武汉理工大学《自动控制原理》考研出题老师课件

1、1第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法2一一 根轨迹的概念根轨迹的概念根轨迹法根轨迹法: :系统某一参数变化时系统某一参数变化时, ,绘制特征方程的根绘制特征方程的根在在S S平面的位置变化轨迹的图解方法。平面的位置变化轨迹的图解方法。 根轨迹根轨迹: : 系统某一参数从零变到无穷时系统某一参数从零变到无穷时, ,特征方程特征方程的根在的根在S S平面的变化轨迹。平面的变化轨迹。32 2、根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部、根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，而且可以指明系统参数应该怎样变化才能满足给定信息，而且可以指明系统参数应该怎样变化才能满足给定

2、闭环系统的性能指标要求。闭环系统的性能指标要求。4)15.0(SSKR(S) C(S) -KSSKs222)(2特征方程式特征方程式0222KSSKS21121，0K根轨迹根轨迹5 . 0KK0K0K0-1例：例：5(1)稳定性：稳定性：0K该系统对于所有的该系统对于所有的K K都是稳定的都是稳定的(2)稳态性能：稳态性能：根轨迹上的根轨迹上的K K值就值就是速度误差系数是速度误差系数(3)动态性能：动态性能：0K5 . 0KK0K0-1：欠阻尼系统：临界阻尼系统过阻尼系统5.05.0:5.00KKK6)(SG)(SH R(S) C(S) -)()(1)()(SHSGSGsqiifiiGpsz

3、sKsG11)()()(11()( )()lijHhijszH sKsp711*11()()( )( )()()flijijqhijijszszG S H SKspsp*11*11()()();,()()fhGijijnmijijKszspSmfl nqhspKsz：8hqnlfmzsKpspszsKSmjjniifihjjiG,;)()()()()(1*111*90)()(1SHSG1)()(11*niimjjpszsK）（）（1211kpszsjnjimimiinjjzspsK1110）（）（1211kpszsjnjimimiinjjzspsK11 只有在需要确定根轨迹上各点只有在需要确定

4、根轨迹上各点增益时，才使用模值条件。增益时，才使用模值条件。110111njjmiipszsK）（）（12011njmiijzsKps）（）（0Kjps Kizs 13由于闭环特征根的某些由于闭环特征根的某些是根轨迹增益是根轨迹增益K所以所以连续变化时，特征方程的某些参数也随着连续变化时，特征方程的某些参数也随着0K连续变化，所以特征根也是连续变化，所以特征根也是的。的。的函数，的函数，特征方程系数为实数，只有实数和共轭复数根，所特征方程系数为实数，只有实数和共轭复数根，所以根轨迹（根的集合）以根轨迹（根的集合）。14 ：15mnzpnimjiia11渐近线与实轴的交角分别为渐近线与实轴的交角

5、分别为 )1(,2, 1 ,0,180)12(mnqmnqa16njjmiipszsKSHSG11)()(）（）（nnnnmmmmbsasasbsbsbsK111111*111*)(mnmnsbasK证明：证明：17mnKsbasmn11111）（）（111*)()()(mnmnsbasKSHSG0)()(1sHsG0)(1111*mnmnsbasK18smnbasbamnmnsmnbasbamn)(111121)(1)1 (1121111111mnKsmnbassbasmn111)(11111）（）（19mnkjmnkKjmnbamn) 12(sin) 12(cos)(1*11jsmnKsm

6、nbassbasmn111)(11111）（）（20令实部和虚部分别相等令实部和虚部分别相等, ,有有mnkjmnkKjmnbamn) 12(sin) 12(cos)(1*11mnkKmnbamn) 12(cos)(1*11mnkKmn) 12(sin)(1*21mnzpmnbamnqmnknjmiijaa1111)1(, 2 , 1 , 0,)12(；mnkKmnbamn) 12(cos)(1*11mnkKmn) 12(sin)(1*22法则法则4 4确定实轴上的根轨迹段。若实轴上某一右边的开环零确定实轴上的根轨迹段。若实轴上某一右边的开环零点和极点个数之和为奇数，则该实轴段为根轨迹段。点和

7、极点个数之和为奇数，则该实轴段为根轨迹段。 ) 12( kij由图可见由图可见, s, s0 0点左边开环实数零极点到点左边开环实数零极点到s s0 0点的向量点的向量相角为相角为0, s0, s0 0点右边开环实数零极点到点右边开环实数零极点到s s0 0点的向量点的向量相角均为相角均为 , s, s0 0位于根轨迹上的充要条件是下列相位于根轨迹上的充要条件是下列相角条件成立角条件成立: : j j是各开环零点到是各开环零点到s s0 0点向量相角，点向量相角，设设s s0 0为实轴上的某一测试点，为实轴上的某一测试点， i i是各开环极点到是各开环极点到s s0 0向量的相角。向量的相角。

