复变函数与积分变换第三章复习

1、1第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分一、积分的定义与性质二、柯西定理及牛顿莱布尼茨公式三、柯西积分公式四、高阶导数公式2( )CCCf z dzudxvdyivdxudy Cidydxivu)(记忆记忆.)(limd)(1knkknCzfzzf ttztzfzzfCd)()(d)(一、积分的定义与性质1. 积分的定义与计算3例例1 解解 . 43 : ,d 的直线段的直线段从原点到点从原点到点计算计算iCzzC 直线方程为直线方程为, 10,4,3 ttytx ,)43( , tizC 上上在在 ,d)43(dtiz d)43(d102 ttizzC d)43(102 tti .2)4

2、3(2i 4 nCCCCndzzfdzzfCCCC)()()()42121分分段段光光滑滑曲曲线线.)()()()(,)5估估值值定定理理上上满满足足在在函函数数的的长长度度为为设设 MLdszfdzzfMzfCzfLCCC CCdzzfdzzf)()() 1 CCdzzfkdzzkf)()()2 CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()()()3由积分定义得：由积分定义得：2、积分的性质、积分的性质5B柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的积分为零的积分为零内的任何一条封闭曲线内的任何一条封闭曲线沿沿那末函数那末函数内处处解析内处处解析

3、在单连通域在单连通域如果函数如果函数C二、柯西定理及牛顿莱布尼茨公式6例例2 2解解 1.d321 zzz计算积分计算积分 , 1 321 内解析内解析在在函数函数 zz根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理, 有有 1. 0d321zzz71212( ),f zz zz z1212设在单连通区域D内解析，为D内任意两点，C ,C 为连接的两条路径,C ,C包含定理3.3于D,则12( )d( )dCCf zzf zz即积分与路径无关。8DC1C1DAA BB 1( )f zDDCC111定理3.4设C,C 为两条简单闭曲线,C 位于C的内部,在C,C围成的二连通区域D内解析，在上连续,则1( )d

4、( )dCCf zzf zz多连通区域上的柯西积分定理：9推论：推论： 复合闭路定理复合闭路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 , )( 内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC10例例3 3解解 . 1 ,d12 2曲线曲线在内的任何正向简单闭在内的任

5、何正向简单闭为包含圆周为包含圆周计算积分计算积分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知, xyo 1 也包含这两个奇点，也包含这两个奇点， 11, 21CC 和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 , 1 2 zC 只包含奇点只包含奇点1C2C根据复合闭路定理根据复合闭路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 12定理

6、定理 设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，内解析， F(z)是是f (z)的一个原函数，则的一个原函数，则),()()()(100110BzzzFzFdzzfzz A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.A 但是要求函数是但是要求函数是解析解析的的,比以前的比以前的连续连续条件要强条件要强13111eeee1e1.22ii 0cos d .izzz例4 计算00cos dsincosiizzzzzz解：sincos1iii14三、柯西积分公式三、柯西积分公式定理定理 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )

7、( 000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数D 0zC15例例5 5解解. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其中其中求积分求积分 , 0 2 )2(1 32 zzzz和和有两个奇点有两个奇点函数函数, 23)1( z 2, z仅包含奇点仅包含奇点,1)( 3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231! 12 zzi;83 i 1631)2( z , 0 2 内内都含在都含在和和两个奇点两个奇点Czz 2, 0

8、21和和分别包含分别包含和和作简单闭曲线作简单闭曲线CC , 21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式, Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz17 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021! 12)2(1 ! 22 zzzizi8383ii . 0 18定理定理. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 四、高阶导数公式19例例6 6.d)1(1 212 izzzz计算积分