虚拟变量回归

1、第一节第一节 虚拟变量的性质虚拟变量的性质v具体的：具体的：得到如下回归结果：得到如下回归结果： 西部教师薪水约为西部教师薪水约为26158美元，东北和中北教师薪水约低美元，东北和中北教师薪水约低1734美元为美元为24424美元，南部教师薪水约低美元，南部教师薪水约低3265美元为美元为22894美元。美元。 从回归中看出，东中部地区的估计系数在统计上的不显著的，从回归中看出，东中部地区的估计系数在统计上的不显著的，p值为值为23%；南部地区是显著的，；南部地区是显著的，p值为值为3.5%。 因此，结论是，西部地区和东中部地区教师薪水的均值大致相同，因此，结论是，西部地区和东中部地区教师薪水

2、的均值大致相同，而南部地区教师薪水的均值则统计上显著的略低而南部地区教师薪水的均值则统计上显著的略低3265美元。美元。注意：注意：1. 若定性变量有若定性变量有m个类别，则只需引入个类别，则只需引入(m-1)个虚拟变量。否则会个虚拟变量。否则会陷入陷入虚拟变量陷阱虚拟变量陷阱，即完全共线性或完全多重共线性的情况。，即完全共线性或完全多重共线性的情况。因此，若在例因此，若在例6.1中有教师性别的信息，就应该再加一个（而非中有教师性别的信息，就应该再加一个（而非两个）虚拟变量，对女性取值为两个）虚拟变量，对女性取值为1对男性取值为对男性取值为0。2. 不指定其虚拟变量的那一组被称为不指定其虚拟变

3、量的那一组被称为基（基（base）组、基准）组、基准(benchmark)组、控制组、控制(control)组、比较组、比较(comparison)组、参照组、参照(reference)组组。所有其他的组都与基准组进行比较。所有其他的组都与基准组进行比较。3. 截距值截距值 代表了基准组的均值。例代表了基准组的均值。例9.1中基准组为西部地区。中基准组为西部地区。4. 虚拟变量的系数称为虚拟变量的系数称为级差截距系数级差截距系数。它告诉我们取值为。它告诉我们取值为1的地的地区的截距值与基准组的截距值之间的差别。如区的截距值与基准组的截距值之间的差别。如-1734、-3265.5. 基准组的选择

4、完全取决于研究者。基准组的选择完全取决于研究者。第三节第三节 含有两个变量的含有两个变量的ANOVA模型模型例例9.2 小时工资与婚姻状况和居住地的关系小时工资与婚姻状况和居住地的关系从从1985年年5月的一个月的一个528人的样本中得到如下结论：人的样本中得到如下结论：其中其中Y=小时工资（美元），小时工资（美元）， D2 = 婚姻状况；婚姻状况；1=已婚，已婚，0 = 其他其他 D3 = 居住地；居住地；1 = 南部，南部，0 = 其他其他 D2 = 婚姻状况；婚姻状况；1=已婚，已婚，0 = 其他其他 D3 = 居住地；居住地；1 = 南部，南部，0 = 其他其他基准组：未婚的非南部居民

5、组。基准组：未婚的非南部居民组。基准组的小时工资均值约为基准组的小时工资均值约为8.81美元。美元。与其相比，已婚者的平均小时工资约高与其相比，已婚者的平均小时工资约高1.10美元，实际平均工资美元，实际平均工资为为9.91美元。美元。对比之下，住在南部的人的平均小时工资约低对比之下，住在南部的人的平均小时工资约低1.67美元，实际小美元，实际小时工资为时工资为7.14美元。美元。所有级差截距都是统计上显著的，所有级差截距都是统计上显著的，p值都相当小。值都相当小。注意：遇到多于一个定性变量，所有其他组都是与基组进行比较注意：遇到多于一个定性变量，所有其他组都是与基组进行比较多。多。第四节第四

