指数函数的性质

1、 指数函数的图像和性质指数函数的图像和性质 一一. .函数函数 的图象如下的图象如下: :) 10(aaayx且42yx(a1)f x x42yxf x x(0a1)f x x42yxf x x(0a1 a1时在第一象限内的图象都在直线时在第一象限内的图象都在直线y=1y=1之上之上, ,在第二象限内都在在第二象限内都在x x轴和直线轴和直线y=1y=1之间；之间； 0 0a1a1a1时图象自左到右逐渐上升，时图象自左到右逐渐上升， 当当00a1a1时图象自左到右逐渐下降。时图象自左到右逐渐下降。(6)(6)图象既不关于图象既不关于y y轴也不关于原点对称轴也不关于原点对称指数函数的图象特征指

2、数函数的图象特征问题问题3 3、你能通过指数函数的图象特征说出函数的性质吗？、你能通过指数函数的图象特征说出函数的性质吗？ 42yxf x x(0a1)f x x函数性质函数性质(1)(1)函数的定义域为函数的定义域为R R(2)(2)x x取任何实数值时，都有取任何实数值时，都有a ax x0 0 ， 即值域为即值域为0,+ 0,+ (3)(3)无论无论a a取任何正数，取任何正数，x=0 x=0时，时，y=ay=a0 0=1=1(5)(5)当当a1a1时，时，y=ay=ax x是增函数；是增函数； 当当00a1a1a1时在第一象限内的图象都在直线时在第一象限内的图象都在直线y=1y=1之上

3、之上, , 在第二象限内都在在第二象限内都在x x轴和直线轴和直线y=1y=1之间；之间； 0 0a1a1a1时图象自左到右逐渐上升；时图象自左到右逐渐上升； 当当00a1a1a1时时 当当00a1a0 x0时时y1; x1; x0时时00y1y0 x0时时00y1; x0y1; x1y1在在R R上是减函数上是减函数例例1.1.比较下列各题中两个数的大小：比较下列各题中两个数的大小：（1 1） （2 2） ;3 ,38 . 07 . 0;75. 0 ,75. 01 . 01 . 0解法一：因为 408225. 238 . 0 ， 157669. 237 . 0， 所以;337 . 08 .

4、0 ;3 ,3) 1 (8 . 07 . 0解法二：因为 y=3x是 R 上的增函数， 且 0.70.8, 所以;337 . 08 . 0 分分析析：1 1. .两两个个数数都都是是具具体体数数字字，可可以以先先计计算算出出数数值值，再再比比较较； 2 2. .两两个个数数还还可可以以看看成成y y= =3 3x x指指数数函函数数值值，故故可可以以利利用用 指指数数函函数数的的单单调调性性进进行行比比较较。 21y2xf x xO0.70.8f(0.7)f(0.8);75. 0 ,75. 0)2(1 . 01 . 0 解法一：因为解法一：因为029186. 175. 01 . 0 ，9716

5、42. 075. 01 . 0 所以所以;75. 075. 01 . 01 . 0 点评点评: :比较底数相同指数不同的幂的大小，可将其看比较底数相同指数不同的幂的大小，可将其看 成不同的指数函数值，再利用指数函数的单调成不同的指数函数值，再利用指数函数的单调 性比较。性比较。解法二：因为解法二：因为 y=0.75y=0.75x x是是 R R 上的减函数，且上的减函数，且- -0.10.1 330.80.8, ,比较比较 a a 和和 0.8 0.8 的大小。的大小。 引引申申 4 4：已已知知a a0 0. .7 7 a a0 0. .8 8，求求实实数数 a a 的的取取值值范范围围.

6、. 引申引申 1 1：试比较：试比较7 . 0a与与8 . 0a（其中其中0a）的的大小大小 解:当 0a1 时，因为 y=ax是 R 上的减函数，且 0.71 时，因为 y=ax是 R 上的增函数，且 0.70.8, 所以;8 . 07 . 0aa 故当 0a1 时;8 . 07 . 0aa 点评点评: :指数函数的单调性由底数的大小决定，若含参数，则要分类讨论。指数函数的单调性由底数的大小决定，若含参数，则要分类讨论。 引引申申 2：试试比比较较3a与与30.8的的大大小小. 解：解：函数函数y=3x是是 R 上的增函数上的增函数 当当a0.8时，时，3a30.8; 当当a=0.8时，时，

7、3a=30.8 当当a0.8时，时，3a30.8 a0.8 引引申申3 3：已已知知不不等等式式3 3a a 3 30 0. .8 8, ,比比较较a a和和0 0. .8 8 的的大大小小。 解解：指指数数函函数数在在 R 上上是是单单调调函函数数。 又又0.70.8 且且 a0.71 引引申申 4 4：已已知知a a0 0. .7 7 3232 成立的成立的 x x 的集合的集合. . (2) (2)已知已知254aa, ,求数求数 a a 的取值范围的取值范围. . 解解: :( (1) 41) 4x x32,32,即即 2 22x2x225 5. . 因为因为 y=2y=2x x是是

8、R R 上的增函数，上的增函数， 所以所以 2x52x5 即即 x2.5x2.5 故满足故满足 4 4x x3232 的的 x x 是是(2.5,+(2.5,+);); 解：解：(2)(2)由于由于254, ,则则 y=ay=ax x是是 R R 上的减函数上的减函数, , 所以所以 0a1.0a1. 点评：点评： 当当1a时，时，xay 是增函数，则是增函数，则)()()()(xgxfaaxgxf 当当10 a时，时，xay 是减函数，则是减函数，则)()()()(xgxfaaxgxf 例 3.求下列函数的定义域和值域. (1)412xy (2) 2221xxy 解:(1)要使函数有意义，必须 04 x 即 4x 定义域为4|xRx 041x 1)21(2041xy 又0 y 值