第六章_弯曲变形

1、材料材料力学力学弯曲变形弯曲变形教 学 内 容6-1 引言引言62 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程63 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形64 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形65 简单超静定梁简单超静定梁66 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施弯曲变形弯曲变形6-1 引 言I.平面弯曲平面弯曲（对称弯曲（对称弯曲）梁发生平面弯曲（对称弯曲）变形时：梁发生平面弯曲（对称弯曲）变形时：中性层如何变化？中性层如何变化？轴线如何变化？轴线如何变化？横截面如何变化？横截面如何变化？梁上所有外力均作用于纵向对称面内。梁上所有外力均作用于纵向对称面内。纵向对称面内的曲线纵向对称面内的曲线与纵向对称面垂直

2、的曲面与纵向对称面垂直的曲面绕中性轴转动绕中性轴转动相对于原来位置有转角和位移相对于原来位置有转角和位移What 基本概念弯曲变形弯曲变形6-1 引 言II. 挠度挠度横截面横截面形心形心 C (即轴线上的点即轴线上的点)在垂直于在垂直于 x 轴方向轴方向的线位移的线位移,称为该截面的挠度称为该截面的挠度.用用w表示表示.1CCw向上向上为正为正, ,向下为向下为负负What 基本概念弯曲变形弯曲变形6-1 引 言III.转角转角横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转称为该截面的转角角. 用用 表示表示1q逆时针转为逆时针转为正正顺时针顺时针转为负转为负What

3、基本概念1CCw弯曲变形弯曲变形6-1 引 言III.挠曲线挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程：挠曲线方程：w=f (x)1q1CCwWhat 基本概念弯曲变形弯曲变形6-1 引 言工程现象1：工程中对某些受弯杆件除强度要求外，还有刚度求，即要求变形不能过大。例如，吊车例如，吊车梁梁的过大弯曲将造成的过大弯曲将造成小车的爬坡和小车的爬坡和振动振动Why 工程意义弯曲变形弯曲变形6-1 引 言工程现象2：齿轮副中，轴的弯曲变形将影响齿轮的啮合精度。造成减速器工作时的振动和噪声。Why 工程意义弯曲变形弯曲变形6-1 引 言工程现象3：某些情况下,有时却要求构件

4、具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如例如，车辆上的板弹簧，车辆上的板弹簧, ,要求有足够大的变形要求有足够大的变形, ,以缓解车辆以缓解车辆受到的冲击和振动作用受到的冲击和振动作用. .2FF2FWhy 工程意义弯曲变形弯曲变形6-1 引 言纯弯曲中性层变形方程纯弯曲中性层变形方程zIEM 1挠曲线方程挠曲线方程变形几何关系变形几何关系q q ,wHow 方法与过程弯曲变形弯曲变形6-2 挠曲线微分方程How 方法与过程1. 变形几何关系1：w 与 的关系挠曲线CC1qwdw dx)(xwwdxdwtg q q弯曲变形弯曲变形6-2 挠曲线微分方程How 方法与过程2. 变形几何关系

5、2： 与w、的关系zyMMdqzEIysxxsdddddd1q qq q xwtgdd q q222)dd(1ddddxwxwx q q由：弯曲变形弯曲变形6-2 挠曲线微分方程2. 变形几何关系2： 与w、的关系zyMMdqzEIysxxsdddddd1q qq q 21cos1ddq qq qtgxs 由：How 方法与过程2)dd(1ddxwxs 弯曲变形弯曲变形6-2 挠曲线微分方程2. 变形几何关系2： 与w、的关系zyMMdqzEIysxxsdddddd1q qq q 23222dd1dd1 xwxw How 方法与过程弯曲变形弯曲变形6-2 挠曲线微分方程 23211ww zIE

6、M 1 2321wwIEMz 3. 联立得挠曲线方程How 方法与过程弯曲变形弯曲变形6-2 挠曲线微分方程4. 进一步处理1：去绝对值符号在规定的坐标系中在规定的坐标系中, x 轴水平轴水平向右为向右为正正, w轴竖直向上为正轴竖直向上为正.曲线向上凸曲线向上凸时时:OxwxOw00 wM因此因此,w与与M的正负号相同的正负号相同00Mw 曲线向下凸时曲线向下凸时:00 wM00Mw MMMM322( )(1)wM xEIwHow 方法与过程弯曲变形弯曲变形6-2 挠曲线微分方程5. 进一步处理2：简化此式称为 梁的挠曲线近似微分方程( )M xwEI(1) 略去了剪力的影响略去了剪力的影响

