随机变量及其数字特征11

1、第11章 随机变量及其数字特征知识结构图： 教学基本要求：1了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数的概念和性质;2了解两点分布、泊松分布、均匀分布，掌握二项分布、正态分布；3理解数学期望、方差的概念、性质及其计算；4掌握利用概率分布列、概率密度及分布函数计算有关事件概率；5会求随机变量函数的数学期望重点：理解随机变量（离散型连续型）、分布函数、随机变量函数以及概率密度等概念和性质；了解两点分布、泊松分布、均匀分布、二项分布、正态分布的差异和关系以及性质；掌握数学期望、方差的计算方法及性质；掌握概率分布列、概率密度及分布函数的计算及计算有关事件的概率。难点：随机变量的概

2、念、分布函数的概念、随机变量函数的数学期望11.1随机变量11.1.1 随机变量的概念 随机变量：如果一个变量，它的取值随着试验结果的不同而变化着，当试验结果确定后，它所取的值也就相应地确定，这种变量称为随机变量，随机变量可用英文大写字母X,Y,Z,(或希腊字母)等表示随机变量与一般变量有点差别：随机变量的取值是随机的(试验前只知道它可以取值的范围，但不能确定它取什么值)，且取这些值具有一定的概率，比如X取值是0，相应地有概率P(X=0)；一般变量X取值是确定的，比如X取值是0，就是X=0例1 在10件同类型产品中，有3件次品，现任取2件，用一个变量X表示“2件中的次品数”，X的取值有0,1,

3、2显然，“X=0”表示次品数为0，它与事件“取出的2件中没有次品”是等价的由此可知，“X=1”等价于“恰好有1件次品”，“X=2”等价于“恰好有2件次品” 于是由古典概率可求得                 此结果可统一成              例5某人打靶，一发子弹打中的概率为p，打不中的概

4、率为1-p，用随机变量描述这个随机现象，通常规定随机变量                   这样取X有几个优点： (1)X反映了一发子弹的命中次数(0次或1次) 随机变量的分类(2)计算上很方便，有利于今后进一步讨论 随机变量的分类：根据随机变量取值的情况，我们可以把随机变量分为两类：离散型随机变量和非离散型随机变量，若随机变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的(即取值是可列个)，则称X为离散型随机变量；若随机变量X的所有

5、取值不能一一列举出来，则称X为非离散型随机变量 对一个随机变量X，不仅要了解它取哪些值，而且要了解取各个值的概率，即它的取值规律，通常把X取值的规律称为X的分布11.1.2 离散型随机变量定义11.1设离散型随机变量X的所有取值为x1,x2,xk,，并且X取各个可能值的概率分别为            pk=P(X=xk)，k=1,2,称上式为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列或分布 为清楚起见，X及其分布列也可以用表格的形式表示    &#

6、160; x     x1     x2       xk       pk     p1     p2        pk   分布列的性

7、质：由概率的定义可知,pk满足如下性质： 性质1    性质2   如例1中“任取2件产品，2件中的次品件数X”的分布列是       X    0    1    2      pk   7/15   7/15  &#

8、160;1/15例6设有N件产品，其中有M件是次品，现从中随机抽取n(nN )件，抽到的次品数X就是一个随机变量，由古典概率的计算公式知X的分布列是     其中l=min(M,n)，具有这种形式的分布称为超几何分布11.1.3 连续型随机变量连续型随机变量：定义11.2设随机变量X，如果存在非负可积函数f(x),()，使得对任意ab，有                   则称X为连续型随机变量

9、，称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或分布密度 概率密度函数的性质性质：由定义可知，概率密度有下列性质：性质1 f(x)0(因为概率不能小于0)    性质2   例7设随机变量X的概率密度函数是                     试求：(1) 系数A ；(2) X落在区间内的概率 解 (1)根据概率密度函数的性质