8、 因为复数共轭零、极点到实轴上因为复数共轭零、极点到实轴上的任一点的向量相角之和为的任一点的向量相角之和为2 2 ，因，因此在确定实轴上的根轨迹时，可以此在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑他们的影响。不考虑他们的影响。）（）（1211kpszsjnjimis0 2 2 3 3 1 1 1 1 4 4 2 2 3 3jw023) 12( kij) 12( kij 因为这些相角中每一个相角都等于因为这些相角中每一个相角都等于 , ,而而 与与- - 代表相代表相同角度同角度, ,于是上式条件可写成于是上式条件可写成: :j j：s s0 0点之右所有的开环实数零点到点之右所有的开环实数零点到s s

9、0 0点的向量相角和点的向量相角和 i i ：s s0 0点之右所有的开环实数极点点之右所有的开环实数极点s s0 0点的向量相角和点的向量相角和. .s0 2 2 3 3 1 1 1 1 4 4 2 2 3 3jw024z1z2z3p1p4p3p2jw025例例1 1 给定单位反馈系统的特征方程为给定单位反馈系统的特征方程为1112)4K sGH ss ss （）（）（）解解: :渐近线有渐近线有2 2条条(3-1),(3-1),其交点为其交点为绘制根轨迹的草图绘制根轨迹的草图, ,确定增益确定增益K K对闭环根的影响。对闭环根的影响。S S平面上的开环极点和零点以及平面上的开环极点和零点以

10、及实轴上的根轨迹段如图所示。实轴上的根轨迹段如图所示。开环零极点在开环零极点在S S平面的分布图平面的分布图实轴上的根轨迹段实轴上的根轨迹段oj -4-1-20265 .213142011mnzpnjmiija270,190,0aakk1 , 0,)12(kmnka渐近线与实轴的交角分别为渐近线与实轴的交角分别为渐近线有渐近线有2 2条条(3-1),(3-1),其交点为其交点为oj -4-1-20-2.527法则法则5 5根轨迹的分离角和分离点根轨迹的分离角和分离点 根据相角条件根据相角条件, ,在同一分离点分离的各条根轨在同一分离点分离的各条根轨迹分支迹分支, ,它们的切线将均分它们的切线将

11、均分360360度。度。2 2条根轨迹在分条根轨迹在分离点相隔离点相隔180180度度,4,4条根轨迹在分离点相隔条根轨迹在分离点相隔9090度。度。分离点的坐标为分离点的坐标为: :njjmiipdzd111128; 0)()(; 0)()(1111njmiijnjmiijzsKpsdsdzsKpsdszsddspsdziszsdsdpspsdsdmiinjjmimiinjjnjj111111lnln）（）（闭环特征方程是闭环特征方程是根轨迹在根轨迹在S S平面相遇说明闭环特征方程有重根出现平面相遇说明闭环特征方程有重根出现, ,设设重根为重根为d,d,则有则有29mimiiinjnjzsz

12、spspsjj1111lnlnlnln）（）（）（）（dszsddspsdmiinjj11lnln）（）（njmiijdszsddspsd11)ln()ln(30njmiijnjmiijzdpdzsps11111111njmiijdszsddspsd11)ln()ln(310)3)(2() 1(1)()(1ssssKsHsG22)1(32a)90(270,90a45. 21131211ddddd与实轴的交角为与实轴的交角为例例2 2 某反馈控制系统某反馈控制系统, ,其特征方程为其特征方程为解解: :极点数为极点数为3,3,零点数为零点数为1,1,根轨根轨迹有两条渐近线迹有两条渐近线中心点中心

13、点1 ,0,)12(kmnka渐近线与实轴上的根轨迹段如图所示。设分离点为渐近线与实轴上的根轨迹段如图所示。设分离点为d:d:oj 30212.4532法则法则6 6应用相角条件应用相角条件, ,确定根轨迹在极点处的出射角确定根轨迹在极点处的出射角( (起始角起始角) )和到零点处的入射角和到零点处的入射角( (终止角终止角) ) )12)12(1111kknjzpmjzzzpnjppmjpzijiijiijij（在很靠近待求出射角的复数极点在很靠近待求出射角的复数极点p pi i的或入射角的复数零的或入射角的复数零点点z zi i的根轨迹上的根轨迹上, ,取一点取一点s s1 1点点, ,除

