大学物理 刚体2

1、1第四章第四章 刚体的运动规律刚体的运动规律刚体定轴转动的转动定律的应用刚体定轴转动的转动定律的应用 例例1 1；例；例2 2；例；例3 33 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律4刚体转动中动能定理刚体转动中动能定理4.1 力矩的功力矩的功4.3 刚体定轴转动中的动能定理刚体定轴转动中的动能定理例例1 1；例；例2 2；例；例3 3作业：作业：4-7，4-8，4-94.2 刚体定轴转动中的动能刚体定轴转动中的动能23 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律作用于刚体上的力对作用于刚体上的力对转轴的力矩转轴的力矩，实际就是，实际就是该力对原点力矩在该力对原点力矩在转轴上的分量转轴

2、上的分量。证明：。证明：外外外外外外iiiiiiiFRkzFrM )(zOiRir 外外iFimiz)()(/Z 外外外外iiiiiFFRkz iiiiiiiiiFRFRFkz)()()(/Z /外外外外外外外外/iF是第是第i个质元所受外力在垂直于轴平面内的分量个质元所受外力在垂直于轴平面内的分量3 iiiZFRkM)(/外外所以外力矩在转轴上的分量（前两项不在转轴上）：所以外力矩在转轴上的分量（前两项不在转轴上）：dtdIdtdLMZZZ ZI就是刚体绕定轴（就是刚体绕定轴（Z轴）的转动惯量轴）的转动惯量 iiizRmI2定定义义转动惯量与刚体形状、质量转动惯量与刚体形状、质量分布和与转轴

3、位置有关。分布和与转轴位置有关。根据质点组角动量定理，得根据质点组角动量定理，得刚体定轴转动的刚体定轴转动的转动定律转动定律刚体所受的对于某一固定转轴的刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩合外力矩等于刚体对此转轴的等于刚体对此转轴的转动惯量转动惯量与刚体在此与刚体在此合外力矩作用下所获得的合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积角加速度的乘积。物理物理意义意义m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，I反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性4例例1 1：一个质量为一个质量为m0半径为半径为的定滑的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂绳的

4、一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为一质量为m的物体而下垂。忽略轴处的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体摩擦，求物体m由静止下落高度由静止下落高度h时时的速度和此时滑轮的角速度。的速度和此时滑轮的角速度。 滑滑轮轮：对对ITRMm 0解：解：该例中要计及滑轮的质量该例中要计及滑轮的质量R mTgm0gmT0mhN2021RmI滑滑轮轮 5 RamaTmgm :；对对20021RmIITRMm；：对对滑滑轮轮滑滑轮轮 gmmma20 v0242mmmghah 0241mmmghRR v TT 解方程得出：解方程得出：maRaRmRmg 2021 6LLLLddtMtLL12021刚体角动量定理的刚

5、体角动量定理的积分形式积分形式等式右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量等式右边为刚体对同一转动轴的角动量的增量12IILI I不变时不变时: :1122IILI I也改变时也改变时: :角动量守恒定律角动量守恒定律0,0 ZZZZLMdtdLM则中，若在0,0LM则若刚体定轴转动的刚体定轴转动的转动定律转动定律实质是角动量定理的沿固实质是角动量定理的沿固定轴方向的分量式的一种特殊形式。定轴方向的分量式的一种特殊形式。如例如例4.64.67 的原因，可能是的原因，可能是 或或 ，也可能是也可能是0M0F0rrF/在定轴转动中还有可能是在定轴转动中还有可能是 , 但它与轴平行，但它与轴平行，即即

6、对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动量依然守恒。角动量依然守恒。0ZM0M相对质心的角动量相对质心的角动量内部角动量内部角动量相对相对L系的角动量系的角动量外部角动量外部角动量角动量角动量 定理在质心系中也成立。定理在质心系中也成立。而不论质心系是否为惯性系。而不论质心系是否为惯性系。CCCmrLLv dtLdMCC8例例2、一根长为一根长为 l、质量为、质量为M的均匀细直棒，其的均匀细直棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。今有一子弹质量为一子弹质量为m，以水平速度以水平速度 0射入棒的下端而不复射入