10、2，可得                       所以A=1/.例8设随机变量X的概率密度函数是                       其中>0

11、，则称X服从参数为的指数分布若某电子元件的寿命X服从参数1/2000的指数分布，求P(X1200). 解 电子元件的使用寿命、电话的通话时间等都可以用指数分布来描述11.2分布函数及随机变量函数的分布11.2.1分布函数概念分布函数概念：定义11.3设X是一个随机变量，称函数                     F(x)=P(Xx)为随机变量X的分布函数记作XF(x)或FX(x) （

12、1）对于离散型随机变量X，若它的概率分布是pk=P(X=xk)( k=1,2,)，则X的分布函数为               （2）对于连续型随机变量X，其概率密度为f(x)，则它的分布函数                即分布函数是概率密度的变上限的定积分由微分知识可知，在f(x)的连续点X处，

13、有                   也就是说概率密度是分布函数的导数分布函数F(x)的性质：性质10F(x)1(因为F(x)就是某种概率) 性质2F(x)是单调不减函数，且                 性质3   

14、;      或    11.2.2分布函数的计算离散型随机变量X的分布函数的计算：例1设随机变量X的分布列是    X    -1    0    1    pi   0.3  0.5  0.2求X的分布函数解 当x<-1时，因为事

15、件Xx=Ø，所以F(x)=0 ;当-1x<0时，有                    F(x)=P(Xx)=P(X=-1)=0.3 ； 当0x<1时，有                  

16、60; F(x)=P(Xx)=P(X=-1)+P(X=0)                =0.3+0.5=0.8；当x1时，有                   F(x)=P(Xx)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1) 

17、0;             =0.3+0.5+0.2=1. 故X的分布函数为           连续型随机变量X的分布函数的计算：例2设随机变量X的概率密度是                求X的分布函数F(x) 解 由分布函

18、数定义，可得当x<a时，f(x)=0，故F(x)=0 ; 当ax<b时，故             当bx时，有f(x)=0，故              故X的分布函数F(x)为            &#

19、160;11.2.3随机变量函数的分布随机变量函数的概念：设f(x)是一个函数，若随机变量X的取值为x时，随机变量Y的取值为y=f(x)，则称随机变量Y是随机变量X的函数，记作Y=f(X) 例如，设随机变量X是圆直径的测量值，而圆面积Y就是X的函数：我们的问题是如何根据已知的随机变量X的分布去求随机变量Y=f(X)的分布 随机变量函数的分布：（1）若离散型随机变量Y=f(X)，X的分布列是     X     x1     x2 

20、60;       xk        pk     p1     p2         pk   如果f(xk)( k=1,2,)的值全不相等，则Y=f(X)的分布列是     

21、 Y   f(x1)   f(x2)      f(xk)         pk     p1     p2        pk   如果f(xk)( k=1,2,)中有

22、相等的，则把相等的值合并起来，同时把对应的概率相加，即得随机变量Y的分布列例4 已知随机变量X的分布列是     X   -1   0   1   2     pk  0.2  0.3  0.4     k(1) 求参数k；(2)求Y1=X2和Y2=2X-1的

23、概率分布解 (1)根据分布列的性质可知：0.2+0.3+0.4+k=1，故k=0.1 (2) 因为X的取值分别为-1,0,1,2,故Y1=X2的取值分别为0,1,4,并且                    P(Y1=0)=P(X=0)=0.3 ，            

24、60;       P(Y1=1)=P(X=-1)+P(X=1)=0.6 ，                    P(Y1=4)=P(X=2)=0.1 因此Y1=X2的概率分布为    Y1    0    

25、1    2   pi   0.3   0.6   0.1同理可求Y2=2X-1的分布列：      Y2=2X-1的取值分别为-3,-1,1,3，并且                   

26、 P(Y2=-3)=P(X=-1)=0.2 ，                    P(Y2=-1)=P(X=0)=0.3 ，                    P(Y2=1)=P(X

27、=1)=0.4 ，                    P(Y2=3)=P(X=2)=0.1 因此Y2=2X-1的分布列为     Y2   -3   -1   1   3    