7、 ; (2) 略去略去了了 项项;(3)2w( )tgww xqqqq小变形条件下，小变形条件下，w = tg 0， 与与 1 相比十分相比十分微小而可以忽略不计微小而可以忽略不计,故上式可近似为故上式可近似为2w如何应用？如何应用？How 方法与过程弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形若为等截面直梁，其抗弯刚度EI为一常量，挠曲线微分方程可改写成 ( )EIwM x2、再积分一次, 得挠度方程1、积分一次得转角方程1( )EIwM x dxC 12( )EIwM x dxdxC xC 一、积分How 方法与过程弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形二、确定积分常数在简支梁中, 左右两铰

8、支座处的挠度wA和wB都等于0在悬臂梁中,固定端处的挠度wA和转角A都应等于零.0Aw0Bw0Aw0Aq qHow 方法与过程弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形二、确定积分常数 挠曲线始终是一条连续光滑连续光滑的曲线。不会出现下面两种情况的挠曲线。不连续不光滑How 方法与过程弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形二、确定积分常数AAAAAA连续性条件：在挠曲线的任意点上，有唯一的挠度和转角。ARALq qq q ALARwwHow 方法与过程弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形图示图示一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁的悬臂梁, 在自由端受在自由端受一集一集中力中力 F 作

9、用作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并并确定确定其最大其最大挠度挠度 wmax 和和最大转角最大转角 max lABxF应用：例题6-1弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形(1) 弯矩方程为弯矩方程为解：解：(2) 挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为xlwABxF对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分( )() (1)M xF lx ( ) (2)EIwM xFlFx 21 (3)2FxEIwFlxC 2312(4)26FlxFxEIwxCC 弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲

10、线方程分别为 21 (3)2FxEIwFlxC 2312(4)26FlxFxEIwxCC边界条件边界条件0,0 0,0 xwxw将边界条件代入将边界条件代入(3) (4)(3) (4)两式中两式中, ,可得可得120 0CC 22FxEIwFlx 2326FlxFxEIw弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形wmaxqmaxl222max|22x lFlFlFlEIEIEIqqqq maxq qmaxw3max|3x lPlwwEI 弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形应用：例题6-2图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁的简支梁,在全梁上受集度在全梁上受集度为为q 的均布荷载

11、作用的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转试求此梁的挠曲线方程和转角方程角方程,并确定并确定其其wmax 和和maxABq弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形解解: 由由对称性可知，梁对称性可知，梁的两的两个支反力个支反力为为:2ABqlRRABqlRARBx2( )22qlqM xxx2346qlqEIwxxC 222qlqEIwxx 341224qlqEIwxxCxD此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形梁的转角方程和挠曲线方程梁的转角方程和挠曲线方程分别为分别为:233(64)24qlxxlEIq q233(

12、2)24qxwlxxlEI边界条件边界条件 xABqlRARBqAqB在在 x=0 和和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值，3max24ABqlEIqqqqqq wmax在在梁跨中点处梁跨中点处有有最大挠度值最大挠度值4max25384lxqlwwEI 当当 x=0, l时，时，w=0弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形应用：例题6-3图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EI的简支梁的简支梁, 在在D点处受一集中点处受一集中力力F的作用的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角试求此梁的挠曲线方程和转角方程方程ABFDab弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形解

13、解: 梁的两个支反力为梁的两个支反力为AbRFlBaRFlRARBABFDabl12xx两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为1(0)AbMR xFxxal2() ()bMFxF xaaxll弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为1 ( 0 x a)挠曲线方程挠曲线方程11bFxEIwMl转角方程转角方程2112bxEIwFCl 挠度方程挠度方程31116b xEIwFC xDl弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形22()bFxF xaEIwMl 2222()22bF xaxFEIwCl33222()66bF xaxFxEIwCDl弯

14、曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形12ww12ww10w 20w 120DD2212()6FbCClbl l弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形1(0)xa22211()36FbwlbxlEIq q22216FbxlwbxlEI2()axl2222221()()23FblxawxlblEI bq q 33222() ()6FblxxawxlblEI b 弯曲变形弯曲变形6-3 积分法求弯曲变形应用小结应用小结 适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲 可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形的边界条件和连续条件确定 优点使用范围广 精确 缺点计算较繁琐弯曲变形

15、弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形基本原理基本原理当材料服从胡克定律（小变形）任意截面的弯矩与外载荷成线性关系：22exMMFx q不同的载荷在某截面上的弯矩可以叠加。弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形基本原理基本原理22xqFxM 截面截面A处的弯矩处的弯矩22xqMq 截面截面A处由处由q引起的弯矩引起的弯矩FMFx 截面截面A处由处由F引起的弯矩引起的弯矩qFMMM 弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形基本原理基本原理MwEI qqMEIw FFMEIw 载荷载荷q单独作用下单独作用下载荷载荷F单独作用下单独作用下两载荷联合作用下：两载荷联合作用下：弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法