6、节 ANCOVA模型模型 同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为协方差分析协方差分析(analysis of covariance, ANCOVA)模型模型。 在模型中，虚拟变量可作为解释变量，也可作为被解释变量，在模型中，虚拟变量可作为解释变量，也可作为被解释变量，但主要是用作但主要是用作解释变量解释变量。 例例9.3 教师薪水与区域和对公立学校每个学生的支出之教师薪水与区域和对公立学校每个学生的支出之间的关系间的关系重新考虑例重新考虑例9.1，假设三个区域的教师薪水没什么不同，考虑地方政府，假设三个区域的教师薪水没什么不同，考虑地方政府对公立学校的

7、支出变量。对公立学校的支出变量。Yi=公立学校教师的平均薪水（美元）公立学校教师的平均薪水（美元）Xi=对公立学校每个学生的支出（美元）对公立学校每个学生的支出（美元）D2i =1，若该州位于东北和中北部，若该州位于东北和中北部 =0，其他，其他D3i =1，若该州位于南部，若该州位于南部 =0，其他，其他在这个回归中，把西部作为基准组，除了两个定性回归元之外，还有一在这个回归中，把西部作为基准组，除了两个定性回归元之外，还有一个定量变量个定量变量X，在，在ANCOVA模型下，模型下，X被称为被称为协变量协变量。在其他条件不变的情况下，公共支出每增加在其他条件不变的情况下，公共支出每增加1美元

8、，公立学校教师的薪水约上美元，公立学校教师的薪水约上升升3.29美元。东中北地区级差截距系数显著，南部的系数不显著。美元。东中北地区级差截距系数显著，南部的系数不显著。表示表示p值低于值低于5%，表示表示p值高于值高于5%。在在()iE= =0 0的初始假定下，容易得到西部地区、东中北地区、南部地区的初始假定下，容易得到西部地区、东中北地区、南部地区公立学校教师薪水的函数：公立学校教师薪水的函数：西部地区：西部地区： E(Yi|Xi，D2i=0，D3i=0)=1+4Xi东中北地区：东中北地区： 南部地区：南部地区： E(Yi|Xi，D2i=1，D3i=0)=(1+2 )+4Xi E(Yi|Xi

9、，D2i=0，D3i=1)=(1+3 )+4Xi三个回归线平行三个回归线平行第四节第四节 邹至庄检验的虚拟变量方法邹至庄检验的虚拟变量方法第第8章中讨论过邹至庄检验，以考察一个回归模型的结构稳定性。章中讨论过邹至庄检验，以考察一个回归模型的结构稳定性。例子，例子，1970-1985年储蓄与收入的关系，将样本一分为二，年储蓄与收入的关系，将样本一分为二，1970-1981,1982-1995。邹至庄检验表明，储蓄对收入的回。邹至庄检验表明，储蓄对收入的回归在这两个区间存在着差异。归在这两个区间存在着差异。然而，我们不知道这两个回归的差异是源于截距项、斜率系数还然而，我们不知道这两个回归的差异是源

10、于截距项、斜率系数还是二者兼而有之。是二者兼而有之。参照方程（参照方程（8.8.1）和（）和（8.8.2），我们看到四种可能性），我们看到四种可能性1. 两个回归的截距和斜率都相同，叫做两个回归的截距和斜率都相同，叫做重合回归重合回归(coincident regressions)。2.两个回归的斜率相同但截距不同，叫做两个回归的斜率相同但截距不同，叫做平行回归平行回归（parallel regressions）。）。3.两个回归的截距相同但斜率不同，叫做两个回归的截距相同但斜率不同，叫做同截距回归同截距回归(concurrent regressions)。4. 两个回归的截距和斜率都不相同，

11、叫做两个回归的截距和斜率都不相同，叫做非相似回归非相似回归(dissimilar regressions)。第第8章所讨论的邹至庄检验程序只告诉我们两个回归是否不同，章所讨论的邹至庄检验程序只告诉我们两个回归是否不同，但没有告诉我们这种不同来自哪里。但没有告诉我们这种不同来自哪里。通过做如下回归，我们可以探明这种差异的来源：通过做如下回归，我们可以探明这种差异的来源：其中其中Y=储蓄，储蓄，X=收入，收入，t=时间，时间， D=1 ，1982-1995年之间的观测年之间的观测 0，其他（即，其他（即1970-1981年之间的观测）年之间的观测）如下表说明了如下表说明了26个观测值的数据矩阵。个

