第9章直梁的弯曲

1、第九章直梁弯曲第九章第九章 直梁弯曲直梁弯曲 主要内容主要内容: :1.1.直梁平面弯曲的概念直梁平面弯曲的概念 2.2.梁的类型及计算简图梁的类型及计算简图 3.3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩）梁弯曲时的内力（剪力和弯矩） 4.4.梁纯弯曲时的强度条件梁纯弯曲时的强度条件 5.5.梁弯曲时的变形和刚度条件梁弯曲时的变形和刚度条件 第九章直梁弯曲1弯曲的概念：弯曲的概念： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为弯曲。梁：梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。第九章直梁弯曲FqFAFB纵向对称面纵向对称面2、平面弯曲产生弯曲的外力有

2、力和力偶，若杆有纵向对称面，产生弯曲的外力有力和力偶，若杆有纵向对称面，而且所有外力都作用在同一个纵向对称面内，而且所有外力都作用在同一个纵向对称面内， 弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条曲线。称为对称弯曲称为对称弯曲,这是常见的受力状态！这是常见的受力状态！bendingdeformation第九章直梁弯曲第二节 梁的计算简图-静定梁的形式n一、梁的载荷AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDFByF第九章直梁弯曲n二、梁的支座1、固定端：、固定端： 这种支座的简化形式如图所示，它使梁截面既不能移动，也不能转动，它对梁的端截面有三个约束，相应地，梁

3、的端截面受有三个支反力作用。 例如：例如：打入地下的木桩，游泳池的跳水板支座等都可简化成固定端支座。车床上的割刀及刀架。 跳台跳板RyFRxFRM约束反力约束反力简图简图第九章直梁弯曲2、固定铰支座：、固定铰支座：3、可动铰支座：、可动铰支座：ARyFRxFBRyF约束反力约束反力简图简图固定铰固定铰活动铰活动铰第九章直梁弯曲三、静定梁的基本形式：三、静定梁的基本形式： 相应于不同的支座形式，静定梁可分为三种形式：简支梁，外伸梁，悬臂梁。 简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁第九章直梁弯曲设有一简支梁设有一简支梁AB，受集中力，受集中力F作用。现分析距作用。现分析距A端端为为x处的横截面处的横

4、截面m-m上的内力。上的内力。x解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力,LFbFAyLFaFBy2、截取、截取m-m截面左段。截面左段。AxAyFmmQM, 0yF由得到：得到：AyFbQFLoALBFabmmAyFByF剪力剪力 与截面相切的分布内力系的合力。与截面相切的分布内力系的合力。使截面不产生移动使截面不产生移动Q第三节、弯曲内力-剪力和弯矩第九章直梁弯曲, 0oM由得到：得到：xLFbxFMAy如截取如截取m-m截面右段梁截面右段梁:L-xBFbmmByFQM由作用力与反作用力，得由作用力与反作用力，得,FbQLxLFbM 3、根据变形规定内力符号：、根据变形规

5、定内力符号： 同一位置处左、右侧截面同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的上内力分量必须具有相同的正负号。正负号。 内力正负号规则：内力正负号规则：AxAyFmmQMo弯矩弯矩M 是与横截面垂直的分布内力系的是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。使截面不产生转动合力偶矩。使截面不产生转动第九章直梁弯曲剪力剪力 ：QQQ梁的左侧截面上向上的剪力为正，梁的右侧截面上向下的剪梁的左侧截面上向上的剪力为正，梁的右侧截面上向下的剪力为正，反之则为负。概括为力为正，反之则为负。概括为“左上或右下，剪力为正左上或右下，剪力为正”。第九章直梁弯曲弯矩弯矩M：使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。：使梁

6、弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。压压拉拉或者或者梁的左侧截面上顺时针方向转动的弯矩或梁的右侧截面上逆梁的左侧截面上顺时针方向转动的弯矩或梁的右侧截面上逆时针方向转动的弯矩为正，反之则为负。概括为时针方向转动的弯矩为正，反之则为负。概括为“左顺或右左顺或右逆，弯矩为正逆，弯矩为正”。第九章直梁弯曲在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即的函数，即)(),(xMMxFFQQ称为称为剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程第四节、第四节、 剪力图和弯矩

