《复数的概念》课件和练习

1、旧知导入 思考1：你还记得实数的发展历程吗？数系的扩充NZQ用图形表示包含关系：自然数整数有理数R无理数实数旧知导入 思考2：为什么要将数系进行扩充？数系每次扩充的基本原则： 第一、增加新元素； 第二、原有的运算性质仍然成立； 第三、新数系能解决旧数系中的矛盾. 思考3：有没有解？012x 方程无实数解；因为负实数不能开平方。 为了解决正方形对角线的度量，以及 这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。根据这个方法，为了使负实数也能开平方，我们将数系进行扩充。012x 依照这种思想，为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i是方程的解。1

2、2i即思考4：把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配率。 那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？旧知导入 依照以上设想，把实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加，结果记作a+bi.思考5：以上这些数有什么特点呢？ 所有实数以及i都可以写成a+bi 的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。Rba,012x知识探究（一）：数系的扩充和复数的概念复数的概念复数的代数形式 的数叫做复数。我们把形如Rbabia,11,2ii且叫做虚数单位其中 叫做复数集。全体复数构成的集合

3、RbabiaC,2了。中就有解在复数集这样，方程ixCx012Rbabiazz,表示，即复数通常用字母的实部与虚部。分别叫做复数与。其中的都有复数zbaRbabiaz,i为虚数单位Rbabiaz,即复数12i且知识探究（一）：数系的扩充和复数的概念复数的相等),(,RdcbadicbiaRbabiaC中任取两个数在复数集dbcadicbia且相等当且仅当与我们规定：虚数与纯虚数 ；它是实数时，当且仅当它是实数；时，当且仅当对于复数0, 00,0),(1zbaazbRbabia 它叫做纯虚数。时，且当它叫做虚数；时，当对于复数,00,0),(2bizbabiazbRbabiabiaz复数是实数。

4、时当zb,0是虚数。时当zb,0是纯虚数。时，特别地，且za0知识探究（一）：数系的扩充和复数的概念思考：复数集C和实数集R有什么联系？我们已经知道复数有如下分类：显然，实数集R是复数集C的真子集。biaz复数是实数。时当zb,0是虚数。时当zb,0是纯虚数。时，特别地，且za0CR 即自然数整数有理数实数负数分数无理数复数虚数由此可得，数的发展历程如下：小试牛刀1、判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b为实数，则zabi为虚数( ) (2)若zmni(m，nC)，则当且仅当m0，n0时，z为纯虚数( ) (3)bi是纯虚数( ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那

5、么这两个复数相等( )2、判断以下复数哪些是虚数？哪些是纯虚数；并说出实部和虚部。 i 231 i 3212 i2133 i 2 . 04 . 23，虚部是实部是是虚数但不是纯虚数；. 321，虚部是实部是是虚数但不是纯虚数；.213，虚部是实部是是虚数但不是纯虚数；. 2 . 00，虚部是部是是虚数也是纯虚数；实小试牛刀 纯虚数。虚数；实数；是下列数？取什么值时，复数、当实数例321111immzm例题讲解 是实数。时，复数，即当解：zmm101-1 是虚数。时，复数，即当zmm101-2 是纯虚数。时，复数，即，且当zmmm1-01013的值m实数,PPM，若1,1,4iP，2)im(m2

6、m)(m，1M已知222求、例PPM解：因为PM 所以i 42)im(m2m)(m-12)im(m2m)(m2222或即02mm-12mm-12)im(m2m)(m2222得：由1m解得42mm02mm4i2)im(m2m)(m2222得：由2m解得21或综上可得：m方法总结解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解例题讲解思考1:我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。那么，复数有什么几何意义呢？知识探究（二）：复数的几何意义何表示方法吗？由此你能想到复数的几。）唯一确定；反之也对（对都可以由一个有

7、序实数任何一个复数根据复数相等的定义，babiaz,是一一对应的。与有序实数对所以复数数对以唯一确定一个有序实并且任给一个复数也可）唯一确定；对（都可以由一个有序实数因为任何一个复数babiazbabiaz,.,以建立一一对应关系。坐标系中的点集之间可所以复数集与平面直角的点是一一对应的，）与平面直角坐标系中有序实数对（ba,知识探究（二）：复数的几何意义表示。可用点复数，纵坐标是的横坐标是如图所示，点baZbiazbaZ,规定：这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。ObabiaZ.323 ,