12、观测值的数据矩阵。表表9.2 美国美国1970-1995年间的储蓄与收入数据年间的储蓄与收入数据观测观测储蓄储蓄收入收入虚拟变量虚拟变量197061727.10197168.6790.20197263.6855.30197389.69650197497.61054.201975104.41159.20197696.412730197792.51401.401978112.61580.101979130.11769.501980161.81973.301981199.12200.201982205.52347.3119831672522.411984235.7281011985206.23002

13、11986196.53187.611987168.43363.111988189.13640.811989187.83894.511990208.74166.811991246.44343.711992272.64613.711993214.44790.211994189.45021.711995249.35320.81假设假设 ，我们得到：，我们得到：1970-1981年的年的均值储蓄函数均值储蓄函数：1982-1995年的年的均值储蓄函数均值储蓄函数：其实，这是与其实，这是与（8.8.1）和（）和（8.8.2）相同的函数，其中相同的函数，其中2是是级差截距级差截距(differential

14、 intercept),2是是级差斜率系数级差斜率系数(differential slope coefficient, or slope drifter)。2表示的是，第二个储蓄期间的斜率系数与第一个期间相比有表示的是，第二个储蓄期间的斜率系数与第一个期间相比有多大的不同。多大的不同。这种虚拟变量的引入方式成为这种虚拟变量的引入方式成为相加形式相加形式(additive form)。虚拟变量的引入虚拟变量的引入（9.5.2）（9.5.3）虚拟变量的引入虚拟变量的引入引入虚拟变量引入虚拟变量D（D乘以乘以X），使我们区分两个期间的斜率系数。），使我们区分两个期间的斜率系数。这种方式成为这种方式成

15、为交互交互或或相乘形式相乘形式(interactive or multiple form)。这与相加形式来区分两个期间的截距殊途同归。这与相加形式来区分两个期间的截距殊途同归。如下例：如下例：另一种方法另一种方法例例9.4 美国储蓄美国储蓄收入回归中的结构差异：收入回归中的结构差异： 虚拟变量方法虚拟变量方法例例9.4 9.4 美国储蓄美国储蓄收入回归中的结构差异：收入回归中的结构差异：虚拟变量方法虚拟变量方法Eviews: Series dx=dum*incomeLs savings c dum income dxDependent Variable: SAVINGSMethod: Leas

16、t SquaresDate: 03/05/12 Time: 14:12Sample: 1970 1995Included observations: 26VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C1.01611720.164830.0503910.9603DUM152.478633.082374.6090580.0001INCOME0.0803320.0144975.5413470DX-0.065470.015982-4.096340.0005R-squared0.881944 Mean dependent var162.0885Adjust

17、ed R-squared0.865846 S.D. dependent var63.20446S.E. of regression23.14996 Akaike info criterion9.262501Sum squared resid11790.25 Schwarz criterion9.456055Log likelihood-116.413 Hannan-Quinn criter.9.318238F-statistic54.78413 Durbin-Watson stat1.648454Prob(F-statistic)0表示表示p值低于值低于5%，表示表示p值高于值高于5%。通过比

18、较可以得到，级差截距通过比较可以得到，级差截距2和级差斜率系数和级差斜率系数2都是统计上都是统计上显著的，这强烈地表明，两个期间的储蓄显著的，这强烈地表明，两个期间的储蓄-收入回归如图（收入回归如图（d）那样是不同的。那样是不同的。从回归方程我们可以推导出如下方程：从回归方程我们可以推导出如下方程：1970-1981年的储蓄回归函数：年的储蓄回归函数：1982-1995年的储蓄回归函数：年的储蓄回归函数：这与我们第这与我们第8章中的（章中的（8.8.1a）和（）和（8.8.2a）的结果完）的结果完全相同。（全相同。（chapter 8,slide45）从该例可以看出，虚拟变量方法相对邹至庄检验

