2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学试题（原卷版+解析版）

2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C第三象限 D.第四象限3.设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知椭圆C：的离心率为，则（）A.2 B.3 C.4 D.55.函数与图象（）A.关于y轴对称 B.关于直线对称C.关于直线对称 D.关于直线对称6.已知，，，则（）A. B. C. D.7.点M在圆上，点F是抛物线的焦点，点是抛物线上的动点，则的最小值为（）A.5 B.4 C.3 D.28.质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆周上同时出发逆时针作匀速圆周运动．的起点坐标为，角速度为；的起点坐标为，角速度为．则质点Q与P相遇点对应的坐标可能为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数的部分图象如图所示，则（）A.是奇函数 B.是偶函数C. D.10.已知甲、乙两组样本各有1000个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，则（）A.若甲、乙两组数据的平均数都为a，则新数据的平均数等于aB.若甲、乙两组数据的极差都为b，则新数据的极差可能大于bC.若甲、乙两组数据的方差都为c，则新数据的方差可能小于cD.若甲、乙两组数据的中位数都为d，则新数据的中位数等于d11.在长方体中，，点为中点，点为平面内的一个动点（含边界），则（）A.平面 B.四棱锥的外接球的表面积为C.平面平面 D.若，则点运动轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列是等差数列，，是方程的两实数根，则数列的前20项和为________．13.已知的顶点坐标分别为，，，则的角平分线所在的直线方程为________．14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别为，且，．（1）若，求的面积；（2）若，求a．16.投壶游戏起源于中国古代六艺中的“射”艺，是射礼的演变和延续．甲、乙两位同学为了参加投壶游戏比赛，进行了大量的投壶训练．从这些训练数据中随机抽取甲乙各100次投壶数据，其中甲投中目标的次数为80次，乙投中目标的次数为85次．假设每次投壶相互独立，用频率估计概率．（1）若现在让甲投壶4次，求甲投中目标的次数X的分布列及期望；（2）通过分析甲、乙的训练数据发现：若甲发挥正常，投中目标的概率为0.9，发挥不正常，投中目标的概率为0.5；若乙发挥正常，投中目标的概率为0.95，发挥不正常，投中目标的概率为0.6．设甲、乙发挥正常的概率分别为p，q，计算并比较p与q的大小．17.已知函数．（1）讨论单调性；（2）若方程在上有两个不等实根和，①求m的取值范围；②证明：．18.如图，已知三棱台，，，点是的中点，点是棱上靠近点的四等分点，，平面．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）平面将三棱台分成两部分，求体积较大部分与该棱台的体积之比．19.已知双曲线E：．（1）若直线l与双曲线E的左支及两条渐近线的交点从上到下依次为A，B，C，D，证明：；（2）记集合．（i）写出，，的坐标，猜想数列，的通项公式（说明猜想过程，不用证明），并写出和的递推关系式；（ii）试判断的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

2026届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式，求得集合，根据交集的定义求得.【详解】集合或.因为，所以.故选：D.2.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先化简复数为代数形式，再判断对应的点所在的象限即可.【详解】依题意，对应的点为在第二象限.故选：B．3.设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的意义，向量的夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由，又，所以当且仅当时，成立．充分性：由，得或，则不一定成立，所以充分性不成立；必要性：由，得，则，所以必要性成立．所以“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．4.已知椭圆C：的离心率为，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】先确定的取值范围，再根据椭圆离心率的概念列式求的值.【详解】因为表示椭圆，所以且，所以，所以，所以椭圆的焦点在轴上.由.故选：A5.函数与的图象（）A.关于y轴对称 B.关于直线对称C.关于直线对称 D.关于直线对称【答案】B【解析】【分析】设点在的图象上，可求出点在函数图象上，分析两点的位置关系即可求解．【详解】设点在的图象上，则，又，说明点在的图象上，点与点关于对称，所以函数与的图象关于直线对称．故选：B．6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数、三角函数定义，求出对应a、b、c相应的范围，再据此相互比较即可．