。称为电压有效值相量。 mUU 式中，式中， 称为电动势最大值相量，称为电

18、动势最大值相量， 称为电动势有效值相量。称为电动势有效值相量。 mEEmIImIt misin()iItiiiiimmIIII相量图相量图 表示正弦量的相量也可以在复平面上用矢量来表示，表示正弦量的相量也可以在复平面上用矢量来表示，相量在复平面上的几何表示（矢量图）称为相量图。相量在复平面上的几何表示（矢量图）称为相量图。222111 sin2 sin2tUutUu 幅值：幅值：12UU1212例例U U2 2U U1 1解解12例例教材教材P52【例例2-1】例 已知正弦电量的瞬时值表达式分别为e180 2sin(60 ) Vt10 2sin(30)Ait 要求：（1）写出各正弦量对应的最大

19、值相量和有效值相量。（2）画出各正弦量对应相量的相量图。解：（1）写出各正弦量对应的最大值相量和有效值相量。最大值相量：有效值相量：m= 180260 VEm= 10230 AIm120230 VU =180 60 VE=10 30 AI12030 VU，（2）画出各正弦量对应相量的相量图。 最大值相量图：取相量的长度分别为正弦电量的最大值，在复平面上画出各正弦量对应的最大值相量图，如图3-10（a）所示。 有效值相量图：取相量的长度分别为正弦电量的有效值，在复平面上画出各正弦量对应的有效值相量图，如图3-10（b）所示。 省略复平面的有效值相量图：作相量图时复平面通常省略不画，只画出实轴所表

20、示的参考方向，如图3-10（c）所示。今后遇到的相量图若不加特殊说明，均指省略复平面的有效值相量图。注意：单位相同的正弦电量对应相量的长度应成比例。图中各正弦量的频率必须一致，不同频率的正弦量不能画在同一个相量图上。相量计算例2-8 已知正弦电流16 2sin(30 )it28 2 sin(60 )it12iii求求方法1：用复数符号法（相量法）求总电流i。 根据电流i1、i2的瞬时值表达式，写出其对应的相量的表达式。16 305.196j3I 28604j6.928I 用复数符号法求和，得到电流i对应的相量表达式 12(5.196j3)(4j6.928)9.296j3.9281023.1 A

21、III 写出电流i的瞬时值表达式。1023.1 AI 10 2sin(23.1 )Ait方法方法2 2：用图解法求总电流：用图解法求总电流i i 根据电流i1、i2的瞬时值表达式，写出对应的相量表达式。163 0AI2860AI 画出 ，用矢量求和法作出电流的相量图，如图（b）所示。由相量图确定正弦电流的有效值和初相位1I2I 10 AI 23.1 写出电流对应的相量表达式1023.1 AI 由电流的相量表达式写出电流的瞬时值表达式。10 2sin(23.1 ) Ait例例教材教材P52【例例2-2】 1 1、 在图中给出了某正弦交流电路的相量图，在图中给出了某正弦交流电路的相量图， 已已知知

22、U U=220 V=220 V， I I1 1=6 A=6 A， I I2 2=8 A=8 A， 试写出试写出u、 i1、 i2的的瞬时值表达式（角频率为瞬时值表达式（角频率为）。）。 思考题与习题思考题与习题 U1I2I30正弦交流电的正弦交流电的4 4种表示形式种表示形式正弦量和它的相量之间具有一一对应的关系，但不是相正弦量和它的相量之间具有一一对应的关系，但不是相等的关系等的关系ujuu2sin()euUtUUU2.32.3单一参数的正弦交流电路单一参数的正弦交流电路 实际电路中有三种参数：电阻、电感和电容实际电路中有三种参数：电阻、电感和电容。严格来说，只包含单一参数的理想电路元件。严

23、格来说，只包含单一参数的理想电路元件是不存在的，是不存在的， 但当一个实际元件中只有一个参但当一个实际元件中只有一个参数起主要作用时，数起主要作用时， 可以近似地把它看成单一参可以近似地把它看成单一参数的理想电路元件。数的理想电路元件。 实际电路可能比较复杂，实际电路可能比较复杂， 但一般来说，但一般来说， 除电源外，除电源外， 其余部分都可以用其余部分都可以用单一参数电路元件组成电路模型。单一参数电路元件组成电路模型。 本节将导出本节将导出这三种基本元件电压与电流之间关系的相量形这三种基本元件电压与电流之间关系的相量形式。式。 2.3.1 2.3.1 电阻元件的正弦交流电路电阻元件的正弦交流

