函数的单调性与曲线的凹凸性ppt课件

1、上页下页结束返回首页3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性单调性的判定法单调性的判定法单调区间求法单调区间求法曲线的凹凸性曲线的凹凸性曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法上页下页结束返回首页一、单调性的判定法一、单调性的判定法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理abBA.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上单单调调减减少少在在，那那末末函函数数内内如如果果在在上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（内内可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数baxfyx

2、fbabaxfyxfbababaxfy 上页下页结束返回首页证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上上单单调调增增加加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 上上单单调调增增加加；在在，那那末末函函数数内内如如果果在在）（内内可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数,)(0)(),(1.),(,)(ba

3、xfyxfbababaxfy定理定理上页下页结束返回首页例例1 1 讨论函数讨论函数y=x-sinx y=x-sinx 的单调性。的单调性。解：解：y=1-cosx 0， y=x-sinx在在( ,+ )上单调增上单调增加加2468101224681012几何上看：单调区间的分界点是使几何上看：单调区间的分界点是使f (x)=0的点的点.注注1: 区间内孤立点处导数为零或不存在区间内孤立点处导数为零或不存在 , 不影响函数在区间上的不影响函数在区间上的单调性单调性.上页下页结束返回首页例例2 2解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数

4、单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函数单调增加函数单调增加注注2:2:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(: D又又上页下页结束返回首页例例3 3解解.)(32的的单单调调性性讨讨论论函函数数xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)(

5、 xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(32xy 上页下页结束返回首页二、单调区间求法二、单调区间求法问题问题: :如上例，函数在定义区间上不是单调的，但如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间的，则该区间称为函数的单调区间. .导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :.,)()(0)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不

6、不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程xfxfxf 上页下页结束返回首页例例4 4解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(时时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2上页下页结束返回首页 还可以用列表的方式讨论还可以用列表的方式讨论

7、).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xxx)1 ,( y +)2,1(),2( +y=f(x)列表：列表： 上上单单调调增增加加；在在), 2,1 ,( xf.2 , 1 上上单单调调减减少少在在上页下页结束返回首页例例5 5证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)(), 0(,), 0)( xfxf可可导导，且且上上连连续续在在上单调增加；上单调增加；在在), 0 , 0)0( f时，时，当当0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即注意注意

8、:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在 ,0fxf 利用单调性证明不等式和判断方程根利用单调性证明不等式和判断方程根P130例1上页下页结束返回首页例例6 6 证明当证明当x0 x0时，时，.6sin3xxx 证：令证：令6sin)(3xxxxF 21cos)(2xxxF 0)2(sin)2(222sin22222 xxxx F(x)在在(0,+)内单调上升，又内单调上升，又F(0)=0，F(x)在在x=0处连续，处连续，利用单调性证明不等式和方程根利用单调性证明不等式和方程根:,

9、0)(即即 xF.6sin, 06sin33xxxxxx 上页下页结束返回首页三、曲线的凹凸性问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC上页下页结束返回首页定义定义1212()()(),( )22()()xxf xf xff xI 如如果果恒恒有有那那末末称称在在上上的的图图形形是是凸凸的的向向上上或或凸凸弧弧 恒恒有有如如果果上上连连续续在在区区间间设设,)(21IxxIxf ,2)()()2(2

10、121xfxfxxf ( )()();f xI那那末末称称在在上上的的图图形形是是凹凹的的向向上上或或凹凹弧弧xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x122xx 12()2xxf 12()()2f xf x 上页下页结束返回首页四、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA 0y递递减减)(xf 0y定理定理1 1( ) , ,( , ),( , )(1)( )0,( ) , ;(2)( )0,( ) , .f xa ba ba bfxf xa bfxf xa b 如如果果在在上上在在内内一一阶阶和和阶阶导导数数 若若在在内内则则在在上上连

11、连的的图图形形是是的的则则在在上上的的图图形形续续具具有有凹凹是是凸凸的的二二上页下页结束返回首页,2,21021xxxxx 令令不不妨妨设设),()(! 21)()()(020000之间之间在在xxxxfxxxfxfxf 分析分析( ) , ,( , ),( , )(1)( )0,( ) , ;(2)( )0,( ) , .f xa ba ba bfxf xa bfxf xa b 如如果果在在上上在在内内一一阶阶和和阶阶导导数数 若若在在内内则则在在上上连连的的图图形形是是的的则则在在上上的的图图形形续续具具有有凹凹是是凸凸的的二二定理定理1 1,2)()()2(2121xfxfxxf 上上