28、0;pk  0.2  0.3  0.4  0.1（2）对连续型随机变量函数的分布，我们不加证明地指出结论（可通过例5理解）：设随机变量X和随机变量Y=f(X)的分布密度分别记为，   若函数y=f(x)是严格单调函数，x=g(y)是y=f(x)的反函数，则       例5若随机变量X的概密度为，求X的线性函数Y=X+的概率密度(其中、均为常数，且>0)解 随机变量Y的分布函数为   

29、60;   两边对Y求导，就得到Y的概率密度函数                            (11.2.1) 概率密度为(11.2.1)式的随机变量称为正态随机变量   定理11.1若随机变量XN(,2)，则随机变量例7设XN(1,0.22)，求P(X<

30、;1.2)及P(0.7X<1.1) 解设，则YN(0,1)，于是          11.3几种常见随机变量的分布11.3.1几种常见离散型随机变量的分布两点分布：设随机变量X只可能取0,1两个值，它的概率分布是        P(X=1)=p , P(X=0)=1-p (0<p<1)， 则称X服从两点分布，或称X具有两点分布 二项分布：设随机变量X的概率分布为       其中

31、0<p<1，则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为B(n,p).例1已知某地区人群患有某种病的概率是0.20，研制某种新药对该病有防治作用，现有15个人服用该药，结果都没有得该病，从这个结果我们对该种新药的效果会得到什么结论?解 15个人服用该药，可看作是独立地进行15次试验，若药无效，则每人得病的概率是0.20，这时15人中得病的人数应服从参数为(15,0.20)的二项分布，所以“15人都不得病”的概率是        这说明，若药无效，则15人都不得病的可能性只有0.035，这个概率很小，在实际上不大

32、可能发生，所以实际上可以认为该药有效.泊松分布：设随机变量X取值为0,1,2,其相应的概率分布为        其中为参数(>0)，则称X服从泊松分布，记作P()例2 电话交换台每分钟接到的呼叫次数X为随机变量，设XP(4)，求一分钟内呼叫次数(1)恰为8次的概率；(2)不超过1次的概率解 在这里=4，故         当n很大，p很小时，二项分布可以用泊松分布近似，有      

33、0;                其中=np 例3 某单位为职工上保险，已知某种险种的死亡率是0.0025，该单位有职工800人，试求在未来的一年里该单位死亡人数恰有2人的概率 解 用X表示死亡人数，则“死亡人数恰有2人”表为“X =2”，Xb(800,0.0025)若用二项分布计算，则          由于试验次数较多，计算较繁，故用泊松分布

34、计算：n=800，    p=0.0025，=np=2，k=2，于是            11.3.2 几种常见连续型随机变量的分布均匀分布：如果随机变量X的概率密度是            则称X服从a,b上的均匀分布，记作U(a,b)如果X在a,b上服从均匀分布，则对任意满足ac<db的c,d，有  

35、60;  例4一位乘客到某公共汽车站等候汽车，如果他完全不知道汽车通过该站的时间，则他的候车时间X是一个随机变量，假设该汽车站每隔6分钟有一辆汽车通过，则乘客在0到6分钟内乘上汽车的可能性是相同的，因此随机变量X服从均匀分布，分布密度函数为           可以计算他等候时间不超过3分钟的概率是             超过4分钟的概率是 正态分布：如果随机变量X的概率密度

36、函数是             则称X服从正态分布，记作，其中是两个常数，称为参数利用微积分的知识可知道正态分布概率密度函数的性态：(1)f(x)以x=为对称轴，并在x=处达到最大，最大值为 (2)当x±时，f(x)0，即f(x)以x轴为渐近线 (3) 用求导的方法可以证明：x=±为f(x)的两个拐点的横坐标，且为拐点到对称轴的距离(4) 若固定而改变的值，则正态分布曲线沿着x轴平行移动，而不改变其形状，可见曲线的位置完全由参数确定；若固定改变的

