工程力学第16讲 弯曲内力：不写方程直接画内力图

1、10103 3 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系1、支反力：2qlFFBYAYLqFAYFBY2、内力方程qxqlxFs21)()0(lx 22121)(qxqlxxM)0(lx 3 3、讨论：、讨论：)(21)(xFqxqldxxdMs)()(xqqdxxdFsx对dx 段进行平衡分析，有：0)(d)(d)()(0 xFxFxxqxFYsss)(dd)(xFxxqsdxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)M(x)dxAy xqxxFsdd剪力图上某点处

2、的切线斜率剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。等于该点处荷载集度的大小。 q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)M(x)dxAy0)(d)()()(d(21)d(, 0)(2xMxMxMxxqxxFFmsiA)(d)(dxFxxMs弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM xqxxFsdd)(d)(dxFxxMs)(d)(d22xqxxM二、微分关系的应用二、微分关系的应用2 2、分布力、分布力q(x)=q(x)=常数时常数时剪力图为一条斜直线； 弯矩图为一条二次曲线。1 1

3、、分布力、分布力q(x)=0q(x)=0时时剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线。Fs图：图：M图：图：（1 1）当分布力的方向向上时）当分布力的方向向上时剪力图为斜向上的斜直线； 弯矩图为上凹的二次曲线。Fs图：图：M图：图：M(x)4 4、集中力偶处、集中力偶处剪力图无变化；弯矩图有突变， 突变值的大小等于集中力偶的大小。5 5、弯矩极值处、弯矩极值处剪力为零的截面、集中力作用的截面、 集中力偶作用的截面。3 3、集中力处、集中力处剪力图有突变，突变值等于集中力的大小； 弯矩图有折角。（2 2）当分布力的方向向下时）当分布力的方向向下时剪力图为斜向下的斜直线； 弯矩图为下凹的二次曲线。

4、Fs图：图：M图：图：M(x)外力外力无分布荷载段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0FsFs0 x斜直线增函数xFsxFs降函数xFsCFs1Fs2Fs1Fs2=F自左向右突变xFsC无变化斜直线Mx增函数xM降函数曲线xM盆状坟状xM自左向右折角 自左向右突变xM折向与F同向三、剪力、弯矩与分布力之间关系的应用图三、剪力、弯矩与分布力之间关系的应用图MmMM12与m同 xM1M2 例例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。控制点控制点: :端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。四、简易法作内力图法（利用微分规律）四、简易法作内力图法（利

5、用微分规律）: : 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。基本步骤基本步骤：1、外力图； 2、剪力图；集中力突变，无集中力处水平直线、倾斜直线或曲线。 3、弯矩图；集中力偶处突变，无集中力偶处根据剪力图积分一次来画。左端点：剪力图有突变，突变值左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值右端点：弯矩图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。qa2223qaqaxMaaqaqA解解：1、确定支反力（可省略）左侧段左侧段：剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线右侧段右侧段：剪力图为斜向上的斜直线； 弯矩图为上凹的二次曲线。

6、2、画内力图Fym223; 0qamFYFsxFsFs(x)x2kN2kN解解：1、支反力)( 2);( 20432121002120kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY2、画内力图AC段段：剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线BD段段：剪力图为斜向下的斜直线； 弯矩图为下凹的二次曲线。CD段段：剪力图为零； 弯矩图为一条水平线。A、C、B 截面剪力图有突变；截面剪力图有突变；突变值的大小为其集中力的值。突变值的大小为其集中力的值。1kN/mABC D2kN2m1m1mFAYFBYM(x)x2kN、m 2kN、m1m4m10kN/m20kN40kN、mCBA解解：1、支反力FAYF

7、BY).(25);(350440520241000410200kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY2、画内力图CA段段：剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线AB段段：剪力图为斜向下的斜直线； 弯矩图为下凹的二次曲线。C、A、B 截面剪力图有突变；截面剪力图有突变；大小为其集中力的值。大小为其集中力的值。A截面弯截面弯矩图有突变；大小为其集中力矩图有突变；大小为其集中力偶的值。偶的值。Q=0处处M有极值有极值201525Fs(x)x（kN）M(x)xkNm202.5m31.2520解：求支反力2 ; 2qaFqaFDYAY0;2MqasF左端点A：221;2qaMqasFB点左：22

8、1;2qaMqasFB点右：221;2qaMqasFC点左：M 的驻点：283; 0qaMsF221;2qaMqasFC点右：0 ; 21MqasF右端点D：Fsxqa/2qa/2qa/2+qa2qaABCDxM3qa2/8qqa2/2qa2/2qa2/2FAYFDYaaa104 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图二、叠加原理：二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个 载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一、前提条件一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内 力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即 在弹性限度内满足虎克定律。三、步骤：三、步骤：1、梁上的

9、几个荷载分解为单独的荷载作用； 2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图注意：不是图 形的简单拼凑）。形的简单拼凑）。 例例 按叠加原理作弯矩图(AB=L，力F作用在梁AB的中点处）。qFABFq=+AABBxM282qL+xM842qLFL=xM14FL四、对称性与反对称性的应用：四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下对称结构在对称载荷作用下 Fs 图反对称，图反对称，M 图对称；图对称； 对称结构在反对称载荷作用下对称结构在反对称载荷作用下 Fs 图对称，图对称，M 图反对称。图反对称。例例7 作下列图示梁的内力图。FLFFLL

