自动控制原理自动控制系统的数学模型3培训讲学

1、自动控制原理自动控制系统的数学模型3，练习题。22，49Pnnnnnattfatatfattfttf)()(.0)(00)(1111分段函数的形式：分段函数的形式：将分段函数写一个方程表示：将分段函数写一个方程表示：)()()(.)()()()()()(11121nnnatutftfatutftftutftf2. 求拉氏变换的方法求拉氏变换的方法拉氏变换的性质拉氏变换的性质延迟定理延迟定理)()(为非负实数，则，)()(若sFetfLsFtfLs。)(求,)1()(例，若2tfLttf2. 求拉氏变换的方法求拉氏变换的方法32)(stLsF。求例，若)(,) 1()(2tfLttf)() 1(

2、2sFetLs322) 1(setLs)()()()(sFetfLsFtfLs为非负实数，则，若2. 求拉氏变换的方法求拉氏变换的方法ttttttttf00020200)()()()(.)()()()()()(11121nnnatutftfatutftftutftfnnnnnattfatatfattfttf)()(.0)(00)(11112-2(a)2-2(a)()()(2)(00ttutttutf)()()(2)(00ttutttutf2112)(0sestfLst)()()()(sFetfLsFtfLs为非负实数，则，若2. 求拉氏变换的方法求拉氏变换的方法404242000)(0tttt

3、tttf)()()(.)()()()()()(11121nnnatutftfatutftftutftfnnnnnattfatatfattfttf)()(.0)(00)(11112-2(b)2-2(b)4()4()2()24()()(tuttutttutf)4()4()2()2(2)()(tuttutttutf242221121)(sesestfLss)()()()(sFetfLsFtfLs为非负实数，则，若2. 求拉氏变换的方法求拉氏变换的方法ttttttAttf00000sin00)()()()(.)()()()()()(11121nnnatutftfatutftftutftfnnnnnat

4、tfatatfattfttf)()(.0)(00)(11112-2(c)2-2(c)()(sin)()(sin)(000ttuttAtuttAtf)()(sin)()(sin)()()(sin)()(sin)()()(sin)()(sin)(0000000000000ttutttAtuttAtfttutttAtuttAtfttuttttAtuttAtf2. 求拉氏变换的方法求拉氏变换的方法20202020)()()(0tstAetstAtfLst)()()()(sFetfLsFtfLs为非负实数，则，若)()(sin)()(sin)(0000ttutttAtuttAtf2. 求拉氏变换的方法求

5、拉氏变换的方法3.3.拉氏逆变换的求法拉氏逆变换的求法例：例：?2，则2)(?1，则1)(2121ssLsssFsLssF一、拉氏变换（拉普拉斯变换）一、拉氏变换（拉普拉斯变换）（1 1）较简单的象函数，直接按前面记住的）较简单的象函数，直接按前面记住的6 6个常用的个常用的拉氏变换拉氏变换和和2 2个拉氏变换的性质个拉氏变换的性质。stuL1)(1)(tL22sinstL22cossstL21stL322stL3. 拉氏逆变换的求法拉氏逆变换的求法例：例：?2，则2)(?1，则1)(2121ssLsssFsLssF3. 拉氏逆变换的求法拉氏逆变换的求法（2 2）对复杂的象函数，则使用）对复杂

6、的象函数，则使用待定系数法待定系数法，先分解，先分解，再结合常用的再结合常用的拉氏变换和拉氏变换的性质拉氏变换和拉氏变换的性质来求。来求。sssssF224)(232例：2222ssCBssA般形式一个阶次的多项式的一分解，分子为比分母低步：按分母的因式进行第)22(4)(122sssssF因式分解步：尽可能对分母进行第3. 拉氏逆变换的求法拉氏逆变换的求法241ACB420214ACABA出待定系数步：列写方程组，并求第)22(2)2()()22(s22322222sssAsCAsBAsssCBsAAsAs步：合并第)22(4)(22sssssF222ssCBssA3. 拉氏逆变换的求法拉氏

7、逆变换的求法1) 1131) 1121) 131) 1121) 131211242224252222222sssssssssssssssssss（式处理成简单的象函数形步，代入待定系数，并第tetetfttsin3cos2)(6步：求拉氏逆变换第22)(2ssCBssAsF241ACB3. 拉氏逆变换的求法拉氏逆变换的求法42)()1(的原函数。练习题：求下列函数32，492sssFP2222222)(ssssF2222)(sssF)42cos(22sin2cos)(ttttf3. 拉氏逆变换的求法拉氏逆变换的求法)5(1)()2(的原函数。练习题：求下列函数32，49sssFP)5(5)()