12、与与分分别别在在,0201xxxx上页下页结束返回首页.1）仅仅证证结结论论（,2,21021xxxxx 令令不不妨妨设设),()(! 21)()()(020000之间之间在在xxxxfxxxfxfxf 证证,2121xxbaxx 且且任任取取0( )f xx把把函函数数在在点点展展开开为为阶阶泰泰勒勒一一公公式式，得得( ) , ,( , ),( , )(1)( )0,( ) , ;(2)( )0,( ) , .f xa ba ba bfxf xa bfxf xa b 如如果果在在上上在在内内一一阶阶和和阶阶导导数数 若若在在内内则则在在上上连连的的图图形形是是的的则则在在上上的的图图形形续

13、续具具有有凹凹是是凸凸的的二二定理定理1 1上页下页结束返回首页.1）仅仅证证结结论论（,2,21021xxxxx 令令不不妨妨设设),()(! 21)()()(020000之间之间在在xxxxfxxxfxfxf ),()(! 21)()()(022202202002之间之间在在xxxxfxxxfxfxf 证证,2121xxbaxx 且且任任取取0( )f xx把把函函数数在在点点展展开开为为阶阶泰泰勒勒一一公公式式，得得得得为为分别取分别取,21xxx),()(! 21)()()(011201101001之之间间在在xxxxfxxxfxfxf 上页下页结束返回首页)()(21)(220222

14、0110 xxfxxfxf )()(21)2(2121xfxfxxf 即即二二式式两两边边相相加加，得得 )()(21xfxf),(2)()(0)(021xfxfxfxf 由由结论结论2可类似得证可类似得证.教材上用教材上用langrange定理证明定理证明!上页下页结束返回首页例例7 7.3的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到, ,上页下页结束返回首页.232y

15、xyxeeeyx 时时，当当例例xexf )(证证：设设是凹的。是凹的。)(0)(xfxf 22)()()2(212122121xxxxeeexfxfxxf .22yxyxeeeyx 时时，即即当当上页下页结束返回首页五、曲线的拐点及其求法连连续续曲曲线线上上凹凹凸凸的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点.1.1.定义定义注注:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.xyoABC上页下页结束返回首页证证,)(二阶可导二阶可导xf,)(存在且连续存在且连续xf , )()(0两两边边变变号号在在则则xxfxf ,)(,(00是拐点是拐点又又xfx,)(0取得极值取得极

16、值在在xxf ,条件条件由可导函数取得极值的由可导函数取得极值的. 0)( xf上页下页结束返回首页2 2、拐点的求法、拐点的求法 二阶导数等于零的点和二阶导数不存在二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点，可能是拐点的点，可能是拐点方法方法1:1:；求求)()1(xf ；不存在的点不存在的点及及求求ixxfxf)(0)()2( 的的符符号号：两两近近旁旁检检查查)()3(xfxi .)(,(,;)(,(,0000是拐点是拐点点点相反相反不是拐点不是拐点点点相同相同xfxxfx上页下页结束返回首页例例1010.14334的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的区区间间求求曲曲线线 xxy解解),(: D,

17、121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸区区间间为为上页下页结束返回首页例例1212.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0

18、(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点xy 上页下页结束返回首页小 结1.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.2.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立仍然成立.3.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.4.曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;5.改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法.上页下页结束返回首页思考题思考题1 若若0)0( f，是是否否能能断断定定)(xf

19、在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？上页下页结束返回首页思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf上页下页结束返回首页 )212(1kx当当 时，时，0)212(41)( kxf kx21当当 时，时，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf-0.1-0.050.050.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.075上

20、页下页结束返回首页思考题思考题2设设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，则，则,(0 x)(0 xf是否一定为是否一定为曲线曲线)(xf的拐点？举例说明的拐点？举例说明.上页下页结束返回首页思考题解答思考题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不不一一定定是是拐拐点点.例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并并不不是是曲曲线线)(xf的的拐拐点点.上页下页结束返回首页作业：P152：3-（3）、5-（1）（5）、6、7、8-（3）、9-（3）上页下页结束返回首页.)()(,(,0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 方法方法2:2:例例.)2 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,