8、 2-1-020 , 200 , 0ii表示复数点，表示纯虚数，虚轴上的点，表示实数实轴上的点，表示实数例如，复平面内的原点xy按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点与它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应。知识探究（二）：复数的几何意义由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系。biaz复数baZ,复平面内的点一一对应这就是复数的第一种几何意义。思考2:在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，那么，你能用平面向量来表示复数吗？知识探究（二）：复数的几何意义ObabiaZxy唯一

9、确定；由点，显然连接表示复数的点如图所示，设复平面内ZOZOZbiazZ,唯一确定。也可以由反过来，点OZZ与零向量对应实数一一对应关系起点的向量建立了如下点为中的数与复平面内以原因此，复数集0Cbiaz复数OZ平面向量一一对应这就是复数的另一种几何意义。知识探究（二）：复数的几何意义表示同一个复数。并且规定，相等的向量，或说成说成点复数为方便起见，我们常把OZZbiazObabiaZxybiazbiazOZ或记作的模或绝对值。的模叫做复数如图，图中Rbababiaz,22其中或即的绝对值，它的模就等于是一个实数，那么如果aaabiazb 0 的大小。的模，并比较它们的模求复数对应的点和向量；

10、在复平面内画出复数、设复数例212121,2,1.34,343zzzziziz .,1212121OZOZZZzz对应的向量为，对应的点分别为如图所示，复数解：知识探究（二）：复数的几何意义 534342221iz53434222iz21zz 所以思考:有怎样的关系？点21,ZZ一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭复数。.,biazbiazzz那么表示，即如果的共轭复数用复数变式训练的取值范围分别求实数直线）（上若复平面、m上，xy在(3)在第二象限；2;在虚轴(1)对应点 2)i3m(m2)m(mz，在12223mm

11、2,mm 2)i3m(m2)m(mz2222虚部为实部为的解：复数1-2m0,2mm:) 1 (2或解得由题意得023mm02mm:)2(22由题意得1m2m21:或解得m11m则2m2,3m-2mm:)3(22解得由题意得m变式训练.)3()2() 1 (.42,23 , 0,2表示的复数点表示的复数；表示的复数；试求：对应的复数分别是的三个顶点、已知平行四边形BCAAOiiCAOOABC4 , 2,2 , 3),0 , 0(OCOAO则为原点解：由题意得： 2- , 32 , 3-1 OAAO因为iAO23表示的复数为所以 2, 54 , 22 , 32OCOACA因为iCA25表示的复数

12、为所以 6 , 14 , 22 , 33OCOAOB因为iOB61表示的复数为所以iB61表示的复数为所以点 . 212; 11,4zzZZzCz的集合是什么图形？下列条件的点，那么满足对应的点为在复平面内、设例知识探究（二）：复数的几何意义思考:有怎样的关系？平面内它们所对应的点是共轭复数，那么在复若21,zz 为半径的圆。为圆心，以以原点的集合是，所以满足条件的点得模等于得，由解：1111OZOZz 12212zzz可化为不等式不等式合。的内部所有点组成的集的解集是圆不等式22zz合。的外部所有点组成的集的解集是圆不等式11zz。不包括边界圆环为半径的两个圆所夹的及以为圆心，集合是以原点不

13、等式的解集。即所求这两个集合的交集就是21O横坐标相等，纵坐标互为相反数。变式训练的集合是什么图形？对应的点在复平面上的复数则满足条件设ZzizCz43,得解：由iz435z. 55到原点的距离等于，即点的长度等于这表明ZOZ为半径的圆。为圆心，以以原点的集合是因此满足条件的点5OZ 1、已知 x 是实数，y 是纯虚数，且满足 ，求 x 与 yiyyix)3()12( 解：，则则且且设设)0R( bbbiyibibiix)3()12( ibbix)3()12( 即由复数相等的条件得 3112bbx 234xb.4,23iyx 提升训练 提升训练 2、在实数与复数范围内, 讨论关于x的一元二次方

14、程 (a、b、cR, a0)的根的情况。解：=b2-4ac 当=0时，有两相等实根；当0时，有两不等实根；当0时，b2-4ac0，=i2（4ac-b2）abacibx24202cbxaxaacbbx2423、设复数z = a + bi (a，bR)和复平面上的点Z (a，b)对应，a，b必须满足什么条件，才能使点Z位于：（1）实轴上？（2）虚轴上（不含原点）？（3）上半平面（含实轴）？（4）左半平面（不含虚轴）？提升训练 0b00ba且0b0a课堂小结 课本P73 习题7.1 第2、3、4、6题作业布置 1、数系的扩充与复数的概念；2、复数的两种几何意义；3、共轭复数。1.数系扩充及复数概念例1、2、3四、作业布置