7、图剪力图和弯矩图ABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF第九章直梁弯曲 在载荷无突变的一段杆的各截面在载荷无突变的一段杆的各截面 上内力按相同的规律变化。上内力按相同的规律变化。弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图第九章直梁弯曲AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDFByF因此，必须因此，必须分段分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的各段的分界点分界点为各段梁的为各段梁的控制截面控制截面。* * 控制截面的概念：控制截面的概念：外力规律发生变化的截面外力规

8、律发生变化的截面集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。终点处的横截面。第九章直梁弯曲xQFxM(+)(+)(-)(-)剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。梁轴线的变化情况。注意：注意：必须标明控制必须标明控制截面上的内力值截面上的内力值第九章直梁弯曲 例例4： qLRARB解：解：求支反力求支反力 由于结构和载荷都对称于跨度中点，故可直接得出：2qlRRBA建立坐标系如图所示，求剪力、弯矩方程（用截面法） FxFlFxRxQA2 2222xFxFlxFxxRxMA

9、（0 xl） （0 xl） (a)(b)第九章直梁弯曲根据剪力方程作剪力图由（a）式可见： xQ为x的一次函数，故剪力图为一 斜直线，因而只需求出斜直线的两个端点的数值，即可作出剪力图。 FxFlFxRxQA2 2222xFxFlxFxxRxMA（0 xl） （0 xl） (a)(b)根据弯矩方程作弯矩图： xM 由（b）可知： 为x的二次函数，故弯矩图为一抛物线，由于x2的系数为负，故抛物线开口向下，由于抛物线为一曲线，为了画出的弯矩图比较精确，一般情况下，要多确定曲线的几点，如图所示： 第九章直梁弯曲qL/2qL/2qL2 /8+-Q图图M图图 qLRARB第九章直梁弯曲解：解：1、求支反

10、力RA 、RB00ABMM得： LFaRLFbRBA由 2、建立坐标系如图所示， 求解梁的弯矩方程：FabRARB AC段： LFbQ xLFbxM（0 xa） （0 xa） (a)(b)CB段： LFaFLFbxQ xLLFaaxFxLFbxM（axL） （axL） (c)(d)C第九章直梁弯曲Fab/LFb/LFa/LFabRARB在集中力作用处，弯矩图上在此处出现折角在集中力作用处，弯矩图上在此处出现折角（即两侧斜率不同）（即两侧斜率不同）第九章直梁弯曲例例3悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出

11、梁的作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 和和 及其所及其所在截面位置。在截面位置。maxQFmaxMPm=PaACBaa取参考坐标系取参考坐标系Axy。解：解：xy1、列出梁的剪力方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段段:0)(xFQ)0(axPamxM)()0(ax弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图xx第九章直梁弯曲BC段段:Pm=PaACBaaxxPxFQ)()2(axa)()(axPmxM)2(axaPxPa22、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-P图QFPa图M(+)(-)maxQFmaxM3、求、求 和和PFQma

12、xPaMmax（在（在BC段的各截面）段的各截面）（在（在AB段的各截面）段的各截面）弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图梁上没有均布载荷作用的部分，弯矩图梁上没有均布载荷作用的部分，弯矩图为倾斜直线，剪力为负时，弯矩图自左为倾斜直线，剪力为负时，弯矩图自左而右向下斜，反之，自左而右向上斜。而右向下斜，反之，自左而右向上斜。第九章直梁弯曲弯矩图的规律弯矩图的规律 1.梁受梁受集中力或集中力偶集中力或集中力偶作用时，弯矩图作用时，弯矩图为为直线直线，并且在集中力作用处，弯矩发生，并且在集中力作用处，弯矩发生转转折折；在集中力偶作用处，弯矩发生；在集

