Three奥本海姆信号与系统

1、w FOURIER SERIES REPRESENTATION FOURIER SERIES REPRESENTATION OF PERIODIC SIGNALSOF PERIODIC SIGNALS第第3 3章章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示本章内容本章内容. . 周期信号的频域分析周期信号的频域分析. LTI. LTI系统的频域分析系统的频域分析. . 傅立叶级数的性质傅立叶级数的性质3.0 3.0 引言引言 IntroductionIntroduction w 时域分析方法的根底：时域分析方法的根底：w 1 1信号在时域的分解。信号在时域的分解。w 2 2LTILTI

2、系统满足线性、时不变性。系统满足线性、时不变性。2.2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。1.1.本身简单，且本身简单，且LTILTI系统对它的响应能简便得到。系统对它的响应能简便得到。v 从分解信号的角度出发，根本信号单元从分解信号的角度出发，根本信号单元必须满足两个要求：必须满足两个要求：3.2 LTI3.2 LTI系统对复指数信号的响应系统对复指数信号的响应The Response of LTI Systems to The Response of LTI Systems to Complex ExponentialsComplex Expo

3、nentialsv 考查考查LTILTI系统对复指数信号系统对复指数信号 和和 的响应的响应stenzste ty thnz nh ny由时域分析方法有由时域分析方法有 s tstssty tehdehedH s e nkknkknzzHzkhzkhzny 结论结论 ： 2. 2.一个一个LTILTI系统对复指数信号的响应也是同样系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化。一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化。连续时间：连续时间： ststesHe离散时间：离散时间： nnzzHz 1.LTILTI系统对复指数信号的响应容易求得。这系统对复指数信号的响应容易求得

4、。这说明说明 和和 符合对单元信号的第一项要求。符合对单元信号的第一项要求。stenz 、 是复振幅因子。当是复振幅因子。当 一定，一定， 、 是一个常数。是一个常数。 zHsz、 sH sH zHw 一个信号，假设系统对该信号的输出响应仅一个信号，假设系统对该信号的输出响应仅是一个常数可能是复数乘以输入，那么是一个常数可能是复数乘以输入，那么称该信号为这个系统的特征函数。幅度因子称该信号为这个系统的特征函数。幅度因子系统对该信号加权的常数称为系统与特系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对应的特征值。征函数相对应的特征值。特征函数特征函数 (Eigenfunction)(Eigenfun

5、ction)结论：结论：v 复指数函数复指数函数 、 是一切是一切LTILTI系统的特系统的特征函数。征函数。 、 分别是分别是LTILTI系统与复指系统与复指数信号相对应的特征值。数信号相对应的特征值。stenz sH zH dtethsHst nnH zh n z 对时域的任何一个信号对时域的任何一个信号 或者或者 , , tx nx令：令： tststseaeaeatx321321 利用系统的齐次性与叠加性利用系统的齐次性与叠加性* *问题：问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？信号的线性组合来表示？所以有所以有由于由于 tstses

6、He111 tstsesHe222 tstsesHe333 tststsesHaesHaesHatytx321332211 一般的：一般的： ktskkeatx ktskkkesHaty knkkzanx knkkkzzHanyFourier Series Representation of Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic SignalsContinuous-Time Periodic Signals3.3 3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表连续时间周期信号的傅里叶级数表示示一一. . 连续时间傅里叶级数连

7、续时间傅里叶级数 成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集: : ，其中每个信号都是以，其中每个信号都是以 为为周期的，它们的公共周期为周期的，它们的公共周期为 ，且该集合中，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。所有的信号都是彼此独立的。 tjkket0 ,k210 02 k02 则则将信号集中所有的信号线性组合，将信号集中所有的信号线性组合，,k210 ktjkkeatx0 显然显然 也是以也是以 为周期。该级数称为为周期。该级数称为傅里叶级数傅里叶级数， 称为傅立叶级数的系数。称为傅立叶级数的系数。 假设任意连续时间周期信号可以用傅里叶假设任意连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示，

