数学物理方程1-01演示教学

1、数 学 物 理 方 程 与 特 殊 函 数主讲教师： 沈 良 E-mail: 序常微分方程?偏微分方程常微分方程：定义，解，阶，线性，齐次，系数 例：注：二阶，线性 假设 ，那么称为齐次；否那么为非齐次。 假设系数 为常数，那么称为常系数方程。偏微分方程：三类典型方程 波动方程热传导方程位势方程注：三维，齐次课程内容：第一章 典型方程和定解条件的推导根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；主要内容从不同的物理模型出发，建立数学物理中三 类典型方程；提出相应的定解问题第一章 典型方程和定解条件的推导1 根本方程的建立例 1. 弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正

2、半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。假设与结论：1横振动 坐标系oxu，位移u(x,t) 2微小振动第一章 典型方程和定解条件的推导建立方程： 取微元 MM ，研究在水平方向和垂直方向上 MM 在不受外力的情况下的运动情况。第一章 典型方程和定解条件的推导3弦柔软、均匀. 张力 , 线密度 ；牛顿运动定律： F = ma作用在弧段 上的水平方向的力为 倾角很小，即 近似得 垂直方向的力为1第一章 典型方程和定解条件的推导牛顿运动定律： F = ma作用在弧段 上的水平方向的力为 倾角很小，即 近似得 垂直方向的力为1第一章 典型方程和定解条件的推导于是等式1变成由微

3、积分知识可知，在时刻t 有2等式2可以写成由于牛顿运动定律： F = ma作用在弧段 上的水平方向的力为 倾角很小，即 近似得 垂直方向的力为1第一章 典型方程和定解条件的推导于是等式1变成由微积分知识可知，在时刻t 有2等式2可以写成由于令 ，取极限得略去重力，可得方程其中(3)弦振动方程（3）中只含有两个自变量 和 ，其中 表示时间， 表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。 4 其中 ，而外力可以是压力、重力、阻力等。第一章 典型方程和定解条件的推导注2.注1.如果在弦的振动方向有外力作用，假设在时刻 弦上点 处的外力密度为 ，那么方程3为： 例 2. 热传

4、导方程高斯公式第一章 典型方程和定解条件的推导,21tt内，通过曲面S流进V的热量 其中 分别是物体的比热和密度。第一章 典型方程和定解条件的推导热量守恒定理 第一章 典型方程和定解条件的推导化简三维齐次热传导方程 其中第一章 典型方程和定解条件的推导 如果所考察的物体内部有热源，强度为 , 那么热传导方程为二维热传导方程 维热传导方程 第一章 典型方程和定解条件的推导三维热传导方程 例3. 稳恒温度场：即 Laplace方程 Poisson方程当物体内部没有热源时第一章 典型方程和定解条件的推导 当我们考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体材料中的杂质扩散等物理过程时, 假设用 表示所扩散物质的浓度, 那么浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同. 所以热传导方程也叫扩散方程.第一章 典型方程和定解条件的推导波动方程 声波、电磁波、杆的振动；热传导方程 物质扩散时的浓度变化规律, 土壤力学中的渗透方程;Laplace方程 稳定的浓度分布, 静电场的 电位, 流体的势.总 结：第一章 典型方程和定解条件的推导补充内容：场论介绍 数量场 向量场方向导数 梯度散度旋度牛顿-莱