10、LLLLL0.5F0.5F0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x0.5F0.5F0.5F+FF0.5FFLL0.5FFLLL0.5F0.5FFLLLF0M2x0.5FL0.5FLM1x0.5FLMxFL例例 绘制下列图示梁的弯矩图。2FaaF=2FF+M1x=2FaxM2+2FaxMFaqq=+xM23qa2/2xM1=qa2/2aaqqxMqa2FL/2L/2FL/2xMFL/2xM2+FL/2=FL/4xM1=+FFL/250kNaa20kNm20kNm=+50kN20kNm20kNmxM2+50kNm=20kNmxM1Mx20kNm30kNm20kNm105 平面刚架和曲杆的内力图平

11、面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架一、平面刚架平面刚架：平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。轴线由同一平面折线组成的刚架。 特点：特点：刚架各杆的内力有：刚架各杆的内力有：Fs、M、FN。1、刚架：由刚性节点联成的框架2、节点：两杆之间的交点。3、刚性节点：两杆之间联接处的夹角不变的节点（联接处不 能有转动）。用填角表示，以与铰支节点区别。4、框架：由许多杆组成的，其轴线是由几段折线组成的结构。二、平面刚架内力图规定二、平面刚架内力图规定： 弯矩图弯矩图：画在各杆的受压压一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正 值画 在刚架的外侧），但须注明正、负

12、号。三、平面曲杆：三、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件。 四、平面曲杆内力图规定四、平面曲杆内力图规定： 弯矩图弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。 要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受压压的一侧。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：与平面刚架相同。例例 试作图示刚架的内力图。F1F2alABCFN 图F2+Fs 图F1+F1aM 图F1a+ F2 lF1F1a例例 已知：如图所示，F及R 。试绘制Fs、M、FN 图。OFRqmmx解解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面mm的位置。)(0 )cos1 ()cos()(qqqqFRRRFFxM)(0 cos)(2qqq

13、FFFN)(0 sin)(1qqqFFFsABF1FF2ABOM图OO+Fs图FN图2FRFF+qmmxOFRAB)(0 )cos1 ()cos()(qqqqFRRRFFxM)(0 cos)(qqqFFN)(0 sin)(qqqFFsF例例 改内力图之错。a2aaqqa2AB47;4qaFqaFBYAYFsxxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/45qa2/43qa2/249qa2/32FAyFBy例例 已知 Fs 图，求外荷载及M图（梁上无集中力偶）。Fs(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+q=2kN/mM(kNm)x111.25弯曲内力小结弯曲内力小结一、一

14、、弯曲的概念弯曲的概念：受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点变形特点杆轴线由直线变为一条平面的曲线。二、平面弯曲的概念：二、平面弯曲的概念：受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）。变形特点变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。 三、弯曲内力的确定三、弯曲内力的确定1、内力的正负规定内力的正负规定: :（1 1）、截面法）、截面法截开；代替；平衡。剪力剪力Fs: :在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为 顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。弯矩弯矩M：使梁微段

15、变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。2、内力的计算：、内力的计算：注意的问题注意的问题a a、在截开面上设正的内力方向。、在截开面上设正的内力方向。b b、在截开前不能将外力平移或简化。、在截开前不能将外力平移或简化。（2 2）、简易法求内力：）、简易法求内力：Fs=Fs=F Fi i（一侧）（一侧） ， M=M=m mi i。（一侧）。（一侧）。左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。重点四、剪力方程、弯矩方程四、剪力方程、弯矩方程： Fs=Fs(xFs=Fs(x）剪力方程 M=M(x) M=M(x) 弯矩方程 注意注意：不能用一个函数表达的要分段，不能用

16、一个函数表达的要分段， 分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。分布力的起点、终点。五、五、 剪力、弯矩与分布荷载间的剪力、弯矩与分布荷载间的微分微分关系关系 xqxxFsdd)(d)(dxFxxMs)(d)(d22xqxxM六、微分关系的应用六、微分关系的应用1 1、分布力、分布力q(x)=0q(x)=0时时剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线。2 2、分布力、分布力q(x)=q(x)=常数时常数时剪力图为一条斜直线； 弯矩图为一条二次曲线。难点重点（1 1）当分布力的方向向上时）当分布力的方向向上时剪力图为斜向上的斜直线； 弯矩

17、图为上凹的二次曲线。3 3、集中力处、集中力处剪力图有突变，突变值等于集中力的大小； 弯矩图有折角。（2 2）当分布力的方向向下时）当分布力的方向向下时剪力图为斜向下的斜直线； 弯矩图为下凹的二次曲线。Fs图：图：M图：图：M(x)Fs图：图：M图：图：M(x)七、剪力图和弯矩图：七、剪力图和弯矩图：1、利用方程画、利用方程画剪力图和弯矩剪力图和弯矩图图步骤：（1）、利用静力方程确定支座反力。（2）、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。（3）、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的 形状描点绘出剪力图、弯矩图。（4）、确定最大的剪力值、弯矩值。4 4、集中力偶处、集中力偶处剪力图无变化；弯

18、矩图有突变， 突变值的大小等于集中力偶的大小。5 5、弯矩极值处、弯矩极值处剪力为零的截面、集中力作用的截面、 集中力偶作用的截面。控制点控制点: :端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。2 2、简易法作内力图（利用微分规律）、简易法作内力图（利用微分规律）基本步骤基本步骤：（1）、确定支座反力； （2）、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； （3）、确定控制点内力的数值大小及正负； （4）、描点画内力图。重点3、叠加法作内力图、叠加法作内力图（1）、前提条件）、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。（2 2）、叠加原理：）、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。（3）、步骤：）、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用； 2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 3、将其相应的纵坐标叠加即可。 （注意：不是图形的简单拼凑）。（注意：不是图形的简单拼凑）。1、平面刚架：、平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。轴线由