8、即级数表示，即: : 连续时间周期信号可以分解连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量成无数多个复指数谐波分量。 tx02 k 傅里叶级数说明：连续时间周期信号可以按傅傅里叶级数说明：连续时间周期信号可以按傅立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线立叶级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。性组合。该信号中，只含有一次谐波分量，该信号中，只含有一次谐波分量， 为相应分量的加权因子为相应分量的加权因子即傅立叶系数即傅立叶系数211 a例例1 1 tjtjeetcostx0021210 在该信号中，含有一次和三次谐波分量。在该信号中，含有一次和三次谐波分量。例例2 2： tjtjtjt

9、jeeeetcostcostx000033002132 二二. .频谱频谱SpectralSpectral的概念的概念 在傅里叶级数中，各个信号分量谐波分在傅里叶级数中，各个信号分量谐波分量量 间的区别也仅仅是幅度可以是复数间的区别也仅仅是幅度可以是复数和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。 信号集信号集 中的每一个信号，除了成谐中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间波关系外，每个信号随时间 的变化规律都是的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。一样的，差别

10、仅仅是频率不同。 tk t这样绘出的图这样绘出的图称为称为频谱图频谱图0 1 分量分量 可表示为可表示为tje0 1212 0 0 0 表表示示为为tjtjeetcos00210 0 0 0a1a2a3a3a 2a 1a gggggggg 因此，当把周期信号因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数表示为傅里叶级数 时，就可以将时，就可以将 表示为表示为 tx ktjkkeatx0 tx三.傅里叶级数的其它形式傅里叶级数的其它形式 频谱图其实就是将频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，随频率的分布表示出来，即即 的关系。由于的关系。由于信号的频谱完全代表了信号的频谱完全代表了信号信号，研究它的频谱

11、就等于研究信号本身。因，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为此，这种表示信号的方法称为频域表示法频域表示法。ka ak，于是，于是 若若 是实信号是实信号, ,则有则有 tx txtx ktjkkktjkkktjkkktjkkeaeaeaeatx0000或或*kkaa kkaa 若令若令，而，而 为实数。于是为实数。于是kjkkeAa 0a 1011000000kjtjkkjtjkkktkjkktkjkktjkjkkkkkkeeAeeAaeAeAaeeAtxkkjjkkkkaaA eA e 又又 即即：kkAA kk 表明表明 的的模关于模关于 偶对称偶对称，幅角关于幅

12、角关于 奇对称奇对称。kakk 傅里叶级数的三角函数表示式傅里叶级数的三角函数表示式 00010012coskkjktjjktjkkkkkkx taA eeA eeaAkt 若令若令则则kkkjCBa 101100000ktjkkktjkkkktjkkkktjkkkejCBejCBaejCBejCBatxkkaa kkkkjCBjCB 因此因此kkkkCCBB 即即 的的实部关于实部关于 偶对称偶对称，虚部关于虚部关于 奇对称奇对称。kakk 傅里叶级数的另一种三角函数形式傅里叶级数的另一种三角函数形式将此关系代入，可得到将此关系代入，可得到 000100012cossinjktjktkkkk

13、kkkkx taBjCeBjCeaBktCkt 四四. .连续时间傅里叶级数系数确实定连续时间傅里叶级数系数确实定如果周期信号如果周期信号 可以表示为傅里叶级数可以表示为傅里叶级数002T( ) x t tx则有则有 ktjkkeatx0002T ktnkjktjneaetx00对两边同时在一个周期内积分，有对两边同时在一个周期内积分，有 kTtnkjkTtjndteadtetx000000 nkTnk,tdtnksinjtdtnkcosdteTTTtnkj00000000000 0000TadtetxTntjn 即即 00001TtjnndtetxTa 在确定此积分时，只要积分区间是一个周期

14、在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为可表示为 0001TtjkkdtetxTa 0001TdttxTa是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a1t0T0T ( )x t五五. .周期性矩形脉冲信号的频谱周期性矩形脉冲信号的频谱其中其中 xxsinxSa xxsinxcsin 1100110 1000000 111110 100 10002sin11sin2222sinTTjktjktkTTkTaedteTjkTkTkTTTTTSa kTckTkTTTT 0(