37、值，则当越小时图形变得越陡峭；反之，当越大时图形变得越平缓，因此的值刻画了随机变量取值的分散程度：即越小，取值分散程度越小，越大，取值分散程度越大标准正态分布：若正态分布N(,2)中的两个参数=0,=1时，相应的分布N(0,1)称为标准正态分布标准正态分布的图形关于y轴对称，通常用表示标准正态分布N(0,1)的概率密度，用表示N(0,1)的分布函数，即   这说明，若随机变量XN(0,1)，则事件Xx的概率是标准正态概率密度曲线下小于x的区域面积，如图11-4所示的阴影部分的面积由此不难得到事件aXb的概率为    

38、0;由于是偶函数，故有显然           例6 设随机变量XN(0,1)，求P(X<1.65),P(1.65X<2.09),P(X2.09). 解一般正态分布与标准正态分布的关系：设XN(,2)，对任意的x1<x2，由概率密度的定义，有              作积分换元，设，则  即   &

39、#160;   于是正态分布的概率计算化成了查标准正态分布数值表的计算问题. 例7设XN(1,0.22)，求P(X<1.2)及P(0.7X<1.1) 解 设，则YN(0,1)，于是            例8设XN(3,22)，试求：(1)P(|X|>2)         (2)P(X>3)    

40、60;       (3)若P(X>c)=P(Xc)，问c为何值? 解    (3) 要使P(X>c)=P(Xc)，即 1-P(Xc)=P(Xc)       于是P(Xc)=1/2 .      即c应满足    反查标准正态分布数值表，故c=3.例9已知某车间工人完成某道工序的时间X服从正态分布N(10,32)，问：(1)从该车间工

41、人中任选一人，其完成该道工序的时间不到7分钟的概率；(2)为了保证生产连续进行，要求以95的概率保证该道工序上工人完成工作时间不多于15分钟，这一要求能否得到保证?解根据已知条件， XN(10,32)，故 11.4期望与方差11.4.1数学期望(平均数)定义11.4设离散型随机变量X的概率分布为       X       x1       x2   

42、60;       xnP(X=xk)       p1       p2           pn则称为随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记作E(X). 对于离散型随机变量X的函数Y=f(X)的数学期望有如下公式：如果f(x)的数学期望存在，则  

43、60;        例1设X的概率分布为     Xk    -1    0    2    3     pk   1/8   1/4   3/8  

44、0;1/4求：E(X)；E(X2)；E(-2X+1) 解 定义11.5设连续型随机变量X的概率密度是f(x)，若积分收敛，则称积分为随机变量X的数学期望，记作E(X)，即同样,对于连续型随机变量X的函数Y=g(X)的数学期望有如下公式：如果g(X)的数学期望存在，则             其中f(x)是X的分布密度函数 例2设随机变量X服从均匀分布          

45、0;     求X和Y=5X2的数学期望(k>0,k为常数)解     11.4.2方差定义11.6设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为X的方差，记为D(X)，即D(X)=EX-E(X)2. 实际使用中,为了使单位统一，引入标准差描述X的偏离程度               若离散型随机变量X的分布列为pk=P(X=xk)，则X的方差为

46、60;              若连续型随机变量X的概率密度是f(x)，则X的方差为            注意到分布密度f(x)有性质，于是            上式右端的第一项为E(X2)，从而得到计算方差的一个最常用的公式： &#

47、160;             D(X)=E(X2)-E(X)2,此公式对离散型随机变量也成立 例3设随机变量X服从两点分布，其分布列是P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=q (p+q=1).求D(X). 解E(X)=1p+0q=p    E(X2)=12p+02q=p    D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=pq. 例3设随机变量X服从两点分布，其分布列是P(X=1)=

48、p，P(X=0)=1-p=q (p+q=1).求D(X). 解E(X)=1p+0q=p    E(X2)=12p+02q=p    D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=pq. 例4计算本节例1的方差解    例5设XN(0,1)，求X的期望与方差 解因为XN(0,1)，于是               由于被积函数为奇函数，故积分为零即E(

