chapter8波动

1、 条件条件8-3 平面简谐波平面简谐波一、一、 机械机械波的产生波的产生 二二、横波和纵波横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如柔绳上传播的波。如柔绳上传播的波。介质质点的介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波。如空气中传播的声波。波源：作机械振动的物体波源：作机械振动的物体横波：横波：纵波：纵波：机械波机械波: : 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。传播出去，就形成机械波。弹性介质：承担传播振动的物质弹性

2、介质：承担传播振动的物质横波横波纵波纵波横波：横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直。质点的振动方向和波的传播方向垂直。纵波：纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行。质点的振动方向和波的传播方向平行。波谷波谷波峰波峰波密波密波疏波疏下面以横波为例观察波的形成过程下面以横波为例观察波的形成过程0t静止静止 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 134Tt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13振动状态振动状态传至传至4 42Tt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13振动状态振动状态传至传至7 743Tt 振动状态振动状态传至传至10 10

3、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13Tt振动状态振动状态 传至传至1313 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13结论结论(1) (1) 波动中各质点并不随波前进；波动中各质点并不随波前进；(2) (2) 各个质点的相位依次落后各个质点的相位依次落后, ,波动是相位的传播；波动是相位的传播；(3) (3) 波动曲线与振动曲线不同。波动曲线与振动曲线不同。三三 波面、波线和波前波面、波线和波前在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。点联结成的面。波面波面: :沿波的传播方向作的沿波的传播方向

4、作的有方向的线。有方向的线。柱面波柱面波在各向同性均匀介质中，波线在各向同性均匀介质中，波线波面。波面。波线波线: :波前波前: : 在某一时刻，波传播在某一时刻，波传播到的最前面的波面。到的最前面的波面。注意注意xyz波面波面波线波线球面波球面波波面波面波线波线波面波面波线波线平面波平面波波源作一次完全振动，波前进的距离。波源作一次完全振动，波前进的距离。波长反波长反映了波的映了波的空间周期性空间周期性。四、四、波长波长 周期周期 频率和波速频率和波速波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。波的时间周期性。单位时间内，波前进距离中完整波

5、的数目。频率单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率与周期的关系为与周期的关系为T1振动状态在介质中的传播速度。波速与波长、周振动状态在介质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为期和频率的关系为Tu:）波长（波长（ :）周期（周期（T:）频率（频率（ :）波速（波速（u(1) 波的周期和频率与介质的性质无关；一般情况下，与波的周期和频率与介质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同波源振动的周期和频率相同 。(2) 波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度； 其大其大小主要决定于介质的性质，与波源及波的频率无关。小主要决定于介质的性质

6、，与波源及波的频率无关。说明说明五、简谐波的波动方程（波函数）五、简谐波的波动方程（波函数）波面为平面的简谐波波面为平面的简谐波介质传播的是简谐振动，且波所到之处，介质中各介质传播的是简谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。质点作同频率的谐振动。本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性、均匀无限大介质中传播的平面简谐波。各向同性、均匀无限大介质中传播的平面简谐波。平面简谐波平面简谐波平面简谐波平面简谐波说明说明简谐波是一种最简单、最基本简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律的波，研究简谐波的波动规律

7、是研究更复杂波的基础。是研究更复杂波的基础。简谐波简谐波:)cos(tAyoyxxuP PO O简谐振动简谐振动从时间看从时间看, , P 点点 t 时刻的位移是时刻的位移是O 点点uxt 简谐振动简谐振动)cos(tAy平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数时刻的位移时刻的位移; ;)(cos),(uxtAtxyP 若若)(cos),(uxtAtxyP P 为任意点为任意点给出波线上任意 x 处质点的位移 y 随时间 t 的变化规律 波函数波函数 y ( x , t )(2cos),(0 xTtAtxy其它形式其它形式由波函数可知波的传播过程中任意两质点由波函数可知波的传播过程中任意两质点 x

