电路原理-一阶电路和二阶电路

1、第九章第九章 一阶电路和二阶电路一阶电路和二阶电路3.一阶动态电路的时间常数及其物理含义一阶动态电路的时间常数及其物理含义5.一阶动态电路的全响应求解方法：三要素法一阶动态电路的全响应求解方法：三要素法2.一阶动态电路的零输入响应一阶动态电路的零输入响应 及其标准求解方法及其标准求解方法1. 零输入响应、零状态响应、全响应的概念零输入响应、零状态响应、全响应的概念4.一阶动态电路的零状态响应及其求解方法一阶动态电路的零状态响应及其求解方法本章内容提要6.电容电压和电感电流不连续电路的响应求解电容电压和电感电流不连续电路的响应求解9-1 动态电路的响应的分类动态电路的响应的分类 换路换路: 电源

2、的接入或断开、电路结构或元件参数的突然电源的接入或断开、电路结构或元件参数的突然改变等引起电路的变化统称为改变等引起电路的变化统称为“换路换路”。 对电路的分析往往以换路为计时起点，即令对电路的分析往往以换路为计时起点，即令t0时发时发生换路。换路前的一瞬时起为生换路。换路前的一瞬时起为t0，换路后的一瞬时记，换路后的一瞬时记为为t0，并认为换路在，并认为换路在0至至0瞬间完成。瞬间完成。 原始状态：原始状态：动态电路在动态电路在t0时的集合时的集合uC(0)、iL(0)初始状态：初始状态：动态电路在动态电路在t0时的集合时的集合uC(0)、iL(0)动态动态电路电路响应响应零输入响应零输入响

3、应 电路在没有输入激励的情况下，仅由非零原电路在没有输入激励的情况下，仅由非零原始储能（即由始储能（即由uC(0)和和iL(0)决定的电路中的储决定的电路中的储能）所引起的响应能）所引起的响应 电路在零状态下电路在零状态下即即uC(0)0 、 iL(0)0，仅由输入激励引起的响应仅由输入激励引起的响应 零状态响应零状态响应 一个非零状态的电路，由输入激励和非零原一个非零状态的电路，由输入激励和非零原始储能共同产生的响应始储能共同产生的响应 全响应全响应 对于线性动态电路而言，全响应等于零输入对于线性动态电路而言，全响应等于零输入响应与零状态响应的叠加。响应与零状态响应的叠加。 9-2 一阶电路

4、的零输入响应一阶电路的零输入响应一、一、RC电路的零输入响应（电路的零输入响应（ZIR） 只含有一个电容元件或一个电感元件，其余元件均为只含有一个电容元件或一个电感元件，其余元件均为电阻元件、受控源的电路是零输入的电阻元件、受控源的电路是零输入的一阶电路一阶电路。 Rcu0)S( ti+-C+-Ru 图示电路，图示电路，S闭合前一瞬间的电容电压闭合前一瞬间的电容电压uC(0)U0，S闭合后电路中的响应是零输入响应。闭合后电路中的响应是零输入响应。0ddCCutuRC电路方程电路方程0)0()0(UuuCC初始条件初始条件解得解得0e0tUuRCtC0edd0tRUtuCiRCtCCuO0U03

5、68. 0)(UuC0135. 0)2(UuC005. 0)3(UuC00068. 0)5(UuC2345ttiRU0ORCtCUue0RCtRUie0 从图中可以看出，从图中可以看出，uC和和 i 都是从各自的初始值按相同的指都是从各自的初始值按相同的指数规律衰减，衰减的快慢取决于指数函数中数规律衰减，衰减的快慢取决于指数函数中 的大小。仅取的大小。仅取决于电路的结构和元件的参数。决于电路的结构和元件的参数。RC1 是一个衰减因子，是一个衰减因子，RC具有时间的量纲。对于给定的具有时间的量纲。对于给定的RC电路，电路，R和和C的乘积是一个常量，称为的乘积是一个常量，称为RC电路的电路的时间常