15、 )Sa x1 x0121sinc(x)1x1 根据根据 可绘出可绘出 的频谱图。的频谱图。 称为占空比称为占空比ka tx012TT21201 TT41201 TT81201 TT不变不变 时时0T 1T不变不变 时时1T 0T21201 TT41201 TT81201 TT周期性矩形脉冲信号的频谱特征：周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 1. 离散离散 2. 2. 谐波谐波 3. 3. 收敛收敛 考查周期考查周期 和脉冲宽度和脉冲宽度 改变时频谱的变化：改变时频谱的变化：0T12T当当 不变，改变不变，改变 时，随时，随 使占空比减使占空比减小，小，谱线间隔变小，幅度下降谱线间隔变小，幅

16、度下降。但主峰宽度。但主峰宽度不变不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2.2. 当当 改变，改变， 不变时，随不变时，随 使占空比使占空比减小，减小，谱线间隔不变，幅度下降谱线间隔不变，幅度下降。包络主瓣包络主瓣变宽变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。主瓣内包含的谐波数量也增加。1T0T 0T1T0T 1T信号对称性与频谱的关系：信号对称性与频谱的关系：当当 时，有时，有 txtx tdtkcostxTdtetxTaTtjkTTk0200220000021 表明：表明：偶信号的偶信号的 是关于是关于 的偶函数、实函数。的偶函数、实函数。kak当当 时，有时，有

17、 txtx tdtksintxTjdtetxTaTtjkTTk0200220000021 表明：表明：奇信号的奇信号的 是关于是关于 的奇函数、虚函数。的奇函数、虚函数。kak3.4 3.4 连续时间傅里叶级数的收敛连续时间傅里叶级数的收敛 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。以表示为傅里叶级数。一一. . 傅里叶级数是对信号的最正确近傅里叶级数是对信号的最正确近似似(Convergence of the Fourier series)(Convergence o

18、f the Fourier series)若若 以以 为周期为周期 tx0T ktjkkeatx0002T 用有限个谐波分量近似用有限个谐波分量近似 时，有时，有 tx NNktjkkNeatx0以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为00220011( )( )( )( )NNNTTEtetdtx txtdtTT 000*01( )( )NNjktjktkkTkNkNx ta ex ta edtT 误差为误差为 txtxteNN 结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对周期信号的最佳近似。数是对周期信号的最

19、佳近似。 在均方误差最小的准则下，可以证明，在均方误差最小的准则下，可以证明， 此时应满足：此时应满足：这就是傅氏级数的系数这就是傅氏级数的系数 dtetxTatjkTk0001 ka二二. . 傅里叶级数的收敛傅里叶级数的收敛傅里叶级数收敛的两层含义傅里叶级数收敛的两层含义： 是否存在是否存在? ? 级数是否收敛于级数是否收敛于 ? ?( )x tka 两组条件：两组条件： 1.1.平方可积条件：平方可积条件： 如果如果 则则 必存在。必存在。 在一个周期内能量有限，在一个周期内能量有限， 一定存一定存在。在。ka02( )Tx tdt ( )x tka 2. Dirichlet 2. Di

20、richlet条件：条件： ，在任何周期内信号绝对可积。，在任何周期内信号绝对可积。 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。值为有限值。 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。0( )Tx tdt 0000011( )( )jktkTTax t edtx t dtTT 因此，信号绝对可积就保证了因此，信号绝对可积就保证了 的存在。的存在。ka这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的级数收敛的充分条件充分条件。相当广泛的信号都能满。相当广泛的信号都能满

21、足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性。示周期信号具有相当的普遍适用性。几个不满足几个不满足DirichletDirichlet条件的信号条件的信号三三.Gibbs.Gibbs现象现象 满足满足 Dirichlet Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级条件的信号，其傅里叶级数是如何收敛于数是如何收敛于 的。特别当的。特别当 具有间断具有间断点时，在间断点附近，如何收敛于点时，在间断点附近，如何收敛于 ? ?( )x t( )x t( )x t1N 3N 7N 19N 100N 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信用有限