14、除p pi i(z(zi i) )外外, ,所有的开环零所有的开环零极点到极点到s s1 1点的向量相角点的向量相角 zjs1zjs1和和 pjpjs1s1, ,都可以用她们到都可以用她们到p pi i( (或或z zi i) )的相角的相角 zjpizjpi( ( zjzizjzi) )和和 pjpjpipi( ( pjpjzizi) )表示。表示。设出射角为设出射角为 pjpj, ,入射角为入射角为 zizi, , 系统有系统有m m个零点个零点,n,n个极点个极点, , p pi i( (或或z zi i) )到到s s1 1点的向量相角为出射角点的向量相角为出射角 pjpj( (或入射

15、角或入射角 zizi).).根据根据s s1 1点必须满足相角条件点必须满足相角条件, ,应有应有33)12)12(1111kknjzpmjijzzzpnjijppmjpzijiijiijij（njzpmjijzzzinjijppmjpzpijijijijikk1111)12)12(（njzpmjijzzzinjijppmjpzpijijijiji111134 如果根轨迹通过虚轴如果根轨迹通过虚轴, ,则应用则应用RouthRouth判据判据, ,可以可以很容易确定出根轨迹与虚轴的交点。很容易确定出根轨迹与虚轴的交点。 也可令闭环特征方程中也可令闭环特征方程中s=js=j , ,然后令其实然后

16、令其实部和虚部等于零，求出相应的部和虚部等于零，求出相应的K K 值和值和 值值0)()1Im;0)()1Re0)()1jHjGjHjGjHjG（求出相应的求出相应的K K 值和值和 值值35012864121234ssssK0444441）（）（jsjsssK36渐近线中心点为渐近线中心点为315,225,135,45180412qA340444Aj 0-4-4+4j-4-4j-3375 .10441441411djdjddd2211118018009090135135jjmnpz pp pjj (9) (9)复极点复极点p1=4+j4p1=4+j4处的出射角处的出射角22211180180

17、9090225135jjmnpz pp pjj 复极点复极点p2=4-j4p2=4-j4处的出射角处的出射角3889.5681212833.53K266. 3089.56833.532, 12jsss4 1 64 K01286412)328)(4(2342Kssssssss33.531212833.531Kc确定满足相角条件的根轨迹确定满足相角条件的根轨迹, ,将几个点光滑连接将几个点光滑连接 390-4-j4+jj 012864121234ssssK40n=1;d=1,12,64,128,0; rlocus(n,d)012864121234ssssK41例例4 4 给定单位反馈系统的特征方程

18、为给定单位反馈系统的特征方程为）（）（）（4)(2111ssssKsGH解解: :渐近线有渐近线有2 2条条(3-1),(3-1),其交点为其交点为o绘制根轨迹的草图绘制根轨迹的草图, ,确定增益确定增益K K对闭环根的影响。对闭环根的影响。S S平面上的开环极点和零点以及平面上的开环极点和零点以及实轴上的根轨迹段如图所示。实轴上的根轨迹段如图所示。开环零极点在开环零极点在S S平面的分布图平面的分布图实轴上的根轨迹段实轴上的根轨迹段j -4-1-20423141442011mnzpnjmiija渐近线与实轴的交角分别为渐近线与实轴的交角分别为渐近线有渐近线有2 2条条(3-1),(3-1),

19、其交点为其交点为oj -4-1-205.213142011mnzpnjmiija270,190,0aakk1 , 0,)12(kmnka432.9oj -4-1-202.59 . 21141211ddddd44n=1,1; d=1,6,8,0; rlocus(n,d)）（）（）（42111ssssKsGH45P148 P148 例例4 43 3开环传递函数开环传递函数)5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1jsjsssjsjssK（试绘制该系统的概略根轨迹)5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1jsjsssjsjssK（46)5.15.0)(5.15

20、.0)(5.2()2)(2)(5.1jsjsssjsjssK（0-1.5-2+j-2-j-0.5+j1.5-0.5-j1.5-2.547n=1,5.5,11,7.5;d=1,3.5,5,6.25,0;rlocus(n,d)5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1jsjsssjsjssK（48根之和根之和nnnnnjmiijasasaszsKps11111）（）（当当n-mn-m2 2时，特征方程第二项系数与时，特征方程第二项系数与K K 无关，开环无关，开环n n个极点之和总是等于闭环特征方程个极点之和总是等于闭环特征方程n n个根之和个根之和niiniips11说明：说明

21、：当开环增益当开环增益K K 增大时，若闭环某些根在增大时，若闭环某些根在S S平面平面向左移动，则另一部分根向右移动。该法则对判断根向左移动，则另一部分根向右移动。该法则对判断根轨迹的走向是很有用的轨迹的走向是很有用的。49,2, 1,360180)(qqsPxmiinjjxsszspsK111)()(11*niimjjpszsK50已知反馈控制系统的开环传递函数为已知反馈控制系统的开环传递函数为)204)(4()()(12ssssKsHsG课堂练习：课堂练习：试绘制系统的根轨迹试绘制系统的根轨迹51selected_point = -0.0474 + 3.1553iK* =251.8369