【详解】根据对数定义，，因为，所以，又，在第二象限，所以，即，，而，所以，，所以，因此．故选：C．7.点M在圆上，点F是抛物线的焦点，点是抛物线上的动点，则的最小值为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】过及圆心分别作准线的垂线，垂足分别为，与圆交于点，先根据抛物线的定义将的最小值转化为，而的最小值为圆心到准线的距离减半径，进而求解.【详解】因为抛物线的方程为，所以焦点的坐标为，准线的方程为.圆的圆心为，半径为，过及圆心分别作准线的垂线，垂足分别为，与圆交于点，如图，由抛物线的定义知，当且仅当三点共线（在之间）时，等号成立.而圆上的点与准线上的点的距离的最小值为，即圆心到准线的距离减半径，所以，所以的最小值为.故选：C.8.质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆周上同时出发逆时针作匀速圆周运动．的起点坐标为，角速度为；的起点坐标为，角速度为．则质点Q与P相遇点对应的坐标可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设质点与相遇时用时，根据题意可得，求出，代入可得到质点落在的终边上，根据三角函数的定义即可求解.【详解】由题意得，点在的终边上，点在的终边上，设质点与相遇时用时，由题意得，解得，此时质点落在的终边上，所以点的横坐标为，点的纵坐标为，所以质点Q坐标为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数的部分图象如图所示，则（）A.是奇函数 B.是偶函数C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据图象求得函数的解析式，可判断C，结合三角函数的奇偶性判定A，B，再根据周期结合余弦函数的单调性判断D.【详解】由题意，可得，所以，由，可得图象过点，可得，解得，又，令，可得，所以，故C错，由，为奇函数，所以A正确；由，是偶函数，所以B正确；由，周期为2，，，因为函数单调递增，所以，所以，所以D不正确；故选：AB.10.已知甲、乙两组样本各有1000个数据，甲、乙两组数据合并后得到一组新数据，则（）A.若甲、乙两组数据的平均数都为a，则新数据的平均数等于aB.若甲、乙两组数据的极差都为b，则新数据的极差可能大于bC.若甲、乙两组数据的方差都为c，则新数据的方差可能小于cD.若甲、乙两组数据的中位数都为d，则新数据的中位数等于d【答案】ABD【解析】【分析】根据平均数，极差，方差和中位数的定义和公式，逐个判断即可得.【详解】设甲：，乙：，新数据为：，A：因为，正确；B：设甲：，乙：，两组数据极差均为，混合后数据的极差为，正确；C：因为，所以，，，所以新数据的方差为，因为，即新数据方差，当且仅当两组样本均值相等时取等号，错误．D：不妨设，，由它们的中位数相等，则，将混合后数据按从小到大排列，若，则，所以第1000，1001个数为和；此时新数据的中位数为，若，则，所以第1000，1001个数为和，此时新数据的中位数为两种情形下，新数据的中位数都等于，正确；故选：ABD.11.在长方体中，，点为的中点，点为平面内的一个动点（含边界），则（）A.平面 B.四棱锥的外接球的表面积为C.平面平面 D.若，则点的运动轨迹长度为【答案】BCD【解析】【分析】由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴，写出相应的点坐标，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法判断即可得出选项A，根据已知条件分析得出四棱锥的外接球球心位置，画出图形分析，建立方程解出球体的半径，再利用球体表面积公式求解即可得出选项B，利用坐标系求出平面与平面的法向量，利用法向量数量积结果来判断选项C，设，，根据得出的轨迹，然后根据轨迹分析得出选项D.【详解】在长方体中，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：由，则，可得，设平面的一个法向量为，由，令，则，所以，因为，所以与平面不平行，故A选项不正确；在长方体中，连接，如图所示：在长方体中，点为的中点，且，所以，且四边形为矩形，所以点的投影为矩形的中心，即平面，则四棱锥的外接球的球心在上，①设四棱锥的外接球的球心在的延长线上且为，球的半径为，如图所示，在长方体中,，所以，所以在直角三角形中，，则有，在直角三角形中，，即，解得：，此时四棱锥外接球的表面积为：，②设四棱锥的外接球的球心在上且为，球的半径为，如图所示，在长方体中,，所以，所以在直角三角形中，，则有，在直角三角形中，，即，解得：，因，不满足题意，故四棱锥外接球的表面积为，故B选项正确；由A中，，则，设平面的法向量为，由，令，则，所以，设平面的法向量为，由，令，则，所以，因为，所以平面平面，故选项C正确，设，，则，，因为，即，因为点为平面内的一个动点（含边界），所以点的轨迹为一条线段，令，令，所以线段的端点为和，所以点运动轨迹长度为，故D选项正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列是等差数列，，是方程的两实数根，则数列的前20项和为________．【答案】【解析】【分析】根据等差数列的性质，结合等差数列的求和公式求值即可.【详解】因为，是方程的两实数根，所以.又数列是等差数列，所以，所以数列的前20项和为.