第2讲多元函数的极限、连续

1、高等院校非数学类本科数学课程第二章 多元函数微分学上节内容回顾上节内容回顾第一第一节节 多元函数的概念多元函数的概念正确理解正确理解 n 维空间中点的邻域的概念。维空间中点的邻域的概念。正确理解集合的内点、外点、边界点、聚点、孤立点、正确理解集合的内点、外点、边界点、聚点、孤立点、开集、闭集、有界集、连通性等概念。开集、闭集、有界集、连通性等概念。正确理解开区域、正确理解开区域、 区域边界、闭区域的概念。区域边界、闭区域的概念。正确理解区域的有界性概念。正确理解区域的有界性概念。正确理解多元函数及其图形的概念。正确理解多元函数及其图形的概念。本节教学要求：本节教学要求：第二第二节节 多元函数的

2、极限与连续多元函数的极限与连续正确理解多元函数的重极限和累次极限的概念。正确理解多元函数的重极限和累次极限的概念。了解多元函数的重极限和累次极限的区别和联系。了解多元函数的重极限和累次极限的区别和联系。掌握极限的运算法则。掌握极限的运算法则。正确理解多元函数连续性的概念。正确理解多元函数连续性的概念。掌握多元连续函数的运算法则。掌握多元连续函数的运算法则。掌握有界闭区域上连续函数的性质。掌握有界闭区域上连续函数的性质。本节教学要求：本节教学要求： 重极限重极限 累次极限累次极限 连续性连续性 极限的运算法则极限的运算法则 有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上连续函数的性质第二节 多元函数的极

3、限与连续性一. 多元函数的极限及极限的运算请点击请点击二. 多元函数的连续性三. 多元函数的间断点1. 回忆与推广请点击请点击一、多元函数的极限及其运算2.二元函数极限的定义3.多元函数极限的性质、定理4. 累次极限回忆一元函数的情形回忆一元函数的情形推广到多元函数中推广到多元函数中验证可行性验证可行性1.1.回忆与推广回忆与推广x0 xyay ay ay().()a)(xf.xO. )(lim 0的几何意义axfxx.x0 xyay ay ay().()a)(xf.xO. )(lim 0的几何意义axfxx.x0 xyay ay ay().()a)(xf.xO. )(lim 0的几何意义ax

4、fxx. . I I, , )( 0的聚点为设xxxfy , ),(U , 0 , 0 0时当点若xx , |)(| ),U()(则称即axfaxf . )(lim 0axfxx . I I, , )( 0的聚点为设xxxfy , ),(U , 0 , 0 0时当点若xx , |)(| ),U()(则称即axfaxf . )(lim 0axfxxXXfu )( 的聚点的聚点为为 0X),(U0XX ),U()( aXf |)(| aXf )(lim 0aXfXX 进行整理 . , )( 0的聚点的聚点为为设设XXXfu , ),(U , 0 , 0 0时时当点当点若若XX , |)(| ),U

5、()(则称则称即即aXfaXf . )(lim 0aXfXX （重极限）（重极限） , D),(U , 0 , 0 0时时当点当点若若XX 时的极限时的极限( (二重极限二重极限), ), 记为记为 .),(lim)(lim000ayxfXfyyxxXX0 )( XXXfza当当为为则称则称 ),U()( aXf有有 ,D),( , )( 2RyxXXfz设设 . D ),(000的聚点的聚点为为yxX 2.2.二元函数极限的定义二元函数极限的定义几点注意. ), U( 00的某些点可无定义内及函数在点XX. ,),( U 00行向进可以任意方式沿任何方内的邻域落在点点XXX . | ),(U