49、X)=0        于是D(X)=E(X2)-E(X)2=1-0=1 .11.4.3期望和方差的性质性质1E(c)=c，D(c)=0 (c为任意常数) 性质2设k为常数，则E(kX)=kE(X)，D(kX)=k2D(X) 性质3对于任意两个随机变量X,Y，有                      E(

50、X±Y)=E(X)±E(Y)           对于相互独立的两个随机变量X,Y，有                     D(X±Y)=D(X)+D(Y) 这个性质可以推广到多个随机变量的情形：设随机变量X1,X2,Xn，则有  &#

51、160;        E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn)如果随机变量X1,X2,Xn相互独立，则有           D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn) 性质4E(aX+b)=aE(X)+b， D(aX+b)=a2D(X)例6 已知YN(2,0.32)，求E(Y)和D(Y)解 令，则XN(0,1),Y=0.3X+2由例5知E(X)=0，D(X)=1，再由性

52、质4知 E(Y)=E(0.3X+2)=0.3E(X)+2=2;              D(Y)=D(0.3X+2)=0.32D(X)=0.32 .正态分布N(,2)中的两个参数,即为正态分布的期望和标准差11.4.4常用分布的期望与方差1两点分布若X的分布列是P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=q，则           

53、0;                 E(X)=p，D(X)=pq2二项分布若XB(n,p) ,其分布列为             则              

54、;         E(X)=np，D(X)=np(1-p) 3泊松分布若XP()，其分布列为，则E(X)=， D(X)=4均匀分布若XU(a,b)，则               5正态分布若XN(0,1)则E(X)=0，D(X)=1,若XN(,2)，         

55、0;      则E(X)=，D(X)=211.4.5矩定义11.7设X是随机变量，若Xk的期望E(Xk)存在，则称它为随机变量X 的k阶原点矩(k=1,2,)若X-E(X)k的期望EX-E(X)k存在，则称它为X的k阶中心矩(k=1,2,)          表11-1k阶原点矩和k阶中心矩的计算公式  k阶原点矩     E(Xk)   

56、60;       k阶中心矩         EX-E(X)k离散型随机变量X的概率分布是pi=P(X=xi)     连续型随机变量X的概率分布密度是f(x)第11章 习题课总结归纳本章主要内容：1随机变量    如果一个变量，它的取值随着试验结果的不同而变化着，当试验结果确定后，它所取的值也就相应地确定，也就是说这个变量的取值伴有相应的概率，

57、这种变量称为随机变量    2离散型随机变量及其概率分布    若随机变量的所有取值是有限个或可列多个，则称之为离散型随机变量    设离散型随机变量X的所有可能取值为x1,x2,xk,X取各个可能值的概率分别为                    pk=P(X=xk)，k=1

58、,2,则称这个概率表示式为离散型随机变量X的概率分布或分布列，简称分布    3连续型随机变量    设随机变量X，若存在非负可积函数f(x),(-<x<+)，使得对任意实数ab，有                     则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度  &

59、#160; 4随机变量X,Y是独立的    设X,Y是两个随机变量，如果对于任意的实数x,y，事件X<x,Y<y是相互独立的，即满足               PX<x,Y<y=PX<xPY<y，则称随机变量X,Y是独立的    5分布函数    设X是一个随机变量，X是任意实数，

60、称函数F(x)=P(Xx)为随机变量X的分布函数    6几种常见离散型随机变量的分布及其分布列    (1) 两点分布若随机变量X只取0,1两个值，概率分布是                    P(X=1)=p，P(X=0)=1-p  (0<p<1)，则称X服从两点分布  

61、;  (2) 二项分布若随机变量X的概率分布为          则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为B(n,p).    二项分布的实验背景是：对只有两个试验结果的试验E；                     &#