13、中力偶作用处，弯矩发生突变突变，突，突变量为集中力偶的大小。变量为集中力偶的大小。 2.2.梁受到梁受到均布载荷均布载荷作用时，弯矩图为作用时，弯矩图为抛物抛物线线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。一致。 3.3.梁的两端点梁的两端点若无集中力偶作用，则端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为处的弯矩为0 0；若有集中力偶作用时，则弯；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。矩为集中力偶的大小。 第九章直梁弯曲BC段段:Pm=PaACBaaxxPxFQ)()2(axa)()(axPmxM)2(axaPxPa22、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和

14、弯矩图-P图QFPa图M(+)(-)maxQFmaxM3、求、求 和和PFQmaxPaMmax（在（在BC段的各截面）段的各截面）（在（在AB段的各截面）段的各截面）弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图梁上没有均布载荷作用的部分，弯矩图梁上没有均布载荷作用的部分，弯矩图为倾斜直线，剪力为负时，弯矩图自左为倾斜直线，剪力为负时，弯矩图自左而右向下斜，反之，自左而右向上斜。而右向下斜，反之，自左而右向上斜。第九章直梁弯曲梁上有均布载荷作用的部分，梁上有均布载荷作用的部分，弯矩图为抛物线，而且若均弯矩图为抛物线，而且若均布载荷布载荷q向下，抛物线开口向

15、下，抛物线开口向下，反之，抛物线开口向上。向下，反之，抛物线开口向上。第九章直梁弯曲Fab/LFb/LFa/LFabRARB在集中力作用处，弯矩图上在此处出现折角在集中力作用处，弯矩图上在此处出现折角（即两侧斜率不同）（即两侧斜率不同）第九章直梁弯曲BC段段:Pm=PaACBaaxxPxFQ)()2(axa)()(axPmxM)2(axaPxPa22、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-P图QFPa图M(+)(-)maxQFmaxM3、求、求 和和PFQmaxPaMmax（在（在BC段的各截面）段的各截面）（在（在AB段的各截面）段的各截面）弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程

16、和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图梁上集中力偶作用处，弯矩图有梁上集中力偶作用处，弯矩图有突变突变，突变值即为该处集中力偶的力偶矩。若突变值即为该处集中力偶的力偶矩。若力偶为顺时针转向，弯矩图向上突变；力偶为顺时针转向，弯矩图向上突变；反之，弯矩图向下突变（自左至右）反之，弯矩图向下突变（自左至右）第九章直梁弯曲平面假设：平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。第五节第五节. .梁弯曲正应力梁弯曲正应力 1 1）变形特点）变形特点 : :横向线横向线仍

17、为直线，只是仍为直线，只是相对变形前转过了一个相对变形前转过了一个角度，但仍与纵向线正角度，但仍与纵向线正交。交。纵向线纵向线弯曲成弧线，弯曲成弧线，且靠近凹边的线缩短了，且靠近凹边的线缩短了，靠近凸边的线伸长了，靠近凸边的线伸长了，而位于中间的一条纵向而位于中间的一条纵向线既不缩短，也不伸长。线既不缩短，也不伸长。 1、区分、区分剪力弯曲和纯弯曲剪力弯曲和纯弯曲2、纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力第九章直梁弯曲如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，由于横截面保如果设想梁是由无数层纵向纤维组成的，由于横截面保持平面，说明纵向纤维从缩短到伸长是逐渐连续变化的，持平面，说明纵向纤

18、维从缩短到伸长是逐渐连续变化的，其中必定有一长度不变的过渡层，称为中性层（不受压其中必定有一长度不变的过渡层，称为中性层（不受压又不受拉）。又不受拉）。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。中性层与横截面的交线，称为中性层与横截面的交线，称为中性轴中性轴，如图所示。变形，如图所示。变形时横截面是绕中性轴旋转的。时横截面是绕中性轴旋转的。 第九章直梁弯曲2 2）梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律）梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 由平面假设可知，由平面假设可知，纯弯纯弯曲曲时梁横截面上只有正时梁横截面上只有正应力而无切应力。由于应力而无切应力。由于梁横截面保持

