数学建模作业影院座位选择

1、影院座位选择摘要看电影是众多大学生所喜爱的业余享受,怎样选择一个好位子观影也是大家所关心的一个问题.本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影,建立模型进行分析.由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角,视角越大,仰角越小越适宜.因此是一个多目标规划问题.本文先建立了模型1,采用主目标法找出了讲堂最优的一个位子.而后就“怎样选择一个好位子的问题,建立模型2,分析了讲堂中央局部座位的满意程度,由于这个问题涉及的目标较多,即要考虑水平和垂直两种情况,相对复杂.模型2作了巧妙的假设,提出了根本视效的概念将目标化为单一的一个,运用几何的方法,给出了各个座位的根本视效值,从而根本视效值大的座位满意度高,反

2、之,满意度低.模型2的优点在于防止了其他方法,如权重法的主观性.因此模型也更加可信.关键词多目标规划视角仰角几何根本视效matlab一、问题的背景一看电影一直是广阔学生所偏好的业余活动,将自己隐藏在一片漆黑之中,心随画面变换,感受视听震撼,仿佛置身另一个世界,一时间忘却所有烦恼.在师范大学,每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息,其中每周敬文讲堂放映的英文电影,因其免费放映、效果良好、寓教于乐,更是成为多年来的保存节目.每每放映之前,讲堂门口都聚集着众多同学,排着长队,准备争抢观影好地形.问题的提出有效视角是指人的有效视觉范围,一般,双眼正常有效视角大约为水平90,垂直70,考虑双眼余光

3、时的视角大约为水平180,垂直90o观影时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角.经医学实验得知：10.以内是视力敏锐区,即中央视野,对图像的颜色及细节局部的分辨水平最强.20.以内能正确识别图形等信息,称为有效视野.*030.,虽然视力及色区分水平开始降低,但对活动信息比拟敏感,30.之外视力就下降很低了.但是人们又发现,假设观看一幅宽大的画面时,视角大到一定值后,观看者会感到和画面同处一个空间,给人带来一种身临其境的艺术效果.即虽然图像内容是二维平面的,但结合在一起后,平面的图像能呈现出立体感,这种效果在观察大画面图像时,会令人感觉出画面有自然感和动人逼真的临场感.也就是说观影时,视角

4、越大,越能到达一种身临其境的满足感.但是观影时假设只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的,其中仰角指观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角.例如,坐在第一排看电影,虽然视角很大,但观影者须在这个观影过程中仰头,整个过程也不一定享受,一般仰角越小,观影过程越舒适.同样,定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与水平线的夹角中大的角度值,那么坐的越偏,斜角越大,座位过偏时,也会导致颈部向一侧扭曲,甚是难受,无疑坐的越靠近影院中轴线,斜角越小,越舒适.由上面的分析,在敬文讲堂看电影时,座位过偏、过前,整个过程要么扭颈斜视,要么曲项向大,着实难受,座位太后,又视觉不够震撼,不够享受.怎样选择一个好

5、座位呢,下面我们就进行建模,找出其尽量的实际的答案.考虑到讲堂的400个座位分为左侧、中央和右侧三个局部,其中中央局部约2*0个座位,两侧约各200个.由于敬文讲堂,只有一个小的投影屏幕,宽度远小于正规电影院的屏幕,两侧的座位的观影效果在各个方面都比中央局部的座位差很多,又考虑到中央的近200个座位可以满足占座位同学的需求,所以下面的讨论都只限于中央的座位.以下图为敬文讲堂剖面简图,只画出中央局部的座位,且台阶型座位只简化为三、模型的建立模型1:寻找最优位置显然,最优的位置一定位于讲堂最中央的一列座位,所以这个模型所选择的范围就缩小了,只用考虑一列14个座位.1模型的假设A.假设敬文讲堂的座位

6、面为与水平面夹角为的倾斜面如以下图所示B.不考虑人们视力的影响,即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清楚度相同.C.不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响.D.只从中间局部的座位选择.*.忽略观众头顶到眼睛的距离.F.忽略观众两眼间的距离.*.将每个座位所在区域视为一个矩形,观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中线上.2参量变量HhH1D*1l*屏幕上边缘到地面的高度屏幕的高度最后一排距地面的高度观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角近似座位面与水平面所夹的二面角第一排座位与屏幕的水平距离最后一排座位与屏幕的水平距离观众眼睛到屏幕的水平距离