22、52K K K K 53 绘制参数根轨迹的步骤和绘制常规根轨迹的步骤完全绘制参数根轨迹的步骤和绘制常规根轨迹的步骤完全相同相同, ,只要在绘制参数根轨迹之前引入等效单位反馈系统只要在绘制参数根轨迹之前引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念和等效传递函数概念, ,则常规根轨迹的所有绘制法则均使则常规根轨迹的所有绘制法则均使用于参数根轨迹的绘制。即用于参数根轨迹的绘制。即 A A为除为除K K 外的系统任意变化参数外的系统任意变化参数, ,而而P(s) P(s) 和和Q(s)Q(s)为两个为两个与与A A无关的首一多项式无关的首一多项式. .则等效的开环传递函数为则等效的开环传递函数为绘制根轨迹就

23、是参数绘制根轨迹就是参数A A变化时的参数根轨迹变化时的参数根轨迹. . 1)()(0)()(1sQsPAsHsG)()(sqspA54如：某系统的开环传递函数为如：某系统的开环传递函数为)(20)()(asssHsG试绘制该系统的根轨迹试绘制该系统的根轨迹解：01)(20)()(1asssHsG020)(01)(20assass0202ass0202ass02012sas等效开环传递函数等效开环传递函数5502012sas56系统系统15)15(1ssR(S)C(S)5)15(1ssR(S)C(S)系统系统3sTd1)15sTd（)15(1ssR(S)C(S)系统系统2571235)(15)

24、55 (1)(15)5 (1)5)(15)5 (1)dddsssT ssssT ssssT s（上页上页 下页下页 返回返回58)1(5)51(5)1(5)51()1(5)32sTssssTsssTsddd（系统系统2 2和系统和系统3 3闭环极点相同，但闭环零点不同闭环极点相同，但闭环零点不同。系统系统2 2和系统和系统3 3的闭环特征方程：的闭环特征方程：01)2.0(1sssTd0)1 ( 5)51 (sTssd等效开环传递函数等效开环传递函数5901)2.0(1sssTd-0.5- 0.87jTd= 0.8600600)()(011111asassassasasrnrnrnqnqnnn

25、qnn023sss例例, ,含有含有的的3 3阶系统特征方程阶系统特征方程: :610123sss当当=0=0时时, ,研究当研究当从零变到无穷大时从零变到无穷大时, ,对系统的影响对系统的影响当当 从零到无穷大时从零到无穷大时, ,根轨迹由下式确定根轨迹由下式确定, ,即即023sss0) 1(12ss62在了解了在了解了的影响的基础上的影响的基础上, ,选择不同的选择不同的值来研究值来研究的影响。具体步骤如下的影响。具体步骤如下: : 1) 1) 首先求得以为首先求得以为可变参数根轨迹可变参数根轨迹, ,并确定与并确定与合适的闭环根对应合适的闭环根对应的值的值. . 2) 2) 在取定在取

26、定后后, ,求得以求得以为可变参数的根轨迹为可变参数的根轨迹, ,并最终确定并最终确定的取值。的取值。这种参数设计方法法的局限性这种参数设计方法法的局限性: :参数必须以线性方式影参数必须以线性方式影响特征方程的系数。响特征方程的系数。 023sss63来源来源: (: (1)1)系统中包含系统中包含S S最高次幂的系数为负最高次幂的系数为负, ,是由于被控是由于被控对象如飞机对象如飞机, ,导弹的本身特性所产生导弹的本身特性所产生, ,或在系统结构图变或在系统结构图变换过程中产生。换过程中产生。 (2)(2)控制系统中本身包含有正反馈内回路控制系统中本身包含有正反馈内回路, ,是由于是由于某种性能指标要求使得系统必须包含正反馈内回路。某种性能指标要求使得系统必须包含正反馈内回路。零度根轨迹零度根轨迹定义定义: :如果研究的控制系统为非最小相角系统如果研究的控制系统为非最小相角系统(S(S右半平右半平面具有开环零极点的控制系统面具有开环零极点的控制系统), ), 此时绘制的根轨迹为此时绘制的根轨迹为零度根轨迹。零度根轨迹。64 以正反馈系统为例以正反馈系统为例, ,说明零度根轨迹的绘制方法说明零度根轨迹的绘制方法. . 正反馈系统的根轨迹方程为：正反