曲面及其方程学习教案

1、会计学1曲面曲面(qmin)及其方程及其方程 第一页，共31页。0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程(fngchng) F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足(mnz)此方程;则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 : :(1) 已知动点按照某种规律运动, 求运动(2) 坐标满足方程的点都在曲面 S 上,轨迹所产生的曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何图形( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下

2、页 返回 结束 第1页/共31页第二页，共31页。故所求方程(fngchng)为),(zyxM),(0000zyxM方程(fngchng). 特别,当M0在原点时,球面方程为解解: 设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、球面及其方程一、球面及其方程第2页/共31页第三页，共31页。042222yxzyx解解: : 配方配方(pi fng)(pi fng)得得5, )0, 2, 1(0M此方程(fngchn

3、g)表示:说明说明: :如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. . 表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面球面 , 或点点, 或虚轨迹虚轨迹.5)2() 1(222zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共31页第四页，共31页。xyz引例引例(yn l). (yn l). 分析方程分析方程表示怎样(znyng)的曲面 .的坐标(zubio)也满足方程222Ryx解解: :在 xoy 面上，表示圆C, 222Ryx222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间222Ryx过此点作

4、柱面柱面. .对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面圆柱面oC在圆C上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共31页第五页，共31页。xyzxyzol平行(pngxng)定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹(guj)叫做柱面. 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线, l 叫做母线母线.xyzoo机动

5、 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共31页第六页，共31页。xzy2l柱面,柱面,平行(pngxng)于 x 轴;平行(pngxng)于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz1l第6页/共31页第七页，共31页。定义定义(dngy)3. (dngy)3. 一一条平面曲线条平面曲线 绕其平面绕其平面(pngmin)(pngmin)上一上一条定直线旋转条定直线旋转一周所形成

6、的曲面叫做旋转面旋转面.该定直线称为旋转旋转轴，曲线成为旋转面的母线轴，曲线成为旋转面的母线例如例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共31页第八页，共31页。故旋转(xunzhun)曲面方程为, ),(zyxM当绕 z 轴旋转(xunzhun)时,0),(11zyf,), 0(111CzyM若点给定 yoz 面上曲线 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共31页第九页，共31页。0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf机动(jdng) 目录 上

7、页 下页 返回 结束 第9页/共31页第十页，共31页。的圆锥(yunzhu)面方程. 解解: : 在在yozyoz面上直线面上直线(zhxin)L (zhxin)L 的方程为的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), 0(zyM机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共31页第十一页，共31页。xy12222czax分别(fnbi)绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成(shn chn)的旋转曲面方程. 解解: :绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲

8、面方程为所成曲面方程为z机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共31页第十二页，共31页。总结总结(zn(zngji)gji)(1) 面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为Oxy( , )0f x y Oxz( , )0f x z x22( ,)0f xyz(2) 面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为Oxz( , )0f x z Oyz( , )0f y z z22(, )0fxyz(3) 面上的曲线 和 面上的曲线 绕 轴旋转所形成的旋转面方程均为Oyz( , )0f z y Oxy( , )0f x y y22(, )0fxzy第12页

9、/共31页第十三页，共31页。空间曲线(qxin)可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如(lr),(lr),方程组方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共31页第十四页，共31页。表示(biosh)上半球面与圆柱面的交线C. 022222xayxyxazyxzao机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共31页第十五页，共31页。消去 z 得投影(tuyng)柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在y

10、oz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共31页第十六页，共31页。zyxC1o002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第16页/共31页第十七页，共31页。zxyo1C所围的立体在 xoy 面上的投影(tuyng)区域为:上半球面和锥面224yxz)( 322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影(tuyng)曲线)( 34:2222y

11、xzyxzC二者交线.0, 122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上(min shn)的投影曲线所围之域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共31页第十八页，共31页。 9.4 二次曲面 第18页/共31页第十九页，共31页。三元(sn yun)二次方程 适当(shdng)选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面(xi mian)仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页

12、 下页 返回 结束 第19页/共31页第二十页，共31页。zyx),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围(fnwi)：czbyax,(2)与坐标(zubio)面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第20页/共31页第二十一页，共31页。与)(11czzz的交线为椭圆(tuyun)：1zz (4) 当 ab 时为旋转(xunzhun)椭球面;同样(tngyng)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcx

13、cbca机动 目录 上页 下页 返回 结束 z第21页/共31页第二十二页，共31页。),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆(tuyun)在平面(pngmin) x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,xyz机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共31页第二十三页，共31页。(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 1上的截痕为平面1zz 椭圆(tuyun).时, 截痕为22122221byczax(实轴平行(pngxng)于x 轴；虚轴平行(pngxng)于z 轴）1yy zxy),(1222

14、222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线: 第23页/共31页第二十四页，共31页。虚轴平行(pngxng)于x 轴）by 1)2时, 截痕为0czax)(bby或by 1) 3时, 截痕为22122221byczax(实轴平行(pngxng)于z 轴;1yy zxyzxy机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 相交直线: 双曲线: 0第24页/共31页第二十五页，共31页。),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆(tuyun)注意(zh

15、y)单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 图形图形第25页/共31页第二十六页，共31页。(1) 椭圆(tuyun)抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面(qmin)）zqypx2222zyx特别(tbi),当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 zqypx2222第26页/共31页第二十七页，共31页。三元(sn yun)二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆(tuyun

16、)抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面:单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面: 22222zbyax机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共31页第二十八页，共31页。设三元二次方程的一般形式为2221122331213231232220a xa ya za xya xza yzb xb yb zc 令3 3123(),( , , ) ,( ,)TTTijAAaux y zbb b b则上面方程可写为0TTu Aub uc因为A是实对称矩阵，所以存在正交阵Q，使得123(,)TQ AQdiag 作正交变换u=Qv，则123(,)0TTv diagvb Qvc 第28页/共31页第二十九页，共31页。即2221 1213 11 1213 1