8、5(5)(ssAsBAssBsAAssF5)(sBsAsF5151150ABABA5151151)(sssF)1 (515151)(55tteetf3. 拉氏逆变换的求法拉氏逆变换的求法)23)(1(7)()3(的原函数。练习题：求下列函数32，492sssssFP2) 1()(2sCsBAssF) 2() 1(7) 2)(1)(1(7)(2ssssssssF3. 拉氏逆变换的求法拉氏逆变换的求法2) 1()(2sCsBAssF) 2() 1(2)22()()() 2() 1(222)(22222ssCBsCBAsCAsFssCCsCsBBsAsAssF3. 拉氏逆变换的求法拉氏逆变换的求法5

9、15721220CBACBCBACA)2() 1(2)22()()(22ssCBsCBAsCAsF)2() 1(7)2)(1)(1(7)(2ssssssssF25) 1(15)(2) 1()(22ssssFsCsBAssF3. 拉氏逆变换的求法拉氏逆变换的求法215) 1(16115)(25) 1(6) 1( 5)(22ssssFssssF25) 1(15)(2ssssFttteteetf2565)(3. 拉氏逆变换的求法拉氏逆变换的求法8410)()5(的原函数。练习题：求下列函数32，492ssssFP2222222222)2(2102)2(2102)2(20)2(102)2(104422

10、10)(sssssssssssF)42cos(1022sin102cos10)(222tetetetfttt3. 拉氏逆变换的求法拉氏逆变换的求法1. 1. 导数定理导数定理)()(sFtfL设)0()()(fssFtfL)0()0()()(2fsfsFstfL)0()0()0()()(23)3(fsffssFstfL二、利用拉氏逆变换求解微分方程二、利用拉氏逆变换求解微分方程2.2.利用拉氏变换求解微分方程的步骤利用拉氏变换求解微分方程的步骤（1 1）对）对微分方程两边微分方程两边进行进行拉氏变换拉氏变换；（2 2）由代数方程求解出函数的）由代数方程求解出函数的拉氏变换拉氏变换；（3 3）对

11、象函数取）对象函数取拉氏逆变换拉氏逆变换，求得微分方程的解。，求得微分方程的解。二、利用拉氏逆变换求解微分方程二、利用拉氏逆变换求解微分方程的解。满足初始条件例：求微分方程3020yyy0)(23)(0)(2) 0()()()(sYssYsYyssYsYtyL对两边取拉氏变换设23)(ssY求得tety23)(方程的解求拉氏逆变换，得微分二、利用拉氏逆变换求解微分方程二、利用拉氏逆变换求解微分方程的解。，满足初始条件例：求微分方程2100yytyy22221)(2)(1)()0()0()()()(ssYssYsssYysysYssYtyL对两边取拉氏变换设) 1(12121)(222322ss

12、ssssssY求得) 1()()() 1(1)(222322232322ssBAssDBsCAssDsCsBBsAsAssDCssBAssY方程的解求拉氏逆变换，得微分二、利用拉氏逆变换求解微分方程二、利用拉氏逆变换求解微分方程) 1(12)(2223sssssY) 1()()()(2223ssBAssDBsCAsF31101021DCBABADBCA1311131)(1)(2222222ssssssssYsDCssBAssYttttysin3cos)(二、利用拉氏逆变换求解微分方程二、利用拉氏逆变换求解微分方程练习题：练习题：0)0()0()()()()() 1 (xxttxtxtx，11)

13、(2sssX222222)23()21(2332)23()21(sssssssX1)()()(2sXssXsXstetxt23sin332)(2二、利用拉氏逆变换求解微分方程二、利用拉氏逆变换求解微分方程练习题：练习题：0)0()0()( 1)()(2)()2(xxttxtxtx，22) 1(1) 12(1)(ssssssX2) 1()(sCBssAsXssXssXsXs1)()(2)(222222) 1()2()() 1(2)(ssAsCAsBAssCsBsAAsAssX二、利用拉氏逆变换求解微分方程二、利用拉氏逆变换求解微分方程练习题：练习题：0)0()0()(