22、项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可防止的会出现振荡号时，在间断点附近不可防止的会出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。能量减少。GibbsGibbs现象说明：现象说明：Properties of Continuous-Time Properties of Continuous-Time Fourier SeriesFourier Series3.5 3.5 连续时间傅里叶级

23、数的性质连续时间傅里叶级数的性质一一. . 线性：线性：若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )Fskx ta ( )Fsky tb ( )x t( )y tT则则( )( )FskkAx tBy tAaBb 二二. .时移时移: :( )Fskx ta 若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tT0 00()jktFskx tta e 则则02T 三三. .反转反转: :若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tT( )Fskx ta 则则()Fskxta 四四. .尺度变换尺度变换: :若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号

24、，且( )x tT( )Fskx ta 则则 以以 为周期，于是为周期，于是()x at/T a0/()()jkatFskTaax atbx at edtT ()Fskkx atba 于是有：于是有：01( )jkkkTbxedaT 令令 ，当，当 在在 变化时，变化时， 从从 变化，变化，at 0 /T a 0Tt五五. . 相乘相乘: :( )Fskx ta ( )Fsky tb 若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x t( )y tT01( )( )( ) ( )jktFskTx ty tCx t y t edtT 则则001( )jltjktklTlCa e

25、y t edtT 也即也即0()1( )j k ltkllk lTllCay t edta bT ( ) ( )Fslk lkklx t y ta bab 六六. .共轭对称性共轭对称性: :若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tT( )Fskx ta 则则( )Fskxta 由由共轭对称性共轭对称性可推得：可推得：对实信号有对实信号有：kkkaBjC 时有：时有：kkkkBBCC 当当kkaa kkaa kjkkaA e 时有：时有：kkkkAA 当当当当 为为实偶函数实偶函数时，时，( )x t为实偶函数为实偶函数ka当当 为为实奇函数实奇函数时，时，( )x t为虚

26、奇函数为虚奇函数ka七七.Parseval .Parseval 定理：定理：221( )kkTx tdtaT 说明：一个周期信号的平均功率就等于它所有说明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和谐波分量的平均功率之和. .* * 掌握表掌握表3.13.1-T1tT0( )x t0/2/211( )TjktkTat edtTT 01( )jktkx teT 02T 求解求解 傅立叶系数傅立叶系数例例1 1：( )()kx ttkT ka()gt101T 1T -TTt例例2 2：周期性矩形脉冲：周期性矩形脉冲将其微分后，可利用例将其微分后，可利用例1 1表示为表示为11( )(

27、)()g tx tTx tT ()g t 1t01T 1T 1T T 1T T 设设( )( )FsFskkg tcg tb 由时域微分性质有由时域微分性质有0kkbjkc 根据时移特性，有根据时移特性，有0 10 1012sinjkTjkTkkkbaeejakT 由例由例1 1知知1/kaT 02 /T 0101100012sinsin2kkbkTkTTcjkkTTkT Fourier Series Representation of Fourier Series Representation of Discrete-Time Periodic SignalsDiscrete-Time Pe

28、riodic Signals一一. .离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数DFSDFS Discrete-Time Fourier SeriesDiscrete-Time Fourier Series3.6 3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示考察成谐波关系的复指数信号集考察成谐波关系的复指数信号集: : 该信号集中每一个信号都以该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集为周期，且该集合中只有合中只有 个信号是彼此独立的。个信号是彼此独立的。 2jknNkne NN 这个级数就称为这个级数就称为离散时间傅里叶级数（离散时间傅里叶级数（DFSDFS），其中其中

29、也称为周期信号也称为周期信号 的频谱。的频谱。ka x n 将这将这 个独立的信号线性组合起来，一个独立的信号线性组合起来，一定能表示一个以定能表示一个以 为周期的序列。即：为周期的序列。即：NN 2jknNkkNx na e 其中其中 为为 个相连的整数个相连的整数Nk二二. . 傅里叶级数系数确实定傅里叶级数系数确实定两边同乘以两边同乘以 2jknNkkNx na e 2jrnNe 对对 22()jrnjk r nNNkkNx n ea e 得得显然显然 仍是以仍是以 为周期的为周期的 2jrnNx n e N221()()0() 22(),101Njk r njk r nNNnNnj k