19、平面，所梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵以沿横截面高度方向纵向纤维从缩短到伸长是向纤维从缩短到伸长是线性变化的，因此横截线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布高度方向也是线性分布的。以中性轴为界，凹的。以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。性轴上各点正应力为零。分布如图所示。分布如图所示。 第九章直梁弯曲

20、3 3）梁纯弯曲时正应力计算公式）梁纯弯曲时正应力计算公式 在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为点的正应力为 ：ZMyIM PamaxmaxZMyImaxZMW即：即：最大正应力为最大正应力为(MPa)(MPa)：M M和和y y均以绝对值代入，至于均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。受压侧的为负。 M-M-截面上的弯矩截面上的弯矩(N.mm) (N.

21、mm) Y-Y-计算点到中性轴距离计算点到中性轴距离(mm) (mm) Iz-Iz-横截面对中性轴惯性矩横截面对中性轴惯性矩Wz-Wz-抗弯截面模量抗弯截面模量 3mm4mm第九章直梁弯曲max,22max,11yyyyzzII2ymax1lmaxMyMy最大压应力最大拉应力第九章直梁弯曲464dIZ4 4）截面的轴惯性矩和抗弯截面系数）截面的轴惯性矩和抗弯截面系数ZW和ZI 衡量截面抗弯能力的几何参数，可以用衡量截面抗弯能力的几何参数，可以用积分法和有关定理推导出公式计算积分法和有关定理推导出公式计算常用的截面形状有圆截面、矩形截面、常用的截面形状有圆截面、矩形截面、T形形截面等。截面等。比

22、如直径为比如直径为d的圆截面：的圆截面：34max32264dddyIWZz第九章直梁弯曲第六节第六节 梁纯弯曲时的强度条件梁纯弯曲时的强度条件 一、弯曲时全梁中最大正应力一、弯曲时全梁中最大正应力1、等截面梁、等截面梁2、非等截面梁、非等截面梁第九章直梁弯曲第六节第六节 梁纯弯曲时的强度条件梁纯弯曲时的强度条件 二、弯曲正应力强度条件二、弯曲正应力强度条件梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力，即的许用弯曲应力，即 maxzMWM M危险截面处的弯矩（危险截面处的弯矩（N.mmN.mm）WzWz危险截面的抗弯截面模量（危险截面的抗弯截面

23、模量（mm mm ） 材料的许用应力材料的许用应力 (Mpa)(Mpa) 3第九章直梁弯曲 yyllmaxmax对抗拉和抗压强度相等的塑性材料（如碳钢），对抗拉和抗压强度相等的塑性材料（如碳钢）， max第九章直梁弯曲对抗拉和抗压强度不相等的脆性材料（如铸铁）对抗拉和抗压强度不相等的脆性材料（如铸铁） e eO bL灰铸铁灰铸铁的的拉伸曲拉伸曲线线 by灰铸铁的灰铸铁的压缩曲线压缩曲线yyllmaxmax同时满足同时满足两个条件两个条件第九章直梁弯曲ml83. 2mkNq/23 2/140mMN例：某设备中要一根支承物料重量的梁，可简化为受均布载荷的简支梁，已知梁的跨长 ，所受均布载荷的集度

24、，材料为45钢，许用弯曲正应力 ，问该梁应该选用几号工字钢。qL/2qL/2qL2 /8+-Q图图M图图 qLRARB第九章直梁弯曲一一. .采用合理的界面形状采用合理的界面形状1 1、采用、采用IzIz和和WzWz大的截面大的截面截面上离中性轴的距离越远，分布的应力值越大，截面上离中性轴的距离越远，分布的应力值越大，而靠近中性轴的正应力很小，这部分材料没有被而靠近中性轴的正应力很小，这部分材料没有被充分利用。充分利用。面积相等时，工字钢和槽钢的抗弯截面模量最大，面积相等时，工字钢和槽钢的抗弯截面模量最大，空心圆截面次之，实心圆截面的抗弯截面模量最小，空心圆截面次之，实心圆截面的抗弯截面模量最小