16、求弯曲变形基本原理基本原理qFdddEIEIEIdxdxdxqqq)()()(xwxwxwqF结论：某横截面在联合载荷作用下的结论：某横截面在联合载荷作用下的转角或挠度是两个载荷单独作用下的转角或挠度是两个载荷单独作用下的转角或挠度的代数和转角或挠度的代数和。)()()(xxxqFqqqqFMMM 代入代入：qFdwdwdwEIEIEIdxdxdx弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形应用方法应用方法121122(,)()()()nnnF FFFFFqqqqqqqq121122(,)()()()nnnw F FFw FwFwF弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形应用：例应用：例6-46-

17、4（载荷叠加）（载荷叠加）按按叠加原理求叠加原理求A点转角和点转角和C点挠度点挠度.qFABCaa弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形解解: :( (1)1)载荷分解如图载荷分解如图(2)(2)由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形. .EIFaFA42 q qEIFawFC63 EIqaqA33 q qEIqawqC2454 qFF=+AAABBBCaaq弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形(3)(3)叠加叠加qAFAAq qq qq q EIqaEIFa3432 EIqaEIFa245643 qCFCCwwq q qFF=+AAABB

18、BCaaq弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形应用：例应用：例6-56-5（载荷叠加（载荷叠加）一一抗弯刚度为抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如图的简支梁受荷载如图 所示所示.试按叠试按叠加原理求梁跨中点的挠度加原理求梁跨中点的挠度 wC 和支座处横截面的转和支座处横截面的转角角 qA , qB 。.ABC弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形解：将梁上荷载分为两项解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图所示简单的荷载，如图所示CCqCmwwwAAqAm( )3()243mlqlEIEI BBqBm( )3246mlqlEIEI ( )42538416qlmlEIEI-弯曲变形弯曲变形6-

19、4 叠加法求弯曲变形应用：例应用：例6-66-6（载荷叠加（载荷叠加）求求图示悬臂梁图示悬臂梁的末端的末端C点的挠度点的挠度wC。弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形解：将载荷分解如图所示：解：将载荷分解如图所示：)()(EIqaEIaqwc441282)(EIqaaEIqaEIqawC247684342)(EIqaEIqaEIqawC24412247444查表：查表：弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形应用：例应用：例6-76-7（结构叠加）（结构叠加）等效AB段零弯矩，零变形，相当于段零弯矩，零变形，相当于刚化。刚化。BC段可以看作悬臂梁。段可以看作悬臂梁。外伸梁如图所示，求外伸梁

20、如图所示，求B截面的转角和截面的转角和C截面的挠度。截面的挠度。BC段零弯矩，零变形，相当于段零弯矩，零变形，相当于刚化。刚化。AB段可以看作简支梁。段可以看作简支梁。弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形刚化刚化AB段，将段，将BC段视为悬臂梁。段视为悬臂梁。0 Bq qEIFawc331弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形刚化刚化BC段，段，AB段视为简支梁。段视为简支梁。Bq qBq q2cwEIlFaawBc322qB截面转角由M产生EIlFaB3q)33(2321EIlFaEIFawwwcccC点挠度点挠度弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形应用：例应用：例6-86-8（结

21、构叠加（结构叠加）求解变截面梁端点求解变截面梁端点C的的挠度挠度。EI2EI21CCcwww 刚化刚化BC段段刚化刚化AB段段弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形刚化AB段EIFawC331 刚化BC段MCFCCwww222弯曲变形弯曲变形6-4 叠加法求弯曲变形22,2 2BFFaEIq32,3 2BFFawEI232,2 24BMFa aFawEIEI 22,2BMFaEIq32,2,2,512CFBFBFFawwaEIq 32,2,2,34CMBMBMFawwaEIq 12,2,cCCFCMwwwwEIFaEIFaEIFaEIFa234312533333弯曲变形弯曲变形6-5 静不定

22、梁的解法What基本概念基本概念1.超静定梁超静定梁单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁 , 称称为超静定梁为超静定梁RBABCFFABRARC2.“多余多余”约束约束 多于维持其多于维持其静力平衡静力平衡所必需的所必需的约束约束3.“多余多余”反力反力 “多余多余”约束对应的支座反力约束对应的支座反力4.超静定次数超静定次数 n超静定梁的超静定梁的 “多余多余” 约束约束的数目的数目就等于其超静定次数就等于其超静定次数.n = 未知力的个数未知力的个数 - 独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目弯曲变形弯曲变形6-5 静不定梁的解法Why工程意义工程意义