6、数时间常数，用用 表示，即表示，即 RCteRC关于时间常数关于时间常数 的说明：的说明：（1）时间常数是体现一阶电路惯性特性的参数，它只与电）时间常数是体现一阶电路惯性特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。路的结构与参数有关，而与激励无关。（2）对于含电容的一阶电路，）对于含电容的一阶电路，RCR：由动态元件看进去的戴维宁等效电阻：由动态元件看进去的戴维宁等效电阻 秒安培秒安培伏特库仑安培伏特（3） 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，是反的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，是反映过渡特性的一个重要物理量，映过渡特性的一个重要物理量， 越大，电惯性越大，相同越大，电惯

7、性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。初始值情况下，放电时间越长。时，时，0t000)0(UeUuC时，时，t010368. 0)(UeUuC因此，因此， 就是就是 衰减到衰减到 所需的时间。所需的时间。)(0tuC)(%8 .360tuC uC U0 0.368U0 O 1 2 3 t 123 理论上要经过无限长时间理论上要经过无限长时间uC才衰减至零，工程上一般认才衰减至零，工程上一般认为换路后，经过为换路后，经过 时间过渡过程结束。时间过渡过程结束。53 t 0uCU0 0.368U00.135U0 0.05U00.0184U00.0068U02345（4）一阶电路微分方程的特征根为时

8、间常数的倒数，它具）一阶电路微分方程的特征根为时间常数的倒数，它具有频率的量纲，称为有频率的量纲，称为“固有频率固有频率”。例例9-2-1 图示电路，图示电路，t0 时开关时开关S断开，已知开关断断开，已知开关断开前电路已工作了很长时间，求换路后的响应开前电路已工作了很长时间，求换路后的响应uC、iC、iR。二、二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应 0ddLLRitiL电路方程电路方程0)0()0(IiiLL初始条件初始条件解得解得0e0tIitLRL0edd0tRItiLutLRLLSULi+-Lu+-RL0)S( tSR 图示电路，图示电路，S断开电路中的电流和电压已稳定，断开电路中的

9、电流和电压已稳定，S断开断开前一瞬间的电感电流前一瞬间的电感电流 。S断开后电路中断开后电路中的响应是零输入响应。的响应是零输入响应。0ss)0(IRuiL Li0I0368. 0Itt0RILuOORL电路的时间常数：电路的时间常数：RL0edd0tRItiLutLL0e0tIitL则有则有三、一阶电路的零输入响应的结论三、一阶电路的零输入响应的结论 2. RC电路和电路和RL电路中的零输入响应电压和零输入响应电电路中的零输入响应电压和零输入响应电流都以同一时间常数按指数规律变化。经过流都以同一时间常数按指数规律变化。经过 以后，以后，可认为响应已接近于零，过渡过程即告结束。可认为响应已接近

10、于零，过渡过程即告结束。 54 1. 求解求解RC电路和电路和RL电路零输入响应的输入电路零输入响应的输入输出方程输出方程是一阶齐次方程，方程的解的函数形式为是一阶齐次方程，方程的解的函数形式为 ，令，令特征根特征根 ，则，则 是电路的时间常数，是电路的时间常数，RC电路的时间常电路的时间常数数 ，RL电路的时间常数电路的时间常数 。因此，零输入响应。因此，零输入响应亦为亦为 ptrtre )0()(1pRCRLtrtre )0()()0(r（ 为响应的初始值）为响应的初始值）例例9-2-2 9-2-2 求图示电路换路后的响应求图示电路换路后的响应 、 、 。CuCiRi9-3 一阶电路的零状

11、态响应一阶电路的零状态响应零状态响应（零状态响应（ZSR）：电路在零初始状态下（动态元件初始）：电路在零初始状态下（动态元件初始储能为零），由外施激励引起的响应。储能为零），由外施激励引起的响应。一、电路方程一、电路方程 图（图（a）所示电路，已知）所示电路，已知 ，开关，开关S闭合以后电路闭合以后电路中的响应即为零状态响应。中的响应即为零状态响应。00Li(a)(b)210dd2LLiti0A)e2.02.0(5titL0V)(25tteutL解得解得二、一阶电路零状态响应二、一阶电路零状态响应电路方程及解的一般形式电路方程及解的一般形式 )(ddtfartr 式中式中r为待求响应，为待求响