19、有如下优势：从该例可以看出，虚拟变量方法相对邹至庄检验有如下优势：1. 我们只需要做一个回归，因为个别回归很容易就能以我们只需要做一个回归，因为个别回归很容易就能以（9.5.2）和（）和（9.5.3）所指明的方式推导出来。）所指明的方式推导出来。2. 单一回归（单一回归（9.5.1）可用于检验各种假设。）可用于检验各种假设。 因此，如果级差截距系数因此，如果级差截距系数2 是统计非显著的，那我们或许是统计非显著的，那我们或许可以接受这两个回归具有相同截距的同距假设。可以接受这两个回归具有相同截距的同距假设。 如果级差斜率系数如果级差斜率系数2统计上不显著而统计上不显著而2 显著，那我们就显著，

20、那我们就不能拒绝这两个回归具有相同斜率的平行回归假设。不能拒绝这两个回归具有相同斜率的平行回归假设。 用通常的用通常的F检验（回想受约束最小二乘检验（回想受约束最小二乘F检验）能对整个检验）能对整个回归的稳定性（即回归的稳定性（即2 、 2 同时为零）进行检验。如果不能拒同时为零）进行检验。如果不能拒绝这个假设，那么回归线将如图绝这个假设，那么回归线将如图(a)那样成为重合回归。那样成为重合回归。3. 邹至庄检验不能明确的告诉我们截距和斜率系数中到底哪邹至庄检验不能明确的告诉我们截距和斜率系数中到底哪个不同，还是都不相同。就此看来，虚拟变量方法具有明个不同，还是都不相同。就此看来，虚拟变量方法

21、具有明显优势，因为它不仅能告诉我们两个回归是否不同，而且显优势，因为它不仅能告诉我们两个回归是否不同，而且还能确定这种差别的来源还能确定这种差别的来源源于截距、斜率或二者皆有。源于截距、斜率或二者皆有。4. 由于数据混合（即在一个回归中包括所有的观测）增加了由于数据混合（即在一个回归中包括所有的观测）增加了自由度，这可能会提高估计系数的相对精度。自由度，这可能会提高估计系数的相对精度。第五节第五节 使用虚拟变量的交互效应使用虚拟变量的交互效应虚拟变量是一个能处理一系列有趣问题的工具。虚拟变量是一个能处理一系列有趣问题的工具。为了看出这一点，我们考虑如下模型：为了看出这一点，我们考虑如下模型：其

22、中，其中，Y=以美元计的小时工资以美元计的小时工资 X=受教育水平（读书念书）受教育水平（读书念书） D2 =1，若为女性；，若为女性；0，其他，其他 D3 =1，若既非白人又非西班牙人；，若既非白人又非西班牙人；0，其他，其他受教育水平（受教育水平（X）为定量变量，性别（）为定量变量，性别（ D2 ）和种族（）和种族（ D3 ）为定）为定性回归元。性回归元。暗含什么假定？暗含什么假定？1. 性别虚拟变量性别虚拟变量D2 的差别影响对两个种族类别而言是一样的。的差别影响对两个种族类别而言是一样的。2. 种族虚拟变量种族虚拟变量D3 的差别影响对两个性别而言也是一样的。的差别影响对两个性别而言也

23、是一样的。即是说，如果男性工资的均值比女性高，则不论是对哪一个种即是说，如果男性工资的均值比女性高，则不论是对哪一个种族而言是一样的。如果既非白人又非西班牙人的工资均值较低，族而言是一样的。如果既非白人又非西班牙人的工资均值较低，则不论他们是男性还是女性都是如此。则不论他们是男性还是女性都是如此。现实情况：现实情况：非白人非西班牙人的种族中，女人比男人挣的少，即两个定性非白人非西班牙人的种族中，女人比男人挣的少，即两个定性变量变量D2 和和D3 之间可能会相互影响。因此它们对之间可能会相互影响。因此它们对Y的影响可能如的影响可能如以下模型是相乘形式的：以下模型是相乘形式的：从中得到从中得到2