14、1)()(2)()2(xxttxtxtx，2) 1(1)(sssX2111020CBAACABAtttetteetx)1 (11)(22) 1()2()()(ssAsCAsBAsX222) 1(1111) 1(21) 1()(sssssssCBssAsX二、利用拉氏逆变换求解微分方程二、利用拉氏逆变换求解微分方程习题习题2-12-1、 2-32-3、2-42-4 说明：说明：本次作业在下周四上课时由学委收齐上交。不本次作业在下周四上课时由学委收齐上交。不交为交为0 0分，延迟提交最高分，延迟提交最高7070分。分。作业作业引言：引言：（1 1）传递函数传递函数是一种是一种数学模型数学模型；（2

15、 2）传递函数传递函数与与微分方程微分方程的对比：的对比：第第2 2节例节例2 2求出的求出的微分方程微分方程：从该微分方程很难得到从该微分方程很难得到输入输入与与输出输出的的直观印象直观印象；从微分方程也很难看出从微分方程也很难看出结构参数变化结构参数变化对对系统性能系统性能的的影响影响。rcccuudtduRCdtudLC222-3 传递函数传递函数而接下来要学习的而接下来要学习的传递函数传递函数：可以比较直观表示可以比较直观表示输入输入与与输出输出的的关系关系；而且能间接反映而且能间接反映结构参数变化结构参数变化对对系统性能系统性能的的影响影响。121)()()(ssRsCsG2-3 传

16、递函数传递函数例例2-12-1：CurucirccrccuudtduTuudtduCR?)()0()( 1)(00tuuututucccrr求：初始条件：设输入信号：一、传递函数的概念一、传递函数的概念rccuudtduT?)()0()( 1)(00tuuututucccrr求：)()()0()(sUsUussUTrccc)()()(0sUsUussUTrccc0)()() 1(crcTusUsUTs1) 1(1)(00TsTuTssusUcrc111)()(0TsTuTssUsUcrc一、传递函数的概念一、传递函数的概念1)11()(00TsTuTsTsusUcrcTtcTtrceueutu

17、00)1 ()(1) 1(1TsBsATss) 1()(TssAsBATTBABATA1011) 1(1)(00TsTuTssusUcrcTsuTssusUcrc/11)/111()(00一、传递函数的概念一、传递函数的概念111)()(0TsTuTssUsUcrc00cu若初始条件为零，即TtcTtrceueutu00)1 ()()()()(1111342sUsUsGRCTsTsRCrc并表示为：网络的传递函数，为称有一一对应的关系，网络的输入与输出通过可以看出，从式）式342(11)()(TssUsUrc)1 ()(0Ttrceutu一、传递函数的概念一、传递函数的概念上面的分析是针对上面

18、的分析是针对特定的系统特定的系统，我们再来看，我们再来看一般的线一般的线性定常系统性定常系统（元件）。（元件）。设设任一系统或元件任一系统或元件的的微分方程微分方程为：为：构、参数有关的常系数系数为与系统或元件结)()(.)()()()(.)()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn二、传递函数的定义二、传递函数的定义上式进行拉氏变换，则若初始条件为零时，对)()(.)()()()(.)()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmm

19、mmnnnnnn)()(.)()()()(.)()(11101110sRbssRbsRsbsRsbsCassCasCsasCsammmmnnnn)()(.)()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm则二、传递函数的定义二、传递函数的定义)()(.)()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm 可见，可见，G(s)反映了系统的反映了系统的输入输入与与输出输出的对应的对应关系关系，G(s)称为系统的称为系统的传递函数传递函数。 那么，那么，传递函数传递函数定义为：定义为： 线性定常系统（或元件）的线性定常

20、系统（或元件）的传递函数传递函数为在为在零初始零初始条件下条件下，系统（或元件）的，系统（或元件）的输出变量的拉氏变换输出变量的拉氏变换与与输输入变量的拉氏变换入变量的拉氏变换之比。之比。二、传递函数的定义二、传递函数的定义线性定常系统（或元件）的线性定常系统（或元件）的传递函数传递函数为在为在零初始条件下零初始条件下，系统，系统（或元件）的（或元件）的输出变量的拉氏变换输出变量的拉氏变换与与输入变量的拉氏变换输入变量的拉氏变换之比。之比。零初始条件零初始条件包含两方面的意思：包含两方面的意思：（1 1）输入作用是在）输入作用是在t=0t=0以后才加于系统。即在以后才加于系统。即在t=0-t=