7、棒的下端而不复出。求子弹和棒开始一起运动时出。求子弹和棒开始一起运动时角速度。角速度。解：取棒和子弹为系统，碰撞过程时解：取棒和子弹为系统，碰撞过程时间极短，在此过程中棒的位置基本不间极短，在此过程中棒的位置基本不变，所以重力和轴上支持力对变，所以重力和轴上支持力对O点的点的力矩都为零，所以系统的角动量守恒：力矩都为零，所以系统的角动量守恒：20 31lMmlvmlv2 31lMI IL lvMmm033OMm0vvllv 碰撞过程中轴上碰撞过程中轴上有水平分力，所以有水平分力，所以动量不守恒动量不守恒9例例3：一根长为一根长为 l质量为质量为 m的棒，置于无摩擦的水平面的棒，置于无摩擦的水平

8、面上，在一很短的时间间隔上，在一很短的时间间隔 t内，这棒受一力内，这棒受一力F打击而产打击而产生一个冲量，这力作用在生一个冲量，这力作用在 p点上，点上， p至质心的距离为至质心的距离为a，试求试求: (1)质心的速度？质心的速度？(2)绕质心的角速度绕质心的角速度? cQpFab(4)证明若这力在证明若这力在Q处，则撞击中心在处，则撞击中心在p点。点。解解(1)mtFtvC)(FamC0)0(Cv质心速度方向与质心速度方向与 相同相同FFtvtvmCC)0()(3)确定一点确定一点Q，它在，它在L参照系中参照系中从最初就保持静止，并证明从最初就保持静止，并证明b=k2/a ，式中式中k是绕

9、质心的回转半径。点是绕质心的回转半径。点Q叫做撞击中心。叫做撞击中心。10(2) 在质心参照系中：在质心参照系中：dtdLaFCCCILIC为通过质心垂直于棒轴的转动惯量，已知：为通过质心垂直于棒轴的转动惯量，已知：2mkIC0)0(aFttmk)0()(2tmkaFt2)(11(3) 在在L系中若要系中若要0QvbvvCQ02btmkaFtmF012bkaakb2(4) 交换交换a、b可证明可证明p、Q互为共轭点互为共轭点bka212习题习题4-4 以垂直于盘面的力以垂直于盘面的力F 将一将一粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上，粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上，使其制动，如图所示。飞轮可以看使其制动，

10、如图所示。飞轮可以看作是质量为作是质量为m、半径为、半径为R的匀质圆的匀质圆盘，盘面与粗糙平面间的摩擦系数盘，盘面与粗糙平面间的摩擦系数为为，轴的粗细可略，飞轮的初始，轴的粗细可略，飞轮的初始角速度为角速度为 。(a)求摩擦力矩；求摩擦力矩；(b)经过多长时间，飞轮才停止转动？经过多长时间，飞轮才停止转动？0RrdrF 0解：解：dNrdM FRdMMR 320 rdrRFdN 22 13)21(2mRIM 又又 tIMdt000或或FmRMmRt 4321 002 FRdMMR 320 |0MIt t 00 144.14.1力矩的功力矩的功zOiRir 外外iFimiz/外外iFimiRO

11、d iiiirdFFdA )(/外外外外iiirdFdA 外外iiRdF /外外iiiRdFF )(/外外外外)0(iiRdF外 cos/dRFii 外外俯视图俯视图因为各质元在因为各质元在Z方向无位移。方向无位移。4 刚体转动中动能定理刚体转动中动能定理15 /外外iFimiRO d iiiirdFFdA )(/外外外外iiRdF /外外iiiRdFF )(/外外外外 cos/dRFii 外外 sin/dRFii 外外 dFRii|/外外 iiiiZFRkM)(/外外 dMdAiZi 力对转动物体作的功等于该力对轴的力力对转动物体作的功等于该力对轴的力矩和作用点绕该轴转动的角位移的乘积。矩和

12、作用点绕该轴转动的角位移的乘积。力矩力矩的功的功就是力矩在就是力矩在该轴上的分量该轴上的分量16刚体内一对内力对定轴力矩的功为零刚体内一对内力对定轴力矩的功为零jjiiijijrdFrdFdA zOiRir ijFimjmjiFjrjiijFF )(jiijijrdrdFdA 0 )()(jijirrdrdrd0 ijdA刚体在作定轴转动时。合外力对转动物体作刚体在作定轴转动时。合外力对转动物体作的功，等于该合外力对转该轴的合力矩的功的功，等于该合外力对转该轴的合力矩的功 iiiirdFFdA）（内内外外 dMdMdAZiZi合合外外外外 174.2 刚体定轴转动中的动能刚体定轴转动中的动能