23、1. 提高梁的强度和刚度提高梁的强度和刚度弯曲变形弯曲变形6-5 静不定梁的解法Why工程意义工程意义2. 减小减小工件变形，提高加工精度工件变形，提高加工精度弯曲变形弯曲变形6-5 静不定梁的解法How求解方法求解方法1、画静定基建立相当系统、画静定基建立相当系统：将可动绞链支座作看将可动绞链支座作看多余约束多余约束,解除解除多余约束代之以约束反力多余约束代之以约束反力 RB.得到原得到原超静定梁的基本静定系超静定梁的基本静定系.2、列、列几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程梁在多余约束处的梁在多余约束处的 变形协调条件：变形协调条件：ABqlqABRB根据变形协调条件得变形几何方程：根

24、据变形协调条件得变形几何方程：变形几何方程为：变形几何方程为：BBBqBRwww0BBqBRww0Bw弯曲变形弯曲变形6-5 静不定梁的解法How求解方法求解方法 BqwBBRw3 3、列、列物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系 查表得查表得qAB将力与变形的关系代入将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程变形几何方程得补充方程4 4、建立补充方程、建立补充方程48BqqlwEI 33BBBRlRwEI BARBqABRB弯曲变形弯曲变形6-5 静不定梁的解法How求解方法求解方法 BqwBBRwqABBARBqABRB补充方程为补充方程为由该式解得由该式解得43083BqllREI

25、EI38BqlR弯曲变形弯曲变形6-5 静不定梁的解法How求解方法求解方法 BqwBBRwqABBARBqABRB5 5、求解其它、求解其它问题问题（反力、应力、变形等）反力、应力、变形等）该该梁固定端的两个支梁固定端的两个支反力反力为为58AqlR218Aqlm弯曲变形弯曲变形6-5 静不定梁的解法应用：例应用：例6-96-9图示图示静不定梁，等截面梁静不定梁，等截面梁AC的抗的抗弯刚度弯刚度EI，拉杆，拉杆BD的抗的抗拉拉 刚度刚度EA，在，在F力作用下，试求力作用下，试求BD杆的杆的拉力和截面拉力和截面C的挠度的挠度 。Fl/2l/2ABCDl弯曲变形弯曲变形6-5 静不定梁的解法BD

26、Blw1、去除BD杆，以BD杆的拉力FN代替2、列出变形协调条件NBFBFBwww而)(485)3(6322EIFlxlEIFxwlxBF)(3)2(3EIlFwNBFN（1）解：Fl/2l/2ABCNFFl/2l/2ABCDl弯曲变形弯曲变形6-5 静不定梁的解法得：得：代入代入（1）：）：EAlFEIlFEIFlNN2448533)241 (1252AlIFFN3、在基本静定梁上由叠加法、在基本静定梁上由叠加法求求 Cw)(33EIFlwCF在在F力单独作用下：力单独作用下：在在 FN 力力单独作用下：单独作用下：)(2411(9625)3(62322AlIEIFlxlEIxFwlxNCF

27、NFl/2l/2ABCNFFl/2l/2ABCDl弯曲变形弯曲变形6-5 静不定梁的解法所以所以在本例中，在在本例中，在F力作用下，拉杆力作用下，拉杆BD伸长，因而伸长，因而B处处下移下移， B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即，即BDBFBFBlwwwN)241 (32251 323AlIEIFl NCFCFCwww 弯曲变形弯曲变形6-5 静不定梁的解法应用：例应用：例6-106-10 建立图示超静定梁的变形协调条件BD杆长为l弯曲变形弯曲变形6-5 静不定梁的解法 ABDDBlwwBFNBqBwwwDFNDww EAlFlNBD弯曲变形弯曲变形6-6 提

28、高弯曲刚度的措施maxmax wwqqqqw和和是是构件的许可挠度和转角构件的许可挠度和转角.弯曲变形弯曲变形6-6 提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度的跨度有关有关.所以所以,要想提高弯曲刚度要想提高弯曲刚度,就应从上述各种因素入手就应从上述各种因素入手.一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EI二、减小跨度或增加支承二、减小跨度或增加支承三、改变加载方式和支座位置三、改变加载方式和支座位置弯曲变形弯曲变形6-6 提高弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关,而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度的跨度有关有关.所以所以,要想提高弯曲刚度要想提高弯曲刚度,就应从上述各种因素入手就应从上述各种因素入手.一、增大梁的抗弯刚度一、增大梁的抗弯刚度EIEI二、减小跨度或增加二、减小跨度或增加支承支承三、改变加载方式和支座位置三、改变加载方式和支座位置工程中常采用工