7、观众所处的座位面上的点到水平面的距离观众眼睛到水平面的距离观众平均坐高观众眼睛所在位置构成的直线经过实地测量,讲堂中中央局部的座位有14排X13列,座位与座位之间左右间隔米,前后间隔1米.并测量、计算得到了以下参数的具体数值长度单位均为米：H4h*D18d4a*130*an3/143模型的求解由于经过如上假设,最正确的位置一定位于讲堂最中央的一列座位,所以问题便转化成一个平面几何问题.为到达视角尽可能大,仰角尽可能小的目的,就是在线上选择适宜的点使得角+尽量大,但角尽量小.由于和的变化范围都在-90-90之间,所以可以用函数arctan来衡量角的大小.如图所示,tan=HL,tan=业且.所以

8、=arc*,sisi*1si=arctar!+h-H注意,L+hH时为正,那么,问题进一步转化为s1.HL+h-H一一,H-L一一,arc*a*-+arctan；一尽量大,而ar*ta*7尽量小.而后一目标可简化为s1s1s*-L_s1尽量小,即士一尽量大.s1H-L用数学语言写为：f1(s)=s1*f2(s)=ar*tanHL+arctan业s*s1Fs=*1*1,f2s1在解的可行域R内,求多目标的极值问题可记为:m*xF(s1)这是一个典型的多目标优化问题,一般,在解决这类问题时,要用“化多为单的方法.下面就用主目标优化法对模型进行求解.所谓主目标法就是分清目标的主要与次要,主要的目标必

9、须到达,所以这种方法就是使主目标优化,而使其他的目标降为约束条件.进一步分析,人们在观影时,视角大能到达更好的震撼效果,这也是人们进电影院看电影的原因,而通过调整颈部的扭转角度,只要角度不是很大,是不会给人的身体带来太大的不适感的,特别是当电影内容比拟精彩时,人们更会忽略颈部的不适感,而更追求观影的视觉效果.查资料知,当仰角不大于20时,短时间的观影不会给人体带来太大的不适感.也就是说,视角大给人们带来的满足感比仰角小给人们带来白舒适感更重要.所以f*(*1)为主要目标,f1(s*)降为约束条件f2(s1)tan(2*)o0那么问题转化为一个非线性规划：max*2(s1)ds*D*1(s1)t

10、an(*0)0在求f2(s1)极值时,利用f2(s1)=0,即：(ar*ta*H-L)(arctarL+h-H)=0s1s1HL*p-s1201 (*L)1(Lh2H)s12s12*HHLh八0s12(H2*$12(Lh2H)将L=(*1-d)*tan+a=(s1-4)*3/14+,*=4,h=*,代入整理得3(s14)14s1*J)140*.1j3(s14)1*s12)214用*at*ab解得s1=4*-L*+*-H回出f=(arcta*)(arctan)的图像(见以下图)s1s1H-ll+h-*由图像看出f*(s)=arctan+a*ctan的导数值恒负s1s1-0*1-*084*810*

11、21*16进一步,算出各排的视角值排数12*4567视角*31.*2*排数891*11121314视角*510.*5以及各排的仰角值排数*2*4*67仰角*3.*1310.*42排数8910111*1314仰角:*7.*614*09*7视角是依排数递减的,再由约束条件*2(s1)*.5时阴影局部的面积为=(x2-x*)(yi+y*)4棱锥在屏幕所在平面的投影面积为S=(*si)、,S那么根本视效k=一Sp用Matlab软件可计算出有14排x*3列,282个座位的k值,下表为中央一列和他右侧共98个座位的根本视效值,表格安排与座位安排相同：*094*.57094*48000*752*.01835

12、200*0.*63*14*.6*28*.31938*.1299300*.83951*0.*1902*53100*0.*2*04*6250*7*.6*7*.50618*.224340*89*7*.33705*58*20*.*1705*883*.2*831*2*.3*9*6*.12943*7*34*.1*43*.283*9*24*50.*5077*0*70.*077*.2*9*.131*7*.*832*5并画出14排x*3列,*82个座位k值的三维图形,可更直观的看出各个座位的观影适合程度,图形中方格的分布与敬文讲堂俯视图中座位的分布相同.其中越突出的地方越适合观影：从上面表格及图形可看出,前9排