8、1 和和 x2 振动的相振动的相位差为位差为xxxuuxtuxt2)()()(210102 x2x1, 0，说明，说明 x2 处质点振动的相位总落后于处质点振动的相位总落后于x1 处质点的处质点的振动；振动；讨论讨论沿x轴负方向传播的平面简谐波的表达式xtAyxTtAyuxtAy2cos2coscos表示在表示在t1 时刻的波形时刻的波形ytot 与与 x 都发生变化都发生变化yxo表示表示x1处质点的振动方程处质点的振动方程波动方程的物理意义波动方程的物理意义)(cos1uxtAyx=x1（常数）（常数）t=t1（常数）（常数）)(cos1uxtAy表示介质中任何质点在任意时刻的位移表示介质

9、中任何质点在任意时刻的位移如图，如图，若若 u 沿沿 x 轴正向在下列情况下试求波动方程：轴正向在下列情况下试求波动方程：)81(4costAyA例例1 (1) 以以 A 为原点；为原点；(2) 以以 B 为原点；为原点；BA1xx已知已知A 点的振动方程为：点的振动方程为： 频率为频率为3000Hz的声波，以的声波，以1560m/s的传播速度沿一波线传的传播速度沿一波线传播，经过波线上的播，经过波线上的A点后，再经点后，再经13cm而传至而传至B点。求点。求(1) B点的点的振动比振动比A 点落后的时间。点落后的时间。(2) 波在波在A、B两点振动时的相位差是两点振动时的相位差是多少？多少？

10、解解 (1) 波的周期波的周期s300011T波长波长cm52m52. 0s3000sm1056. 1113uB点比点比A点落后的时间为点落后的时间为s120001sm1056. 1m13. 013即即 。4T例例2(2) A、B 两点相差两点相差 ， B点比点比A点落后的相差为点落后的相差为45213224 例例2：一平面简谐波以波速：一平面简谐波以波速 u = 200 m s-1 沿沿 x 轴轴正方向传播正方向传播, 在在 t = 0 时刻的波形如图所示。时刻的波形如图所示。 (2) 求求 t = 0.1 s , x = 10 m 处质点的位移、振处质点的位移、振动速度和加速度。动速度和加

11、速度。 (1) 求求o 点的振动方程与波动方程点的振动方程与波动方程 ；y123450.02o(m)(m)xm4u = 200ms-1At = 0 时波形时波形t = 0 时波形时波形yo123450.02o(m)(m)xu = 200ms-1ov(1) O 点振动方程点振动方程tAycos2100cos02.0tyHzu50420011002s(2) t = 0.1 s , x = 10 m 处质点位移处质点位移02)200(100cos02.0 xty 2)200(100cos02.0 xty波动方程波动方程:2100cos02. 0ty)(cos),(uxtAtxy 2)200(100c

12、os02.0 xty速度速度加速度加速度2)200(100sin2xtv2)200(100cos2002xta设有一截面积为设有一截面积为 S ，密度为，密度为 的固体细棒，的固体细棒，一平面简谐波沿棒长方向传播。一平面简谐波沿棒长方向传播。8-4 波的能量波的能量1、有波传播时媒质质元的能量、有波传播时媒质质元的能量（以平面纵波在固体细长棒中的传播为例）（以平面纵波在固体细长棒中的传播为例） 振动动能振动动能 形变势能形变势能 + = 波的能量波的能量)2cos(0 xtAy)(sin0222221 xtAVWP)(sin0222221 xtAVWK质元的动能和势能都随时间作振动，质元的动能

13、和势能都随时间作振动，而且它们具有相同的振幅、角频率、位相。而且它们具有相同的振幅、角频率、位相。意味着，质元经过平衡位置时，具有最大的振意味着，质元经过平衡位置时，具有最大的振动速度，同时其形变也最大。动速度，同时其形变也最大。这一点与孤立的振动系统显著不同，作一比较这一点与孤立的振动系统显著不同，作一比较质元的机械能质元的机械能PKWWW )(sin02222 xtAVW质元的总能量随时间作周期性变化，时而达质元的总能量随时间作周期性变化，时而达到最大值，时而为零到最大值，时而为零意味着：在由波传播的细棒中有能量在传播意味着：在由波传播的细棒中有能量在传播把这样的波称作行波把这样的波称作行