21、0-时，时，输入量及其各阶导数为输入量及其各阶导数为0 0。 t t是个计时点，起始计时点应在输入作用加于系统的是个计时点，起始计时点应在输入作用加于系统的时间之前。时间之前。（2 2）输入信号作用于系统之前系统是静止的。即在）输入信号作用于系统之前系统是静止的。即在t=0-t=0-时，输出量及其各阶导数为零。时，输出量及其各阶导数为零。 这是反映控制系统的实际情况的，比如机器不施加这是反映控制系统的实际情况的，比如机器不施加动力，就不会运转。动力，就不会运转。二、传递函数的定义二、传递函数的定义（1 1）传递函数传递函数是是线性定常系统线性定常系统的一种的一种输入输入、输出输出描述描述nnn

22、nmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110.)()()(三、关于传递函数的说明三、关于传递函数的说明（2 2）传递函数传递函数是只取决于系统或元件的是只取决于系统或元件的结构结构和和参数参数，与外界的与外界的输入输入无关。无关。nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110.)()()(三、关于传递函数的说明三、关于传递函数的说明（3）传递函数传递函数是关于是关于复变量复变量s的的有理真分式有理真分式；它的分；它的分子、分母的阶次关系式子、分母的阶次关系式nm。nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110.)()()

23、(三、关于传递函数的说明三、关于传递函数的说明（4 4）一定的）一定的传递函数传递函数有一定的有一定的零、极点零、极点分布图对应。分布图对应。称为极点。称为零点，mmnmnnnnmmmmpppzzzpspspszszszskasasasabsbsbsbsRsCsG,.,.,).()().()(.)()()(2121212111101110三、关于传递函数的说明三、关于传递函数的说明（5 5）传递函数传递函数的的拉氏逆变换拉氏逆变换为该系统的为该系统的单位脉冲响单位脉冲响应函数应函数。单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数：输入输入是是单位脉冲函数单位脉冲函数时，时，输出输出c(t)称为称为单位脉冲响

24、应函数单位脉冲响应函数。)()()(sRsCsG)()()(sGsRsC)()(sGsC1)(函数时，即当输入为单位脉冲响应sR)()(1sGLtc三、关于传递函数的说明三、关于传递函数的说明（6 6）传递函数传递函数的描述有一定的描述有一定局限性局限性。 其一是它只能描述其一是它只能描述单入、单出单入、单出系统，对于系统，对于多入、多入、多出多出系统要有系统要有传递矩阵传递矩阵表示。表示。 其二是只能表示其二是只能表示输入、输出输入、输出的的关系关系，不能反映，不能反映输输入变量入变量与与各中间变量各中间变量的的关系关系，于是对系统内部其他变，于是对系统内部其他变量无法得知。量无法得知。 其

25、三是只能研究其三是只能研究零初始状态零初始状态的系统的系统运动特性运动特性，对，对于于非零初始运动状态非零初始运动状态的的特性特性不能反映。不能反映。三、关于传递函数的说明三、关于传递函数的说明)()()(),(5 . 0)(25)(5sRsCsGtrtctc求已知：) 5(101)()()()(5 . 0)(25)(522ssRsCsGssRssCsCs课堂练习课堂练习四、典型元部件的传递函数四、典型元部件的传递函数自行学习自行学习 传递函数传递函数往往是往往是高阶高阶的，形式比较复杂，我们研的，形式比较复杂，我们研究的时候，是对其进行究的时候，是对其进行分解分解，分解为，分解为简单的环节简

26、单的环节。 掌握一些简单的典型环节，有利于我们分析和设掌握一些简单的典型环节，有利于我们分析和设计系统。计系统。 接下来介绍接下来介绍8 8个典型环节个典型环节。nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110.)()()(五、典型环节的传递函数五、典型环节的传递函数（1 1）比例环节）比例环节凡凡输出量输出量与与输入量输入量成成正比正比的环节，称为的环节，称为比例环节比例环节。放大系数，增益即：:)()(ktkrtcksRsCsG)()()(五、典型环节的传递函数五、典型环节的传递函数（2 2）积分环节）积分环节dttrtc)()(环节正比的环节，称为积分凡输出与输入

27、的积分成ssRsCsG1)()()()(1)(sFsdttfL拉氏变换的积分性质五、典型环节的传递函数五、典型环节的传递函数（3 3）微分环节）微分环节)()(trtc环节正比的环节，称为微分凡输出与输入的微分成ssRsCsG)()()(五、典型环节的传递函数五、典型环节的传递函数（4 4）惯性环节）惯性环节节形式的环节称为惯性环方程凡微分方程为一阶微分)()()(trtctcdtdT11)()()(TssRsCsG时间常数:T五、典型环节的传递函数五、典型环节的传递函数（5 5）一阶微分环节）一阶微分环节1)(ssG时间常数:五、典型环节的传递函数五、典型环节的传递函数（5 5）振荡环节（或