12、应，f(t)为由激励决定的右端项，其函数形为由激励决定的右端项，其函数形式取决于激励的函数形式。式取决于激励的函数形式。特解特解 （取决于激励函数的形式）（取决于激励函数的形式）fr通解通解 （当（当 时，衰减为零）时，衰减为零）tAr1tet tArrrr1ftfe全解全解由初始条件由初始条件 解得解得 0r)0()0(frrA210dd2LLiti指数由特征方程的特征根决定幅度由初始条件和特解共同决定故方程的解为故方程的解为 trrrre)0()0(ffrf强迫响应；强迫响应； rf(0+)强迫响应的初值；强迫响应的初值；r(0+)响应初值；响应初值； 电路的时间常数。电路的时间常数。上式

13、为一阶电路的解得一般形式，是普遍适用的。上式为一阶电路的解得一般形式，是普遍适用的。 r(0+)、 rf、被称为一阶电路的解的三要素。被称为一阶电路的解的三要素。 一阶电路零状态响应解的求法一阶电路零状态响应解的求法trrrre)0()0(ff1. 根据换路前电路的状态，确定待求量的初值根据换路前电路的状态，确定待求量的初值2. 将电路中除动态元件以外的电路用戴维南等效将电路中除动态元件以外的电路用戴维南等效电路代替，确定电路时间常数电路代替，确定电路时间常数3. 求解电路的强迫响应求解电路的强迫响应)0(r强迫响应的求解强迫响应的求解n强迫响应就是在激励作用下，电路趋于强迫响应就是在激励作用

14、下，电路趋于稳态后的响应。稳态后的响应。n当激励为常量时，响应也为常量，此时当激励为常量时，响应也为常量，此时问题转换为求解问题转换为求解 时，电感元件等时，电感元件等效为短路，电容元件等效为开路后，电效为短路，电容元件等效为开路后，电路中的响应路中的响应n当激励为正弦量时，响应为与激励同形当激励为正弦量时，响应为与激励同形式的正弦量，此时问题转换求解电路的式的正弦量，此时问题转换求解电路的正弦稳态响应，可采用向量法正弦稳态响应，可采用向量法t例例9-3-1 9-3-1 在（在（a a）所示电路中，）所示电路中， ，开关开关S S在他在他t0 0时闭合，求闭合后电路中的电流时闭合，求闭合后电路

15、中的电流i。 )sin(mstUu(a)(b) r(0+)、 rf、被称为一阶电路的解的三要素。被称为一阶电路的解的三要素。 trrrre)0()0(ff例例 9-3-2 9-3-2 在图（在图（a a）所示电路中，已知）所示电路中，已知 ， 的波形如图（的波形如图（b b）所示，求）所示，求 、 。 00CusiCuCi(a)(b)trrrre)0()0(ff9-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。 如下图所示，设 uC =uC(0-)=U0，S在t=0时闭合，显然电路中的响应属于全响应。RC电路的全响应对对t0的电路，以的电路，以u

16、C为求解变量可列出描述电路的微分为求解变量可列出描述电路的微分方程为方程为 0)0(UuUudtduRCCSCC 1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的形式，即StCUKeu代入初始条件 uC (0+)=U0 得 K= U0 - US1式从而得到StSCUeUUu)(0 通过对1式分析可知，当US=0时，即为RC零输入电路的微分方程。而当U0=0时，即为RC零状态电路的微分方程。这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第一项为齐次微分方程的通

17、解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。2式中第二项US = uC()受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量。这样有 全响应=暂态响应+稳态响应 2式2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。将2式改写后可得：)1 (0tStCeUeUu 3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加，即 全响应=零输入响应+零状态响应 3式 非零状态非零状态的电路（的电路（ 、 ），在换路），在换路以后

18、，由以后，由输入激励输入激励和和非零原始储能非零原始储能共同产生的响应共同产生的响应称为称为全响应全响应。 00Cu00Li 对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应之和。应之和。 对于直流激励的一阶动态电路，通常采用三要素对于直流激励的一阶动态电路，通常采用三要素法求解。法求解。StSCUeUUu)(0三要素法：三要素法：teyyyty)()0()()(-为时间常数为时间常数 。1、三要素法的计算公式、三要素法的计算公式)(ty-为任意瞬时电路中的待求电压或电流；为任意瞬时电路中的待求电压或电流；)0(y-为相应所求量的初始值；为相应所求量的初始