6、 , |)(| ),U()(azazaXfaXf亦即亦即即即 . , )3( 的类似极限的定义与二元函数时nRXn . )( )()(0 D,),(U20200处有定义处有定义在点在点且且即即XXfyyxxXX)(Xfz 多元函数的极限如果存在多元函数的极限如果存在, , 则必唯一则必唯一. . . )( , 0)(lim 00时的无穷小量时的无穷小量为为则称则称若若XXXXXXaXfaXfXX)( )(lim0应用这个性质应用这个性质, , 可将一元函数的可将一元函数的极限运算法则和极限运算法则和性质推广到多元性质推广到多元函数中来函数中来. . 0lim ),(U ,00XXXX其中其中3

7、.3.多元函数极限的性质、定理多元函数极限的性质、定理例(夹逼定理)由于由于. |lim 2200yxyxyx求求|022yxyx怎么办怎么办? ?|)|(|2yxyxyx而而, 0) | (lim00yxyx故由夹逼定理故由夹逼定理, , 得得0|lim2200yxyxyx夹逼定理夹逼定理 例例解解例(无穷小性质)又又( (有界量有界量) )( (无穷小量无穷小量) )无穷小量的性质无穷小量的性质. 1sin)(lim 222200yxyxyx求求由于由于1 1sin 22 yx0)(lim2200yxyx. 01sin)(lim 222200yxyxyx故故 例例解解例(有理化)有理化有理

8、化 ( (平方差公式平方差公式) ). 11 lim 222200yxyxyx求求1)1 () 11 )(lim22222200yxyxyxyx原式原式2) 11 (lim2200yxyx 例例解解例(等价无穷小)等价无穷小替代等价无穷小替代.sinlim 20 xyxyx求求xxyxxyyxyx2020limsinlim . 2lim20yyx 例例解解 0)( sin2sinlimlimsinlimsinlim20202020 xyxyyxyxyyxxyyxyxyxyx利用重要极限利用重要极限例(重要极限) .11lim 25yxxyxx求求 例例解解 , 11lim 15eexyxxxy

9、x原式原式 . 1lim , 11lim 55yxxexyxxyx其中其中利用重要极限利用重要极限例(极限不存在) 例例解解 , 则取kxy . 0lim),(lim22420000 xkxkxxyxfyxyx )0 , 0(),(yx由于极限存在应与的方式和方向无关, 故原极限不存在. . ),(lim 00yxfyx求求),( yxf设设, 0 ,22242yxyxyx, 0 , 022 yx , 2则若取kxy . 1lim),(lim2424220000kkxkxkxxyxfyxyx该例还说明一个问题 对此你有什么想法 ?, xky 虽然沿无穷多个方向：, 0 , 函数极限均为时当)0

10、 , 0(),(yx . ),( lim 00不存在不存在但函数的极限但函数的极限yxfyx多元函数的极限不存在.“无穷多个方向”不等于“任意方向”.可利用方向性来判别 累次极限是指的下列极限 一般说来, 这两个极限不一定相等. 在高等数学中, 运算顺序不能随便交换.),(limlimyxfbyax) ),(lim (limyxfbyax),(limlimyxfaxby) ),(lim (limyxfaxby4. 累次极限若两个累次极限存在, 但不相等：),(limlim),(limlimyxfyxfaxbybyax. ),( lim 不存在则二重极限yxbyax例.lim 2200yxyxy

11、xyx求1limlimlim202200 xxxyxyxyxxyx1limlimlim202200yyyyxyxyxyxy由于两个累次极限不相等, 故. lim2200不存在yxyxyxyx 例例解解例 二重极限存在不一定能推出累次极限存在.则有设 , 0 ,1sin),( 22yxyxyxf) 1|1sin| ( 01sinlim00yyxyx但. )1sinlim(lim1sinlimlim0000不存在yxyxyxyx 例例即使两个累次极限存在且相等,也不一定能推出二重极限存在.请同学们课后讨论函数22),(yxxyyxf时的两类极限.)0,0(),(yx当二.多元函数的连续性1.二元函

