第五不定积分和定积分第一-第五ppt课件

1、第五章微分法:)?()( xF积分法:)()?(xf互逆运算不定积分 二、二、 根本积分表根本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节机动 目录 上页 下页 前往 终了 不定积分的概念与性质 第五章 一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例: 一个质量为一个质量为 m 的质点的质点,的作tAFsin下沿直线运动 ,).(tv因此问题转化为: 知,sin)(tmAtv求?)(tv在变力试求质点的运动速度机动 目录 上页 下页 前往 终了 根据牛顿第二定律, 加速度mFta)(tmAsin定义定义 1 . 假设在

2、区间假设在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F (x) 及及 f (x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间 I 上的一个原函数 .那么称 F (x) 为f (x) 如引例中, tmAsin的原函数有 ,cos tmA, 3cos tmA问题问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 假设原函数存在, 它如何表示 ? 定理定理1. ,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)( 存在原函数 .(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上延续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 前往 终了 ,)()(的一个原函数是若

3、xfxF定理定理 2. 的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)( C 为恣意常数 ) 内 .证证: 1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx属于函数族.)(CxF机动 目录 上页 下页 前往 终了 即定义定义 2. )(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,d)(xxf其中 积分号;)(xf 被积函数;xxfd)( 被积表达式.x 积分变量;(P183)假设, )()(xfxF

4、那么CxFxxf)(d)( C 为恣意常数 )C 称为积分常数不可丢 !例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos记作机动 目录 上页 下页 前往 终了 不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的一切积分曲线组成)(xf的平行曲线族.yxo0 x机动 目录 上页 下页 前往 终了 的积分曲线 . 例例1. 设曲线经过点设曲线经过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有C2121 C因此所求曲线为12

5、 xy机动 目录 上页 下页 前往 终了 yxo)2, 1 (ox例例2. 质点在距地面质点在距地面0 x处以初速0v力, 求它的运动规律. 解解: 取质点运动轨迹为坐标轴取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面原点在地面, 指向朝上指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 质点抛出时辰为,0t此时质点位置为初速为,0 x设时辰 t 质点所在位置为, )(txx 那么)(ddtvtx(运动速度)tvtxdddd22g(加速度).0v机动 目录 上页 下页 前往 终了 垂直上抛 , 不计阻 先由此求)(tv 再由此求)(tx先求. )(tv,ddgtv由知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vv由,

6、01vC 得0)(vttv g再求. )(txtvttxd)()(0g20221Ctvtg,)0(0 xx由,02xC 得于是所求运动规律为00221)(xtvttxg由)(ddtvtx,0vt g知机动 目录 上页 下页 前往 终了 故ox)0(0 xx )(txx xdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 根本积分表根本积分表 (P186)从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思想利用逆向思想xkd) 1 ( k 为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x机动 目录 上页 下页 前往 终了

7、) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cx sinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cx cotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cx cscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCx chxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2chxxeex机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例3. 求求.d3x

8、xx解解: 原式原式 =xxd34134Cx313例例4. 求求.dcossin22xxx解解: 原式原式=xxdsin21Cx cos21134xC机动 目录 上页 下页 前往 终了 三、不定积分的性质三、不定积分的性质xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推论推论: 假设假设, )()(1xfkxfinii那么xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例5. 求求.d)5(2xexx解解: 原式原式 =xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C机动 目录 上页

9、下页 前往 终了 例例6. 求求.dtan2xx解解: 原式原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例7. 求求.d)1 (122xxxxx解解: 原式原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln机动 目录 上页 下页 前往 终了 例例8. 求求.d124xxx解解: 原式原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313机动 目录 上页 下页 前往 终了 内容小结内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 根本积分表 (见P 186)2

10、. 直接积分法:利用恒等变形, 及 根本积分公式进展积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质积分性质机动 目录 上页 下页 前往 终了 ,2chxxeex2shxxeex思索与练习思索与练习1. 证明证明 xexeexxxch,sh,221.shch的原函数都是xxex2. 假假设设则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx(P191题4)提示提示:xe)()(xexfxeln)(lnxfx1Cx 221机动 目录 上页 下页 前往 终了 提示提示:3. 假假设设)(xf是xe的原函数 , 那么xxxfd)(ln提示提示: 知xexf)(0)(Cex

11、fx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10机动 目录 上页 下页 前往 终了 4. 假假设设)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x那么)(xf的一个原函数是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx机动 目录 上页 下页 前往 终了 5. 求以下积分求以下积分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x机动 目录 上页 下页 前往 终了 6. 求不定积分求不定积分解：解：.d113xeexxxeexx