24、=作为女性的级差效应作为女性的级差效应3 =作为非白人作为非白人/非西班牙人的级差效应非西班牙人的级差效应4 =作为非白人作为非白人/非西班牙人女性的级差效应非西班牙人女性的级差效应如果所有三个级差系数都为负，则与基组（男性白人或男性如果所有三个级差系数都为负，则与基组（男性白人或男性西班牙人组）相比时，非白人西班牙人组）相比时，非白人/非西班牙人女性比女性或男性非西班牙人女性比女性或男性非白人非白人/非西班牙人挣的更少。非西班牙人挣的更少。例例9.5 9.5 平均小时工资与受教育水平、性别和种平均小时工资与受教育水平、性别和种族的关系族的关系表示表示p值低于值低于5%，表示表示p值高于值高于

25、5%。级差系数具有预期的符号，受教育水平对小时工资有很大的影级差系数具有预期的符号，受教育水平对小时工资有很大的影响。在其他条件不变的情况下，女性的平均小时工资约低响。在其他条件不变的情况下，女性的平均小时工资约低2.36美元，非白人美元，非白人/非西班牙人的平均小时工资约低非西班牙人的平均小时工资约低1.73美元。美元。交互虚拟变量在交互虚拟变量在5%的显著性水平上不是显著的，实际的显著性水平上不是显著的，实际p值为值为8%。若认为这是一个足够低的概率，则保持受教育水平不变，三个若认为这是一个足够低的概率，则保持受教育水平不变，三个虚拟系数相加得虚拟系数相加得-1.964，说明女性非白人，说

26、明女性非白人/非西班牙人的小时工非西班牙人的小时工资均值约低资均值约低1.96美元。美元。第六节第六节 季节分析中虚拟变量的使用季节分析中虚拟变量的使用从一个时间序列中去掉季节因素或成分的过程称为从一个时间序列中去掉季节因素或成分的过程称为除季节除季节性性或或季节调整季节调整。e.g. 失业率、消费者价格指数失业率、消费者价格指数CPI、生产者价格指数、生产者价格指数PPI和和工业生产指数工业生产指数,etc。去除一个时间序列的季节性的方法：去除一个时间序列的季节性的方法：虚拟变量方法！虚拟变量方法！例例9.6 9.6 冰箱销售中的季节性冰箱销售中的季节性表表9.3 厨具销售和耐用品支出的季度

27、数据（厨具销售和耐用品支出的季度数据（1978年第年第1季度到季度到1985年第年第4季度）季度）洗碗机污物粉碎机冰箱洗衣机以1982年10亿美元计耐用品支出。考虑如下模型：考虑如下模型：为避免虚拟变量陷进，给每个季度指定一个虚拟变量，不为避免虚拟变量陷进，给每个季度指定一个虚拟变量，不要截距项。要截距项。若某个给定季度存在季节效应，则该季度虚拟变量的若某个给定季度存在季节效应，则该季度虚拟变量的t值会值会显著。显著。考察冰箱销售数据，如下图：考察冰箱销售数据，如下图：式中估计的系数表示了每个季度冰箱销售（以千台计）的式中估计的系数表示了每个季度冰箱销售（以千台计）的平均数量或均值。平均数量或

28、均值。第第1季度冰箱的平均销量约为季度冰箱的平均销量约为1222千台，第千台，第2季度约季度约1468千台，第千台，第3季度约季度约1570千台，第千台，第4季度约季度约1166千台。千台。把第把第1季度视为基准组，各季度虚拟变量的系数是级差截季度视为基准组，各季度虚拟变量的系数是级差截距。距。可以看出第可以看出第4季度季度Y的平均值并非统计上异于第的平均值并非统计上异于第1季度。季度。如何能得到冰箱销售的除季节性时间序列？如何能得到冰箱销售的除季节性时间序列？用每个实际用每个实际Y值减去估计的值减去估计的Y值得到回归的残差值得到回归的残差 。这些残差代表什么？这些残差代表什么？它们代表冰箱销