24、电路R Ri u1 1电阻元件电压与电流的关系电阻元件电压与电流的关系+ + i iu u波形图波形图U UI I t tO O相量图相量图u u i i电路图电路图iRu 设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图示。根据欧姆定律根据欧姆定律设设 tIi sinm tUtRIRiu sinsinmm 则则 式中式中mmRIU 由式由式 和式和式 可见，可见，u、i为同频率的正弦量，可作出为同频率的正弦量，可作出u、i的波形图和相的波形图和相量图如图所示。量图如图所示。 u、 i的相位差为的相位差为 = u i =0 即电阻元件上电压和

25、电流即电阻元件上电压和电流同相同相。 u、 i的幅值关系为的幅值关系为 U Um m= =RIRIm mu、 i的有效值关系为的有效值关系为 U U= =RIRItIi sinm tUtRIRiu sinsinmm 电压电流的上述关系也可用相量形式表示。电压电流的上述关系也可用相量形式表示。由式由式电流相量为电流相量为 = I= Ii， 由于由于u、 i同相，同相， 则则 u=i， 而电压有效值而电压有效值 U U= =RIRI, , 所以电压相量为所以电压相量为iuRIUU因此因此 IIRU相量形式的欧姆定律相量形式的欧姆定律2.2.功率特点功率特点u u t tO Oi iO O t tP

26、 =U IP =U Iu u i i因为交流电路中的电压、电流都是交变的，电阻吸收的功率也必定随时间变化。电阻在每一瞬时吸收的功率称为瞬时功率，用小写字母p表示。2sin()2 sinuUtiIt，mm2m mm msin()sinsin(1 cos2)2cos2puiUt ItU ItU ItUIUIt结论：结论：p随时间变化； ，电阻R为耗能元件。0p 交流电的瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率，用P表示。（2 2）平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）（1 1）瞬时功率）瞬时功率001d(1cos 2)dTTPp tUIttUIT2.2.功率特点功率特点例例 某电阻元件的参数为某

27、电阻元件的参数为8 8欧，接在欧，接在 的的交流电源上。试求：（交流电源上。试求：（1 1）通过电阻元件上的电流相量及）通过电阻元件上的电流相量及电流电流i 。（。（2 2）如果用电流表测量该电路中的电流，其读数）如果用电流表测量该电路中的电流，其读数为多少？（为多少？（3 3）画出电压和电流的相量图。）画出电压和电流的相量图。解：（解：（1 1）2206027.560 (A)8UIR27.5 2sin(31460 )(A)it220 2sin(31460 ) Vut（2 2）电流表测量的是交流电流的有效值，故27.5(A)I （3 3）相量图如图所示。2.3.2 2.3.2 电感元件的正弦交

28、流电路电感元件的正弦交流电路 + +u ui iL Lu ui i t tO Ou i波形图波形图U U相量图相量图I I9090 电路图电路图1 1电压电流关系电压电流关系电感电路如电路图所示。电感电路如电路图所示。在关联参考方向下，电感元件的电压电流关系为在关联参考方向下，电感元件的电压电流关系为dtdiLeu若设电流若设电流i为参考正弦量，即为参考正弦量，即 tIimsin)90sin(cos)sin(mmmtUtLIdttIdLdtdiLu则则式中式中mmLIU由式由式 和式和式 可知：可知： u、i为同频率的正弦量，可作出为同频率的正弦量，可作出u、i的波形图和相量的波形图和相量图如

29、图所示。图如图所示。 u、 i的相位差为的相位差为 =u-i=90 即电感元件上即电感元件上电流电流i比电压比电压u滞后滞后90 。 u、 i的幅值关系为的幅值关系为 U Um m= =LILIm mu、 i的有效值关系为的有效值关系为 U U= =LILI=X=XL LI I式中式中X XL L称为感抗，称为感抗， 单位为欧姆单位为欧姆()()， 且且 X XL L= =LL=2=2fLfL 上式表明，上式表明， 同一个电感线圈其电感值为定值，同一个电感线圈其电感值为定值， 它它对不同频率的正弦电流体现出不同的感抗，对不同频率的正弦电流体现出不同的感抗， 频率越频率越高，高， 感抗越大。感抗