28、称二阶振荡环节）振荡环节（或称二阶振荡环节）2222)(nnnsssG：阻尼系数无阻尼固有频率:n五、典型环节的传递函数五、典型环节的传递函数（7 7）二阶微分环节）二阶微分环节12)(2sssG：阻尼比时间常数:五、典型环节的传递函数五、典型环节的传递函数（8 8）延迟环节）延迟环节)()(trtc节，称为延迟环节但不失真反映输入的环输出滞后输入时间sesRsCsG)()()()()(sFetfLs拉氏变换的延迟性质五、典型环节的传递函数五、典型环节的传递函数一、什么是动态结构图一、什么是动态结构图先来看一个实际的例子先来看一个实际的例子1.1.定义：定义：动态结构图是用动态结构图是用图形图

29、形的方法具体而形象地表示系统。的方法具体而形象地表示系统。（1 1）可表示系统由哪些）可表示系统由哪些环节环节组成，各环节的组成，各环节的数学模型数学模型是怎样是怎样的，各变量之间的的，各变量之间的相互关系相互关系及及信号的流向信号的流向。（2 2）根据动态结构图，通过一定的运算变换可求得系统的）根据动态结构图，通过一定的运算变换可求得系统的传传递函数递函数。2-4 动态结构图动态结构图2.2.动态结构图的组成动态结构图的组成动态结构图一般由动态结构图一般由四种基本单元四种基本单元组成：组成：（1 1）信号线）信号线 带箭头的直线，箭头表示信号传递方向，信号线带箭头的直线，箭头表示信号传递方向

30、，信号线上标信号的原函数或象函数。上标信号的原函数或象函数。2-4 动态结构图动态结构图（2 2）方框）方框 方框中为元部件的方框中为元部件的传递函数传递函数。它起对信号的。它起对信号的运算、运算、转换转换作用。作用。2. 动态结构图的组成动态结构图的组成（3 3）引出点（测量点）引出点（测量点） 表示信号引出或测量位置，表示信号引出或测量位置，从同一点引出的信号从同一点引出的信号完全相同完全相同。（强调）。（强调）2. 动态结构图的组成动态结构图的组成（4 4）综合点（比较点）综合点（比较点） 对两个以上的信号进行加减运算。对两个以上的信号进行加减运算。2. 动态结构图的组成动态结构图的组成

31、1.步骤步骤（1 1）建立控制系统各元部件的）建立控制系统各元部件的微分方程微分方程；（2 2）对各微分方程在零初始条件下进行）对各微分方程在零初始条件下进行拉氏变换拉氏变换，并作出各元件的并作出各元件的方框图方框图；（3 3）按照系统中各变量的）按照系统中各变量的传递顺序传递顺序，依次将各元件，依次将各元件的方框图连接起来，通常的方框图连接起来，通常输入变量输入变量在在左端左端，输出变量输出变量在在右端右端，便得到系统的动态结构图。，便得到系统的动态结构图。二、系统动态结构图的建立二、系统动态结构图的建立2.例题：例题：绘制下图所示无源网络的方框图。绘制下图所示无源网络的方框图。二、系统动态

32、结构图的建立二、系统动态结构图的建立步骤步骤1：设中间变量，从左至右，在包含元件的支路设中间变量，从左至右，在包含元件的支路上设中间变量。上设中间变量。二、系统动态结构图的建立二、系统动态结构图的建立步骤步骤2：列微分方程组。列微分方程组。dtiCRi2111cruRiu11221)(Riiuc二、系统动态结构图的建立二、系统动态结构图的建立步骤步骤3：对各微分方程在零初始条件下进行拉氏变换。对各微分方程在零初始条件下进行拉氏变换。dtiCRi2111cruRiu11211)(Riiuc221)()()(RsIsIsUc)()()(11sURsIsUcr)(1)(211sICsRsI二、系统动态结构图的建立二、系统动态结构图的建立221)()()(RsIsIsUc111211)()()()()()()（中间变量RsUsUsIsURsIsUsIcrcr)()()(11sURsIsUcr)(1)(211sICsRsI步骤步骤4：根据拉氏变换式求出根据拉氏变换式求出各中