拉普拉斯变换21

1、2.1 拉普拉斯变换的概念 由上章可知，需进行傅氏变换的函数应满足傅氏积分由上章可知，需进行傅氏变换的函数应满足傅氏积分存在定理的两个条件，即存在定理的两个条件，即(1)(1)在任一有限区间上满足狄利克在任一有限区间上满足狄利克雷条件；雷条件；(2)(2)在无限区间在无限区间 上绝对可积上绝对可积而傅氏变换而傅氏变换存在两个缺点存在两个缺点 缺点缺点1 1：条件：条件(2)(2)过强在实际应用中，许多函数不能过强在实际应用中，许多函数不能满足条件满足条件(2)(2)(,) 案例案例 单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等，虽满足狄单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等，虽满足狄利克雷条件，但非绝对可积

2、因此，对这些函数就不能进行利克雷条件，但非绝对可积因此，对这些函数就不能进行古典意义下的傅氏变换尽管在上一节里，通过引入古典意义下的傅氏变换尽管在上一节里，通过引入函数，函数，在广义下对非绝对可积函数进行了傅氏变换，但在广义下对非绝对可积函数进行了傅氏变换，但函数使用函数使用很不方便很不方便. .2.1.1 2.1.1 拉普拉斯积分拉普拉斯积分1. 拉普拉斯积分 缺点缺点2 2：进行傅氏变换的函数须在上：进行傅氏变换的函数须在上 有定义有定义 (,) 案例案例 在物理、无线电技术、机械工程等实际在物理、无线电技术、机械工程等实际应用中，许多以时间应用中，许多以时间t t为自变量的函数在为自变量

3、的函数在t t0 0时时是无意义的或者是无需考虑的是无意义的或者是无需考虑的. .因此，对这些函因此，对这些函数也不能进行傅氏变换数也不能进行傅氏变换 由此可见，傅氏变换的应用范围受到了极大的限制，必须对傅里叶变换进行改造 基本想法基本想法 使得函数在使得函数在 t 0 的部分尽快地衰减下来。的部分尽快地衰减下来。 (1) 将函数将函数 乘以一个乘以一个单位阶跃函数单位阶跃函数 ， )(tu)(tf(2) 将函数再乘上一个将函数再乘上一个衰减指数函数衰减指数函数 ， )0(e t 这样，就有希望使得函数这样，就有希望使得函数 满足满足 Fourier ttutf e)()(变换的条件，从而对它

4、进行变换的条件，从而对它进行 Fourier 变换。变换。 如何对如何对 Fourier 变换进行改造？变换进行改造？ ttutftjtd)()(ee 0)(d)(ettftj 0d)(ettfts)()(ettutf 将上式中的将上式中的 记为记为 s， 就得到了就得到了一种一种新的新的积分：积分： j 实施结果实施结果 复频函数复频函数复频率复频率)(sF 可以预见，上述积分是收敛的。可以预见，上述积分是收敛的。0, 10, 0)(tttu例2.1 求单位阶跃函数 的拉普拉斯积分解解积分bstt0de在b+时，当且仅当Re(s)0才有极限，因此)0)(Re(1)(0sst detubst)

5、1 (1sbse例例2.22.2 求求的拉普拉斯积分的拉普拉斯积分 atetf根据定义根据定义0dteestt)Re()(Re(s0)(1tses解解（其中（其中为任意复数）为任意复数）0dtetss1例例2.32.3 求正弦函数求正弦函数 的复频函数的复频函数 ( )sin)f tktkR (解解 0sindtktest0)(21dteeeistiktikt0)()()(21dteeitikstiks)11(210)(0)(tikstikseikseiksi)11(21iksiksi22ksk)0)Re(,0)(Re(iksiks定理定理2.12.1 若函数若函数f f( (t t) )满足

6、满足: :2. 拉普拉斯积分存在定理1, 1, 在在t t 0 0的任一有限区间上分段连续的任一有限区间上分段连续2, 2, 当当t t时时, , f f( (t t) )的增长速度不超过某一指数的增长速度不超过某一指数函数函数, , 即存在常数即存在常数M M 00及及c c 0, 0, 使得使得 | |f f( (t t)|)| M M e ectct, 0, 0 t t )c c上一定存在上一定存在, , 右端的积分在右端的积分在Re(Re(s s) ) c c1 1 c c上绝对收敛而且一致收敛上绝对收敛而且一致收敛, , 并且在并且在Re(Re(s s)c c的半平面内的半平面内,

7、, F F( (s s) )为解析函数为解析函数. .2. 拉普拉斯积分存在定理则象函数则象函数 在半平面在半平面 上一上一定存在且定存在且解析解析。 )(sFcs Re(1) 在在任何有限区间上分段连续；任何有限区间上分段连续；(2) 具有具有有限的增长性，有限的增长性，即存在常数即存在常数 c 及及 ，使得使得 ，0 MctMtfe| )(| 设函数设函数 当当 时，时，满足：满足：0 t)(tf定理定理 ( (其中，其中，c 称为函数称为函数 的的“增长增长”指数指数) )。 )(tf证明证明 ( (略略) ) 两点说明两点说明(1) 像函数像函数 的的存在域一般是一个右半平面存在域一般

8、是一个右半平面 ,)(sFcs Re即只要复数即只要复数 s 的实部足够大就可以了。的实部足够大就可以了。 只有在非常必要时才特别注明。只有在非常必要时才特别注明。 因此在进行因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域，变换时，常常略去存在域， 即函数即函数 等价于等价于函数函数 . )()(tutf)(tf(2) 在在 Laplace 变换中的函数一般均变换中的函数一般均约定约定在在 t 0及t=0的任意一个领域。这样拉氏变换的定义 00dtetftfst应为 0)(dtetftfst为书写方便，该定义仍写为原来的形式。即 10dtetdtettstst同理同理 000dtettttst

9、dtettst00ste解解 先对先对 作拉氏变换作拉氏变换 t 00111sststesdtedtett的拉氏变换为的拉氏变换为 t 0limt sets1lim0用罗必达法则计算此极限，得用罗必达法则计算此极限，得1lim1lim00ssesess所以所以 1t方法2：同理同理 000dtettttstdtettst00ste例例2.72.7 求函数求函数的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换 )0()()(tuetetftt解解)()(tftf0)()(dtetuetesttt函数的筛选性质函数的筛选性质0)()()(dtedttetsts)(Re(1ssss 函数函数 ( gamma函数函数)

10、简介简介 附：附： 0edtmt 函数函数定义为定义为 .0,d)(01e mttmmt定义定义 性质性质 ;1)1( . )()1(mmm 00deemttmtt 0d)1(ettmmt 01dettmmt. )(mm 证明证明 ;1d)1(00ee ttt. !)1(mm 特别地，当特别地，当 m 为正整数时，有为正整数时，有 ( (返回返回) )关于含冲激函数的关于含冲激函数的 Laplace 变换问题变换问题附：附： 当函数当函数 在在 附近有界时附近有界时， 0 t)(tf)0(f的取值将不会影响的取值将不会影响 其其 Laplace 变换的结果。变换的结果。 对积分下限分别取对积分下限分别取 0和和 可得到下面两种形式的可得到下面两种形式的 Laplace 变换：变换： ,0 ;d)()(0e ttftfs