30、越大。 因此，因此， 电感元件对高频电流有较电感元件对高频电流有较大的阻碍作用。大的阻碍作用。 在极端情况下在极端情况下f f=0, =0, 则则X XL L=0=0， 因此电因此电感在直流电下相当于短路线；感在直流电下相当于短路线； 当当f f时，时， X XL L， 即通入交流电的频率越高，即通入交流电的频率越高， 电感所呈现的感抗越大。电感所呈现的感抗越大。 感抗与哪些感抗与哪些因素有关？因素有关？X XL L与与频率频率成成；与；与电感量电感量L L成成直流情直流情况下感况下感抗为多抗为多大？大？直流下频率直流下频率f f =0 =0，所以，所以X XL L=0=0。电压电流的相量形式

31、如下：电压电流的相量形式如下：由式由式电流相量为电流相量为 ； 而而=u-i=90；电压有效值电压有效值 U U= =LILI=X=XL LI I 所以电压相量为所以电压相量为iII)()90()90(iLiLuIXIXUU即即 IjXUL相量形式的欧姆定律相量形式的欧姆定律 式中既表明了式中既表明了u、 i的相位关系，的相位关系， 又表明了又表明了u u、 i i的的有效值关系，有效值关系， 是欧姆定律对电感元件的相量表示形式。是欧姆定律对电感元件的相量表示形式。 2 2功率功率 瞬时功率LL LLmLmLmLmLLsin(90 )sincossinsin2pu iUtItUt ItU It

32、22LLmL12WLILI电感所储存的磁场能量的最大值为 平均功率（有功功率）LLLL001dsin(2)d0TTPptU IttT 无功功率（瞬时功率的最大值）22LLLLLLLUQU IIXXLQ无功功率的单位为乏尔（var），反映了电感元件与电源之间能量交换的规模。 例例2-10 2-10 某线圈的电感量为某线圈的电感量为0.1H0.1H，电阻可忽略不计，接，电阻可忽略不计，接在在 的交流电源上。试求：（的交流电源上。试求：（1 1）电路）电路中电流的有效值；（中电流的有效值；（2 2）电流相量并写出其瞬时值表达式，）电流相量并写出其瞬时值表达式，画出电流、电压的相量图。画出电流、电压的

33、相量图。220 2sin(31430 )Vut解：（1）L314 0.131.4( )XLLL2207(A)31.4UIX， L220307( 60 ) Aj31.490UIX （2）7 2sin(31460 ) Ait相量图如图所示。， 例例2-112-11 已知一个电感线圈，已知一个电感线圈， 电感电感L L=0.5 H=0.5 H， 电阻电阻可略去不计，可略去不计， 接在接在50 Hz 220 V50 Hz 220 V的电源上，的电源上， 试求：试求： （1 1） 该电感的感抗该电感的感抗X XL L； （2 2） 电路中的电流电路中的电流I I及其与电压的相位差及其与电压的相位差； U

34、UAjjXUIL904 . 11570220 即电流的有效值即电流的有效值I I=1.4 A=1.4 A， 相位滞后于电压相位滞后于电压9090。 解（解（1 1） 感抗为感抗为 X XL L=2=2fLfL=2=250500.5=157 0.5=157 (2) (2) 选电压选电压 为参考相量，即为参考相量，即 =2200=2200V V， 则则思考题与习题思考题与习题 电感元件电感元件L L=1.59 H, =1.59 H, 接于接于u =220=220 s si in314n314t V V的正的正弦电源上，求感抗弦电源上，求感抗X XL L和电流和电流 i。 22.3.3 2.3.3