12、数连续性的定义请点击请点击2.二元连续函数的运算3.多元初等函数4.有界闭区域上连续函数的性质 , ),U( , 0 , 0 0时当点若DXX在在则称二元函数则称二元函数有有 ),( ),),(U()( 0yxfXfXf . , ),( 02DXRDXXfz设设 . 0处连续处连续点点 X . 0称为函数的连续点称为函数的连续点点点 X 0则函数在点则函数在点为函数定义域的聚点，为函数定义域的聚点，若若 X 0处的连续性等价于处的连续性等价于X . )()(lim00XfXfXX. , )U( )( 00的聚点为则内有定义在若DXXXf1.1.二元函数连续性的定义二元函数连续性的定义若函数若函

13、数在区域在区域 上的每一点上的每一点都连续都连续, , 则称函数则称函数在区域在区域 上连续上连续, ,记为记为. )()(CXf)(Xf)(Xf数中讨论区间端点处连续性的情形数中讨论区间端点处连续性的情形. .如果点如果点为区域为区域 的边界点的边界点, ,则只需讨论则只需讨论X点点的邻域中属于的邻域中属于 的那一部分的那一部分, ,类似于一元函类似于一元函X连续的多元函数的连续的多元函数的和、差、积、和、差、积、 商商( (分母不能为零分母不能为零) )仍是仍是连续函数；连续函数；连续的多元函数的复合函数仍连续连续的多元函数的复合函数仍连续. .在一定的条件下在一定的条件下, , 2.二元

14、连续函数的运算与一元函数类似 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成的多元函数, 称为多元初等函数. 由基本初等函数的连续性及连续函数的运算法则可知: 多元初等函数在其有定义的区域内是连续的.3.多元初等函数 一元连续函数在闭区间上的性质, 推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质.在空间)2( nRn中, 闭区域不一定有界.在一维空间中, 闭区间一定是有界的.4.有界闭区域上连续函数的性质 . 为有界闭区域为有界闭区域设设nR使使则则若若 , ),()( 2, 1XXCXf , )(max)(1XfXfX . )(min)(2XfXfX 性质1 (最大、最小值定理)推 论

15、)()( , CXfRn为有界闭区域. )( 内有界在Xf设nR为有界闭区域. 任意一个值, 至少存在一点0X使得.)(0Xf, )()(CXf且)(Xf在上取两个若函数值与, )(则对于与间的性质2(介值定理)从定理可看出：)(maxXfX)(minXfX则至少存在一点0X使得.)(0Xf若取 由连续性根存在定理能否由介值定理得出?设nR为有界闭区域.存在一点0X使得.0)(0Xf两个函数值与0, 且, 则至少, )()(CXf又)(Xf在上取若 该定理实际上是介值定理的推论.性质3(根存在定理)通常说：通常说：0X如果函数如果函数在点在点)(Xf处处不连续不连续, , 则称函数在点则称函数

16、在点0X处间断处间断点点0X称为函数的间断点称为函数的间断点. .三.多元函数的间断点 寻找间断点的方法与一元函数的情况类似函数无定义的点;极限存在但不等于函数例如：极限不存在的点;在该点的函数值的点等等.例 . 的间断点的间断点求函数求函数yxxyz由分母不能为零由分母不能为零, ,的一切点均为函的一切点均为函数的间断点数的间断点. .Oxy 例例解解直线直线上上0 yx多元函数的间断点可以构成直线、曲线、曲面等, 也可以是某些点的集合.例 . 1 22的间断点的间断点求函数求函数yxz由分母不能为零由分母不能为零, , . , 0 22函数无定义函数无定义时时当当 yx 例例解解故点故点为函数的间断点为函数的间断点. .)0 , 0(例由三角函数知识可知由三角函数知识可知, ,所求间断点为所求间断点为222kyx),2, 1,0(kOxy同心圆同心圆 . )tan( 22的间断点的间断点求函数求函数yxz 例例解解例(极坐标)根据函数连续的定义根据函数连续的定义, ,只需证明只需证明 . 0),(lim00y