14、波 既传播振动形式又传播振动能量既传播振动形式又传播振动能量2、 能量密度能量密度波传播时波传播时,媒质中单位体积内的能量媒质中单位体积内的能量称作波的能量称作波的能量密度密度记作记作 )(sin02222 xtAVW在一个周期内能量密度的平均值称作平均能量密度在一个周期内能量密度的平均值称作平均能量密度 TdtxtAT0022221)(sin2221A此式表明：平均能量密度和媒质密度、波此式表明：平均能量密度和媒质密度、波的振幅、波的频率的平方成正比。的振幅、波的频率的平方成正比。能流密度又称能流密度又称波的强度波的强度记作记作IuAI2221 3、 能流密度能流密度单位时间内通过垂直波传播

15、播方向的单位面积的单位时间内通过垂直波传播播方向的单位面积的平均能量平均能量 称作能流密度称作能流密度 波波 的的 衍衍 射射 水波的衍射水波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物，能绕过障碍物的波在传播过程中遇到障碍物，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播边缘，在障碍物的阴影区内继续传播. 8-5 8-5 波的衍射波的衍射球球 面面 波波平平 面面 波波 介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.一一 惠更斯原理惠更斯原理O1R2RtuS

16、1S2S1S2一族平面直线一族平面直线(或曲线或曲线)的的“包络包络”(envelope)是指一条与这族直线是指一条与这族直线(或曲线或曲线)中任意一条都相切的曲线。中任意一条都相切的曲线。 8-6 波的干涉波的干涉1 波的叠加原理波的叠加原理 波传播的独立性：波传播的独立性：两列波在某区域相遇后再分两列波在某区域相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰. 波的叠加性：波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动为二在相遇区，任一质点的振动为二波单独在该点引起的振动的合成波单独在该点引起的振动的合成. 频率相同、振频率相同、振动方向平行、相位动方向平行、相位相

17、同或相位差恒定相同或相位差恒定的两列波相遇时，的两列波相遇时，使某些地方振动始使某些地方振动始终加强，而使另一终加强，而使另一些地方振动始终减些地方振动始终减弱的现象，称为弱的现象，称为波波的干涉现象的干涉现象.2 波的干涉波的干涉1s2sP*1r2r波源振动波源振动)cos(111tAy)cos(222tAy)2cos(1111rtAyp)2cos(2222rtAyp点点P 的两个分振动的两个分振动1）频率相同；频率相同；2）振动方向平行；振动方向平行；3）相位相同或相位差恒定相位相同或相位差恒定. 波的相干条件波的相干条件 )cos(21tAyyyppp)2cos()2cos()2sin(

18、)2sin(tan122111222111rArArArAcos2212221AAAAA1s2sP*1r2r)2cos(1111rtAyp)2cos(2222rtAyp点点P 的两个分振动的两个分振动12122rr 常量常量讨讨 论论1 ) ) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的布随位置而变，但是稳定的.,2, 1 ,02kk, 2 , 1 , 0) 12(kk2121AAAAA其他其他21AAA振动始终振动始终加强加强21AAA振动始终振动始终减弱减弱2 ) )cos2212221AAAAA12122rr 波程差波程差12rr

19、 若若 则则21221AAA振动始终振动始终减弱减弱21AAA振动始终振动始终加强加强,2, 1 ,0)21(kk2121AAAAA其他其他, 2, 1 , 0kk3 ) )讨讨 论论cos2212221AAAAA12122rr 例例 如图所示，如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波两点为同一介质中两相干波源源.其振幅皆为其振幅皆为5cm，频率皆为，频率皆为100Hz，但当点，但当点 A 为波为波峰时，点峰时，点B 适为波谷适为波谷.设波速为设波速为10m/s，试写出由，试写出由A、B发出的两列波传到点发出的两列波传到点P 时干涉的结果时干涉的结果.解解15m20mABPm25m201522BPm10. 0m10010u 设设 A 的相位较的相位较 B 超超前，则前，则 .BA2011 . 0152522APBPAB点点P 合振幅合振幅021AAA3 3 驻波的产生驻波的产生