35、电容元件的正弦交流电路电容元件的正弦交流电路C C + +u ui iu u t tO Oi iu u i i波形图波形图电路图电路图U U 相量图相量图9090 I I电容元件电压与电流的关系电容元件电压与电流的关系在关联参考方向下， 电容元件的电压电流关系为dtduCdtdQitUumsin设电压为参考正弦量，设电压为参考正弦量， 即即则则 )90sin(cos)sin(mmmtItCUdttUdCdtduCi由式由式 和式和式 可知：可知： u、i为同频率的正弦量，可作出为同频率的正弦量，可作出u、i的波形图和相量的波形图和相量图如图所示。图如图所示。 u、 i的相位差为的相位差为 =u

36、-i= 90 即电容元件上即电容元件上电流电流i比电压比电压u超前超前90。 注意注意式中式中mmCUIu、 i的幅值关系为的幅值关系为 CIUCUImmmmu、 i的有效值关系为的有效值关系为 IXCUC1式中式中, , X XC C称为容抗，称为容抗， 单位为欧姆单位为欧姆()()， 且且 fCCXC211 表明，表明， 对一定容量的电容器，对一定容量的电容器， 通入不同频率的交流电时，通入不同频率的交流电时， 电电容会表现出不同的容抗，容会表现出不同的容抗， 频率越高，频率越高， 容抗越小。容抗越小。 在极端情况下，在极端情况下， 若若f f， 则则X XC C00， 此时电容可视为短路

37、；此时电容可视为短路； 若若f f=0=0（直流），（直流）， 则则X XC C=， 此时电容可视为开路；此时电容可视为开路； 这说明了电容元件的这说明了电容元件的“隔直通隔直通交交”作用。作用。 容抗与哪些容抗与哪些因素有关？因素有关？X XC C与与频率频率成成；与；与电容量电容量C C成成直流情直流情况下容况下容抗为多抗为多大？大？直流下频率直流下频率f f =0 =0，所以，所以X XC C= =。电压电流的相量形式如下：电压电流的相量形式如下：由式由式电流相量为电流相量为 ； 而而=u-i=90；电压有效值电压有效值 所以电压相量为所以电压相量为IXCUC1)()90()90(iCi

38、CuIXIXUUiIIIjXUC即即 相量形式的欧姆定律相量形式的欧姆定律 这是电容电路中欧姆定律的相量表示形式，这是电容电路中欧姆定律的相量表示形式， 它既表达了纯电容元件电压电流有效值之间的关系，它既表达了纯电容元件电压电流有效值之间的关系， 又表达了它们的相位关系（又表达了它们的相位关系（u u- -i i=-90=-90）。）。 2功率（1）瞬时功率CC CCmCmCmCmCCsinsin(90 )sincossin2pu iUt ItUIttU It电容元件瞬时功率的波形图电容所储存的电场能量的最大值为22CCmC12WCUCU（2）平均功率（有功功率）CCCC001dsin(2)d

39、0TTPptU IttT（3）无功功率22CCCCCCCUQU IIXXCQ无功功率 的单位为乏尔（var），反映了电容元件与电源之间能量交换的规模。 CQ 例例 把一个把一个 的电容器接在的电容器接在 的电源上。试求：（的电源上。试求：（1 1）电流相量，并写出其瞬时值表达）电流相量，并写出其瞬时值表达式；（式；（2 2）画出电压和电流的相量图。）画出电压和电流的相量图。80 FC 220 2sin(31430 ) Vut解：解：L61140()3148010XC（1）电流相量为：C220 305.5 120 (A)j40( 90 )UIX 5.5 2sin(314120 ) Ait（2）相

40、量图如图3-23所示。 例例 一个一个10 F的电容元件，的电容元件， 接到频率为接到频率为50 Hz， 电压有效值电压有效值为为12 V的正弦电源上，的正弦电源上， 求电流求电流I。 若电压有效值不变，若电压有效值不变， 而电源频率而电源频率改为改为1000 Hz， 试重新计算电流试重新计算电流I。 5 .31810105014. 3212116fCCXC 电流为电流为 mAAXUIC7 .370377. 05 .31812 解解 （1 1）当频率）当频率f f=50 Hz=50 Hz时，时， 容抗为容抗为 (2) (2) 当频率当频率f f=1000 Hz=1000 Hz时，时， 容抗为容