29、售时间序列中除去季节因素后剩余的成它们代表冰箱销售时间序列中除去季节因素后剩余的成分，即趋势、周期和随机几种成分。分，即趋势、周期和随机几种成分。引入协变量会否改变模型？引入协变量会否改变模型？引入对冰箱需求有重要影响的耐用品支出变量。回归结果引入对冰箱需求有重要影响的耐用品支出变量。回归结果如下：如下：第第1季度作为基准组，第季度作为基准组，第2、3季度都显著异于第季度都显著异于第1季度，第季度，第4季度的截距与第季度的截距与第1季度的截距在统计上大体相同。季度的截距在统计上大体相同。X 的系数表明，若耐用品支出增加一个单位，则冰箱销售的系数表明，若耐用品支出增加一个单位，则冰箱销售平均上升

30、平均上升2.77个单位。个单位。为何与前两个回归不一样？为何与前两个回归不一样？X含有季节性。含有季节性。第七节第七节 分段线性回归分段线性回归图图9.5 假想销售佣金与销售量之间的关系假想销售佣金与销售量之间的关系支付佣金的方式取支付佣金的方式取决于销售量的决于销售量的 临界临界水平。水平。低于该水平，使用低于该水平，使用一种佣金结构；高一种佣金结构；高于该水平，使用另于该水平，使用另一种佣金结构。一种佣金结构。给定佣金、销售额和临界值给定佣金、销售额和临界值 ，就能用虚拟变量法估计分，就能用虚拟变量法估计分段线性回归的两个线段的斜率。段线性回归的两个线段的斜率。Y =销售佣金，销售佣金，X

31、 =销售量，销售量， =销售临界点或结点。销售临界点或结点。D=1,若若 =0,若若可以看到，可以看到，要检验回归在临界指要检验回归在临界指 处没有转折的假设，通过所顾忌的处没有转折的假设，通过所顾忌的级差系数级差系数 的显著性即可。的显著性即可。分段线性回归的参数分段线性回归的参数表表9.6 产出与总成本的假想数据产出与总成本的假想数据总成本（美元）总成本（美元） 产出（单位）产出（单位）25610004142000634300077840001003500018396000208170002423800027349000291410000考虑表考虑表9.6的数据，假设总成本在产出为的数据，

32、假设总成本在产出为5500单位时可能单位时可能会改变斜率。会改变斜率。例例9.7 总成本与产出之间的关系总成本与产出之间的关系Dependent Variable: COSTMethod: Least SquaresDate: 05/08/12 Time: 11:30Sample: 1 10Included observations: 10VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C-145.717176.7341-0.82450.4368OUTPUT0.2791260.0460086.0668770.0005(OUTPUT-5500)*DUM

33、MY0.09450.0825521.1447270.2899R-squared0.973706 Mean dependent var1507.6Adjusted R-squared0.966193 S.D. dependent var1003.946S.E. of regression184.5928 Akaike info criterion13.51751Sum squared resid238521.5 Schwarz criterion13.60828Log likelihood-64.5875 Hannan-Quinn criter.13.41793F-statistic129.60

34、78 Durbin-Watson stat1.504314Prob(F-statistic)0.000003当产出低于当产出低于5500单位时，生产的边际成本约为每单位产出单位时，生产的边际成本约为每单位产出28美分。美分。当产出高于当产出高于5500单位后，边际成本约为单位后，边际成本约为37（=28+9）美分。）美分。虚拟变量在虚拟变量在5%的显著性水平上不显著，所以这两个斜率之间的显著性水平上不显著，所以这两个斜率之间的差别不是统计上显著的。在实践中，可以去掉虚拟变量，将的差别不是统计上显著的。在实践中，可以去掉虚拟变量，将总成本直接对总产出回归。总成本直接对总产出回归。要点与结论要点与结论1. 取值取值1或或0的虚拟变量是在回归模型中引入定性回归元的的虚拟变量是在回归模型中引入定性回归元的一种手段。一种手段。2. 虚拟变量是一种基于性质或属性（性别、婚姻状况、种虚拟变量是一种基于性质或属性（性别、婚姻状况、种族和宗教信仰等）