13、靠近中央的座位都比拟适合观影,其中3到7排中央3列的座位观影满意度更佳.因此在敬文讲堂看电影时,可优先选择这些位子.且最正确的那*5个位子满意度相差不多,选择时不必过度苛求.而对于相对较偏的位子,靠后坐一些可以得到比坐在前排可好的视觉效果.5模型的分析我们定义根本视效这一标准来衡量座位的优良是有其合理性的.由于观众在观看电影时,视野中屏幕所占的比例越大,视觉效果越好,它与专业上所说的视角越大,视效越好是同理的,只不过一个用的是角度的度量,一个用的是比例系数的度量.当观众的根本视效较小时,他总会通过扭转颈部的方法使根本视效最大化.例如,坐在第一排的观众没有谁是不仰头看电影的,而坐在边上的观众也都

14、不是直视前方的.因此,这一模型就是将视角和仰角整合成一个变量,基本视效值k小既意味着视角不够大,也暗含着,你需要更大地扭转颈部来到达满意的视效,从而要影响观影的舒适度.这样,模型就很好地把一个多目标规划变成了一个单目标的规划.而假设人的水平和垂直有效视角均为20,将人的有效视觉区域看成一个4棱锥,虽然看似荒唐,但对问题的解决上是不存在太大影响的,由于这是一个比拟问题,只需比拟座位之中哪个的根本视效最大.而采取20,而不是其他角度,是与医学上认为,2*.以内能正确识别图形等信息,并称为有效视野相符合的,后来带入程序也验证采用其他角度建立模型,得到的结果并不满意.从模型2的结果,光看中央一列的根本

15、视效*值,正好是第*排到达最优,与模型1的结果一致,可以说相互作了验证,模型是合理的.四、参考文献1刘来福,曾文艺.数学模型与数学建模.北京师范大学出版社2席少霖,赵凤治.最优化计算方法.上海科学技术出版社3范玉妹,徐尔,周汉良.数学规划及其应用第2版.冶金工业出版社4欧阳崇森.实用最优化技术.湖北科学技术出版社5清源计算机工作室.Ma*lab根底及其应用.机械工业出版社五、心得体会经过了两周的奋战,终于完成了这篇凝聚了自己心血的论文.一周的选题,大海捞针,头晕眼花,一周的写论文,反复推敲,辛酸苦辣.最后近20页沉甸甸、思想不是*trl+C力口Ct*+V的论文,还是带给自己非凡的满足感.选题时

16、阶段,无论何时何地,都在想眼前的东西,可不可以建模分析一下,道边的垃圾桶、教九楼的电梯、耳中的音乐、超市发的商品价格最后选择了看电影的题目,还算比拟适合自己的水平.初次接触这种多目标规划的题目,首先联想到了微观经济学中学到的效用函数的概念,后来查找资料,真的有类似的分析方法-权重法.但仔细思考,发现此种方法的主观性太大,不易把握,所以换了一个角度思考,使得模型的准确性更高.特别是模型*的建立,将它转化成一个单目标规划,依据了医学的一些根本原理,提出了大胆的假设,可以说尽量少的掺杂主观成分.开始,模型2是用圆锥形来做的,后来在计算上过于复杂,因而改用4棱锥.在角度的选择上也费了不少心思,最后还是

17、发现用医学上的有效视野的角度数最适宜.模型的结果还是和平时的经验比拟符合的,因此对于模型2这个灵感迸发,还是十分满意的.写论文过程中,每晚对着电脑,有一种探索的感觉,不知道模型是否合理,所有努力是否会付之东流,只是一步步地前进着,期待着一个满意的结果.其中也出现了反复,由于忘了一种的情况的讨论,而疑心整个模型的正确性,一时间万念俱灰,由于打错了一个字母,对着短短的程序发了一下午呆,欲哭无泪.所以作完了这次论文,也使自己充分领悟了细心的重要性.总之,感谢这学期开设的数学模型课,让我们体验到了数学的魔力与探索的乐趣,让我对着家教的学生可以讲出数学的万般用处,感谢老师和助教的辛勤辅导,让我们的建模和建算机水平都有了提升.最后对于论文中众多的缺乏之处,还恳请老师指正.附录：附Matl*b程序如下:模型1程序：建立M-文件functionf=f(s)f=(3*(s-4)/14-3.*)/(sA2+(3*(s-4)/A2)-(3*(s-4)x)+atan(x-4)*3/14+-1.*).反)func*iony2=y2(x)y2=atan(x-4)*/14+)./x)s=4:1:*7;y=y(*);y=y.*180/*.1*Colu*ns