19、值；)(y-为相应的稳态值；为相应的稳态值；一阶动态电路响应的分类：一阶动态电路响应的分类：1）零输入响应与零状态响应）零输入响应与零状态响应)1 ()(0tstCeUeUtu零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应2）自然响应与强迫响应、暂态响应和稳态响应）自然响应与强迫响应、暂态响应和稳态响应tssCeUUUtu)()(0强迫响应强迫响应稳态响应稳态响应自然响应自然响应暂态响应暂态响应直流激励下的全响应三要素求解法直流激励下的全响应三要素求解法 一、一、 确定初始值确定初始值 f (0+) 初始值初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时时的数值。的数值。

20、(1) 先作先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或或iL(0-), 这个状态即为这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容此时电路中电容C视为开路，电感视为开路，电感L用短路线代用短路线代替。替。(2) 作作t=0+ 电路。这是电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值确定各变量的初始值。若。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此电路中在此电路中C用电压源用电压源U0代替，代替，图电容、电感元件在t=0时的电路模型L用电流源I0代替。若uC(0+)=

21、uC(0-)=0 或 iL(0+)=iL(0-)=0，则C用短路线代替，L视为开路。见下图。作t=0+ 电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u (0+)、i (0+)。二、确定稳态值f() 作t=电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u()、i()。在直流激励的电路中，电容C视为开路，电感L用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。三、求时间常数 RC电路中，=RC；RL电路中，=L/R；其中，R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的R0)。 21111CCC电容串联电容串联21CCC电容并联电容并联21L

22、LL电感串联电感串联21111LLL电感并联电感并联例题：已知例题：已知t 0+时的时的iL和和i0 1k uS(t) (V) + + 10 10F uS(t) uC(t) O 2 3 t (s) _ _ -20)(tuC例题：电路如图所示，电容上原来无储能例题：电路如图所示，电容上原来无储能 求求skRC01. 01011 1） 时时: : st20VetutC)1 (10)(1001VeuC10)1 (10)2(21001解：该电路的时间常数为解：该电路的时间常数为方法一：子区间三要素法方法一：子区间三要素法 2 2） 时时: :sts32VeetuttC)2(100)2(10023020

23、)20(1020)(VeuC203020) 3()23(10023 3） 时时: :st3VeetuttC)3(100)3(100320)020(0)(VeuC203020) 3()23(1002响应曲线：响应曲线： uC(t) (V) 10 O 2 3 t(s) -20 以上解题中注意两个问题：以上解题中注意两个问题： 1）用上一个分段区域求得的状态变量函数式计算下一个）用上一个分段区域求得的状态变量函数式计算下一个分段区域的初始值；分段区域的初始值； 2）对起始点不在计时零点区域的响应，在直接列写结果）对起始点不在计时零点区域的响应，在直接列写结果时应该将时间延迟加入计算式中。时应该将时间

24、延迟加入计算式中。 方法二：叠加法方法二：叠加法 )3(20)2(30)(10)(ttttuS)1 (10)(10100tet)1 (30)2(30)2(100tet)1 (20) 3(20)3(100tet利用单位阶跃函数写出激励的表达式：利用单位阶跃函数写出激励的表达式：ststsstVeVeVetetetetuttttttC33220 203020)1 (10) 3()1 (20) 2()1 (30)()1 (10)() 3(100)2(100100) 3(100)2(100100将各个部分响应叠加：将各个部分响应叠加：9-5 电容电压、电感电流电容电压、电感电流 不连续的一阶电路不连续的一阶电路 例例9-5-1 9-5-1 在图示电路中，在图示电路中，C1=2F，C2=1F，R=5，开，开关关S S在在t = 0时闭合，若时闭合，若S S闭合前一瞬间闭合前一瞬间 ， ，求，求S S闭合后的电压闭合后的电压uC1、i1、i2、iR。V6)0(1Cu200Cu1i