62、160;独立重复地进行n次，事件A发生的次数X服从二项分布B(n,p).    (3) 泊松分布若随机变量X取值为0,1,2,，其相应的概率分布为                      其中为参数(>0)，则称X服从泊松分布，记作P().    7几种常见连续型随机变量的分布 &

63、#160;  (1) 均匀分布若随机变量X的概率密度是                    则称X服从a,b上的均匀分布，记作U(a,b)    (2) 正态分布若随机变量X的概率密度是            

64、0;   则称X服从正态分布，记作XN(,2)，其中,(>0)是两个常数    若正态分布N(,2)中的两个参数=0,=1，则相应的分布N(0,1)称为标准正态分布    标准正态分布N(0,1)的概率密度                        

65、         分布函数                      8随机变量的函数    设f(x)是一个函数，所谓随机变量X的函数f(X)是指这样的随机变量Y：当X取值x时，Y取值y=f(x)，记作Y=f(X)   

66、; 9数学期望    离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量X的概率分布列为                         P(X=xk)=pk，k=1,2,.若级数绝对收敛，则称和数为随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记作E(X)，即    连续型随

67、机变量的数学期望设连续型随机变量X的概率密度是f(x)，若积分收敛，则称积分为随机变量X的数学期望，记作E(X)，即            10方差    设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为X的方差，记为D(X),即          标准差      &#

68、160;             11矩    设X是随机变量，若Xk的期望E(Xk)存在，则称它为X的k阶原点矩(k=1,2,).    若X-E(X)k的期望EX-E(X)k存在，则称它为X的k阶中心矩(k=1,2,). 基本性质1离散型随机变量X的分布列pk=P(X=xk)，(k=1,2,)满足：       &

69、#160;2连续型随机变量X的概率密度满足：        3分布函数F(x)具有如下性质：    (1) 0F(x)1;    (2) F(x)是单调不减函数，且F(+)=1，F(-)=0；    (3) 对于连续型随机变量，有      对于离散型随机变量，有      4正态分布的性

70、质    (1) 若随机变量XN(,2)，则随机变量    (2) 标准正态分布N(0,1)               5随机变量X的期望和方差具有下列性质：    (1) E(c)=c,D(c)=0;    (2) 设k为常数，则E(kX)=kE(X),D(kX)=k2D(X)； &#

71、160;  (3) 对于任意两个随机变量X,Y，有E(X±Y)=E(X)±E(Y)；    (4) 对于相互独立的两个随机变量X,Y，有D(X±Y)=D(X)±D(Y)；    (5) E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)计算 1正态分布的概率计算设XN(,2)，对任意的x1<x2，有           &

72、#160;       2分布函数      3期望    离散型          连续型         4方差    离散型       

73、60;   连续型          统一公式        5随机变量X的函数Y=f(X)的数学期望：    离散型     连续型    6随机变量函数的分布    如果离散型随机变量X的概率分布是pk=P(x=xk),(k=

74、1,2,)，且f(xk)的值全不相等，则Y=f(X)的概率分布是pk=P(Y=f(xk),(k=1,2,)，若f(xk)的值中有相等的，则把那些相等的值合并起来，同时把对应的概率相加，即得随机变量Y的概率分布    设随机变量X和随机变量Y=(X)的分布密度分别记为若函数F(X)是严格单调函数，X=g(Y)是Y=F(X)的反函数，则                   

75、;            7常见分布的期望和方差    (1)两点分布E(X)=p，D(X)=pq    (2)二项分布若XB(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p)    (3)泊松分布若XP()，则E(X)=，D(X)=     (4)均匀分布若XU(a,b)，则    (5)正态分布若XN(,2)，则E(X)=，D(X)=2 ；       若XN(0,1) ，则E(X)=0，D(X)=1 例题分析部分习题的处理：(一) 关于随机变量分布列例1掷一枚匀称骰子，用X表示出现的每一个结果 解 X是随机变量，在未试验前，出现几点，即X取什么数是不能确定的，但X的所有取值就是1,2,3,4,5,6，这可预先知道，而且取这些数的概率是            例