13、iiiiiiKRmmE222121)(v 2222121 IRmiii )(2mdIIC 2221 )(mdIECk 222221212121 CCCCkImIrmE v)(2222121 CkIdmE 刚体定轴转动的动能等于质心动能刚体定轴转动的动能等于质心动能(平动平动)与绕过质心的平行轴的转动动能之和。与绕过质心的平行轴的转动动能之和。适于刚体适于刚体的任一运动的任一运动Crood zdmziRc184.3 刚体定轴转动中的动能定理刚体定轴转动中的动能定理zOiRir ivimiz21222121 II 21 dIdtdtdI 21 ddtdI 21 21 dMZ刚体定轴转动中动能变化的

14、原因刚体定轴转动中动能变化的原因是力矩做功；将定轴转动的转动是力矩做功；将定轴转动的转动定律两边乘以定律两边乘以d d 再同时对再同时对 积分：积分：初初末末KKEEA 初初末末KKZEEdM 21 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。体的转动动能的增量。称为定轴转动的动能定理。称为定轴转动的动能定理。19 刚体的重力势能刚体的重力势能初初末末初初末末CCCpCpmghmghEE )(结论：结论：刚体的重力势能相当于它的全部刚体的重力势能相当于它的全部 质量集中在质心时所具有的势能。质量集中在质心时所具有的势能。机械能

15、守恒机械能守恒对于刚体对于刚体，若，若在运动过程中只有保守在运动过程中只有保守外力外力（重（重力）力）作功作功, , 则则包括包括地球的地球的系统机械能守恒系统机械能守恒。将重力看成是刚体受到的外部保守力将重力看成是刚体受到的外部保守力, ,按质心的按质心的定义，重力作的功等于质心势能的变化。定义，重力作的功等于质心势能的变化。)(末末初初末末初初末末初初CpCpCOiiOiEErdgmrdgm 20例例1 1：一个质量为一个质量为m0半径为半径为的定滑轮的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量一端固定在滑轮边上，另一端挂一

16、质量为为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体物体m由静止下落高度由静止下落高度h时的速度。时的速度。RmTgm0gmT0mhN解：解：地球、滑轮、物体地球、滑轮、物体m组成的系统，组成的系统，外力对其作功为零，所以滑轮质心动外力对其作功为零，所以滑轮质心动能与物体能与物体m的动能的动能 、势能之和是个守、势能之和是个守恒量。恒量。0212122 mghmIv024mmmghR vv 可可解解出出 2021RmI 21例例2、一根长为一根长为 l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端有的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。一固定的光滑水

17、平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角速角时的角速度和角加速度。度和角加速度。解：取棒和地球为系统，解：取棒和地球为系统，棒下摆过程中轴对棒的支棒下摆过程中轴对棒的支持力不作功，只有重力作持力不作功，只有重力作功，系统机械能守恒。取功，系统机械能守恒。取水平初始位置为势能零点：水平初始位置为势能零点：2210 ImghC Odmgdmxgmcx231mlI sinlhC21 lg sin3 Ch22重力对整个棒的合力矩与全部重力重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。集中作用在质心所产生的力矩一样。

18、coslxC21 cosmglM21 lgmlmglIM2331212 coscos CmgxM Cmxxdm Odmgdmxgmc231mlI x xdmggxdmM 外力矩为重力对外力矩为重力对O的力矩的力矩23习题习题4-14 质量为质量为m长为长为l的匀质细杆，的匀质细杆，可绕端点可绕端点O的固定水平轴转动，把杆抬的固定水平轴转动，把杆抬平后无初速地释放，当杆摆至竖直位置平后无初速地释放，当杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰。时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰。小球的转动不计，它的质量和杆相同，小球的转动不计，它的质量和杆相同，并且碰撞是完全弹性的，轴上摩擦也忽并且碰撞是完全弹性的，轴上摩擦也忽略不计，略不计，求碰后小球的速度求碰后小球的速度v。moml解：摆下（定轴转动）解：摆下（定轴转动）能量守恒能量守恒2231212)(mllmgmvlmlml