30、 rj k rNeeNkrekre 22()2()jrnjk r nNNknNnN kNjk r nNkkNnNx n ea eae 对两边对两边求和求和 21jrnNrnNax n eN 即即 21jknNknNax n eN 或或 2jrnNrnNx n eNa 显然上式满足显然上式满足 ，即，即 也是以也是以 为周期的，或者说为周期的，或者说 中只有中只有 个是独立的个是独立的。 k Nkaa kaNNka对实信号同样有对实信号同样有：kkaa kkaa kkaa kkRe aRe a kkIm aIm a 三三. .周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱1121122(1)2111j

31、kNNNjknNknNjNkNjkNaeNeeNe 112121()()221jkjk Njk NNNNjkjkjkNNNeeeNeee 1sin(21)1sinkNNNkN 0, 2,kNN 显然显然 的包络具有的包络具有 的形状。的形状。kasinsinxx 121kNaN krN 时时kkk1220NN 1110NN 1210NN 周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱u当当 改变、改变、 不变时，由于不变时，由于 的包络具有的包络具有 的形状，而的形状，而 ，可知其包络形状，可知其包络形状一定发生变化。当一定发生变化。当 时，包络的第一个零点会时，包络的第一个零点会远离原点从而使远离

32、原点从而使频谱主瓣变宽频谱主瓣变宽。这一点也与连续。这一点也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。时间周期矩形脉冲的情况类似。1NNkasinsinxx 121N 1N 1NN u 当当 不变、不变、 时，频谱的时，频谱的包络形状不变包络形状不变，只是只是幅度减小，谱线间隔变小幅度减小，谱线间隔变小。三三. . 离散时间傅立叶级数的收敛离散时间傅立叶级数的收敛 离散傅立叶级数是一个有限项的级数，确离散傅立叶级数是一个有限项的级数，确定定 的关系式也是有限项的和式，因而的关系式也是有限项的和式，因而不存不存在收敛问题在收敛问题，也不会产生，也不会产生GibbsGibbs现象现象。ka 周期序列的频谱

33、也具有周期序列的频谱也具有离散性、谐波性离散性、谐波性，当，当在区间在区间 考查时考查时，也具有具有收敛性收敛性。不同。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有的是，离散时间周期信号的频谱具有周期性周期性。 1. 1. 相乘相乘Properties of Discrete-Time Properties of Discrete-Time Fourier SeriesFourier Series 3.7 3.7 离散时间傅立叶级数的性质离散时间傅立叶级数的性质 DFSkx na DFSky nb 周期卷积周期卷积 DFSklk llNx n y nca b 2. 2. 差分差分 DFSkx na 0

34、 00(1)jknDFSkx nx nnea 0mx n mnrmxnnrm 3. 3. 时域内插时域内插若若 以以N N为周期，为周期， x n则则 以以mNmN为周期。为周期。 mxn Fmkxnh 令令 21jknmNkmnmNhxn emN 时时0 nmN 0 rN 令令 ，则有，则有nrm 211jkrmmNkkrNhx r eamNm 这说明：一个周期信号的平均功率等于它这说明：一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。也说明：周期的所有谐波分量的功率之和。也说明：周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得。域求得。4. Pa

35、seval4. Paseval定理定理左边是信号在一个周期内的平均功率，左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。右边是信号的各次谐波的总功率。 221|knNkNx naN DFSkx na 3.8 3.8 傅里叶级数与傅里叶级数与LTILTI系统系统Fourier Series and LTI SystemsFourier Series and LTI Systems LTILTI系统对复指数信号所起的作用只是给系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。输入信号加权了一个相应的特征值。对离散时间系统对离散时间系统 ( )nnH zh n z ( )( )stH sh t edt 对连续时间系统对连续时间系统、 被称为系统的被称为系统的系统函数