41、抗为 9 .151010100014. 3212116fCCXCmAAXUIC754754. 09 .1512 电流为电流为 思考题与习题思考题与习题 电容元件电容元件C=31.8 FC=31.8 F，接于，接于 = 220 sin314t V= 220 sin314t V的正弦电源上，求容抗的正弦电源上，求容抗X XC C 和和 电流电流i 。 2u 3.4 RLC3.4 RLC串联电路串联电路3.4.1 RLC3.4.1 RLC串联电路的相串联电路的相量分析量分析用相量分析法求解正弦交流电路的步骤如下：（1）由电路模型画出正弦交流电路的相量模型，即把原交流电路中的电压和电流用相量表示，原电

42、路参数用复数阻抗表示；（2）按照KCL、KVL列出相量方程式进行相量计算，得出待求量的相量形式；（3）再将相量转换为待求量的瞬时值表达式。 电阻R、电感L、电容C串联的正弦交流电路简称RLC串联电路，电路模型如图3-24（a）所示。1 1RLCRLC串联交流电路的相量模型串联交流电路的相量模型RLCUUUURUR ILLjUXICCjUXI ， RLCLCj()(j)UUUUI RXXI RXI ZLCj()jZRXXRXRLC串联电路基尔霍夫电压定律的相量形式Z称为电路的复阻抗，简称阻抗，其单位是欧姆。实部R称为电阻，虚部系数 称为电抗。电抗X是感抗 与容抗 之差。LCXXXLXCX2RLC

43、串联电路中电流与总电压的相量关系UI Z3RLC串联电路的复阻抗（1）RLC串联电路中复阻抗Z的两种表示形式LCj()jZRXXRXuuii()UUUZZIII复阻抗 的模，表示了总电压与电流的数量关系（有效值关系）。复阻抗的辐角 ，表示了总电压与电流的相位关系（电压超前电流的角度）UZIui（2）RLC串联电路中复阻抗两种表示形式的相互转换LCj()jZRXXRXZ阻抗三角形 已知复阻抗的极坐标形式，可求出其代数形式： 已知复阻抗的代数形式，可求出其极坐标形式22ZRXarctanXR4 4RLCRLC串联电路的相量图串联电路的相量图总电压与各分电压的数量关系为总电压与总电流的数量关系为22

44、RLC()UUUURLCUUUU2222RLCLC()()UUUUIRXXI Z总电压与总电流的相位关系(电压超前电流的角度)LCLCRXarctanarctanarctanUUXXURR3.4.2 RLC3.4.2 RLC串联电路的功率串联电路的功率2 sinA2sin()ViItuUt（1）瞬时功率p2sin()2 sincoscos(2)puiUtItUIt（2）平均功率（有功功率）0011dcoscos(2)dcosTTPp tUIttUITT（3）无功功率（2）平均功率（有功功率）0011dcoscos(2)dcosTTPp tUIttUITTLCsin()QUIUUI（4）视在功率

45、SUI视在功率表示用电设备的总容量，单位为伏安（VA）。222SPQ3.4.3 3.4.3 阻抗三角形、电压三角形及功率三角形阻抗三角形、电压三角形及功率三角形2222RLCRX()UUUUUU22arctanXZZRXR、 222SPQ3.4.4 RLC3.4.4 RLC串联电路的性质串联电路的性质例3-12 已知RLC串联电路中，电源电压220 2 sin(31430 ) Vut30R 若由电路参数L和C求出L70XC30X， 求：（1）电路中复阻抗Z的模及幅角；（2）电流的有效值I及其瞬时值表达式；（3）求电路中的功率PQS，画出电流及各电压的相量图。解：该正弦交流电路的电路模型及相量模

46、型如图3-24所示。（1）复阻抗（2）由已知条件可知总电压与电流的相位差等于复阻抗的幅角：LCj()j30j(7030)50 53.1 ()ZRXXRX 220 VU 2204.4(A)50UIZui53.1iu3053.123.1 4.4 2sin(31423.1 ) Ait30cos5040sin50 （3）由阻抗三角形得出：30cos2204.4580.8(W)50PUI40sin2204.4774.4(var)50QUI220 4.4968(V A)SUI（4）R4.4 30132(V)UIRLL4.4 70308(V)UIXCC4.4 30132(V)UIX，； 先以电流 为参考相量画出相量图，如图3-27（a）所示，再将图3-27（a）按顺时针旋转可得到所需的相量图，如图3-27（