函数f(x+a)(a≠0)的奇偶性

1、函数f(x+a)(a0)的奇偶性安徽 夏那么勇 姚有胜对于函数y=f(x)的奇偶性，高中课程数学教科书必修1是这样定义的：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么称f(x)为这一定义域内的奇函数，奇函数的图象关于原点对称；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么称f(x)为这一定义域内的偶函数，偶函数的图象关于y轴对称。由此定义联想：对于函数y=f(x+a)(a0)，它的奇偶性又如何处理？本文就这个问题予以探讨。类似于f(x)的奇偶性定义，对于函数f(x)的定义域内任意一个x，如果都有：f(-x+a)=-f(x+a)，那么函数

2、f(x+a)是奇函数。如果都有：f(-x+a)=f(x+a)，那么函数f(x+a)是偶函数。由于满足f(-x+a)=-f(x+a)图象的性质是：f(x)图象关于点(a,0)对称，满足f(-x+a)=f(x+a)图象的性质是：f(x)图象关于直线x=a对称。结论:如果函数f(x+a)是奇函数，那么f(x)图象关于点(a,0)对称。如果函数f(x+a)是偶函数，那么f(x)图象关于直线x=a对称。例1.x1时，f(x)的表达式是 Ax2+1Bx2-2x+2Cx2-4x+5Dx2+2x+2分析：y=f(x+1)是偶函数，由上述结论，f(-x+1)=f(x+1)，即f(x)=f(2-x)，由条件，x1

3、时，2-x1，得f(2-x)=(2-x)2+1=x2-4x+5, f(x)=x2-4x+5。答案：C。例2函数f(x)的定义域是x1且xR，己知f(x+1)为奇函数，当x1时的f(x)及此时的递减区间。解:y=f(x+1)为奇函数f(-x+1)=-f(x+1)，令1-x=t，得f(t)=-f(2-t)即f(x)=-f(2-x)。当x1时，有2-x1时,f(x)=-2x2+7x-7显然，由此函数知：当x1时，f(x)的递减区间是，+例3己知函数y=f(x)在(0,2)上是增函数且y=f(x+2)是偶函数，试比拟f(1)，f()，f()的大小。解:y=f(x+2)是偶函数，f(x)图象关于直线x=

4、2对称，且f(x+2)=f(-x+2)f()=f(2+)=f(2-)=f() f()=f(2+)=f(2-)=f()1,而f(x)在(0,2)上是增函数, f()f(1)f()即f()f(1)0,0)是R上的偶函数，且 f(+x)为奇函数，且在区间0,上是单调函数，求和的值。(2003年全国高校招生统一考试文史类高考题改编)分析 由f(x+)是奇函数，因而函数f(x)图象关于点M(,0)对称。且有f(-x+)=-f(+x)。解:由f(x)是R上的偶函数,得f(-x)=f(x)，即有：sin(-x+)=sin(x+)，展开化简得，-cossinx=cossinx对任意xR都成立，且0.得cos=0，由条件0得=。 f(+x)是奇函数，得f(x)的图象关于点M(,0)对称，有f(-x) = -f(+x)f(x)是定义在R上的函数，令x=0得f() = -f()f()=0 , 即sin(+)=cos=0。又0,得=+k,(k=0,1,2,), =(2k+1)(k=0,1,2,).当k=0时，=，f(x)=sin(x+)，当x0, 时，x+，f(x)在0,上是减函数。当k=1时，=2，f(x)=sin(2x+)，当x0, 时，那么