故答案为：13.已知的顶点坐标分别为，，，则的角平分线所在的直线方程为________．【答案】【解析】【分析】设的角平分线的方向向量为，根据，进而得到角平分线的斜率，然后利用点斜式得到所求直线的方程.【详解】根据题意可知，，所以可知，可知角平分线的斜率为，则可知的角平分线所在的直线方程为,化简可知.故答案为：14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望________．【答案】##【解析】【分析】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以，根据题意可求出，因为每一次传球后球在甲手中的次数都服从两点分布，根据期望的线性性质可求得.【详解】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以，根据题意第一次由甲传出，所以第一次传球后球肯定不在甲手中，所以，又共传5次结束，所以.记为示性变量，当第次传球后球在甲手中时，否则，即每次传球后球在甲手中的次数服从两点分布，所以，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别为，且，．（1）若，求的面积；（2）若，求a．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得，进而得，最后由即可求解；（2）由得，进而得，即为直角三角形，利用勾股定理即可求解.【小问1详解】由题意得：，所以，由余弦定理得，所以，所以；【小问2详解】因为，所以，所以，即，所以为直角三角形，所以，又，所以，即，解得或，所以.16.投壶游戏起源于中国古代六艺中的“射”艺，是射礼的演变和延续．甲、乙两位同学为了参加投壶游戏比赛，进行了大量的投壶训练．从这些训练数据中随机抽取甲乙各100次投壶数据，其中甲投中目标的次数为80次，乙投中目标的次数为85次．假设每次投壶相互独立，用频率估计概率．（1）若现在让甲投壶4次，求甲投中目标的次数X的分布列及期望；（2）通过分析甲、乙训练数据发现：若甲发挥正常，投中目标的概率为0.9，发挥不正常，投中目标的概率为0.5；若乙发挥正常，投中目标的概率为0.95，发挥不正常，投中目标的概率为0.6．设甲、乙发挥正常的概率分别为p，q，计算并比较p与q的大小．【答案】（1）分布列见解析，.（2）【解析】【分析】（1）用频率估计出甲每次投壶投中的概率，易知甲投中目标的次数X服从二项分布，由此求得分布列及期望；（2）由条件概率公式及全概率公式计算出的值，即可比较其大小.【小问1详解】用频率估计概率可得甲每次投中目标的概率是，若现在让甲投壶4次，甲投中目标的次数X的取值为，，，，，.所以甲投中目标的次数X的分布列是01234因为，所以甲投中目标的次数X的期望是.【小问2详解】记甲发挥正常为事件A，甲投中目标为事件B，由题意得，所以，即，解得.记乙发挥正常为事件C，乙投中目标为事件D，由题意得，所以，即，解得.，所以.17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若方程在上有两个不等实根和，①求m的取值范围；②证明：．【答案】（1）答案见解析（2）①；②证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，分和两种情况讨论函数单调性即可；（2）①分离参数得到，令，得到函数在上的最小值，进而求出m的取值范围；②法一：依题意设，从而将问题转化为证明，构造函数，利用导数求得的最小值即可得证；法二：根据极值点偏移法构造函数，求导得其单调性，从而有，即可证明；法三：首先证明对数均值不等式，从而得到，最后即可证明.【小问1详解】对求导得，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】①令，则，所以，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为方程在上有两个不等实根和，所以，故m的取值范围为；②法一：方程在上有两个不等实根和，不妨设，则，所以，所以，令，则，所以，即，所以，即，所以，，要证，即证，需证，即证，令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以，所以.法二：由①得，不妨设，构造函数，即，则，设，则在上恒成立，所以函数在在上单调递减，，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以函数在上单调递减，故，即，因为，所以，即，又在上单调递增，所以，故.法三：先证明不等式（且），证明如下：假设，原不等式等价于，即，令，可得，可构造函数，由，所以在上单调递增，又，即，得，所以不等式且成立.由①得，，将方程两边取对数得方程，所以方程有两个根所以，，作差得，即，.18.如图，已知三棱台，，，点是的中点，点是棱上靠近点的四等分点，，平面．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值；（3）平面将三棱台分成两部分，求体积较大部分与该棱台的体积之比．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）证明，，从而证明平面，根据线面垂直的性质即可证明；（2）取中点，连接，，先证明为二面角的平面角，利用余弦定理求出，再根据同角三角函数关系即可求解；（3）延长交于点，连接交于，连接，求出三棱台和三棱台的体积，即可求解.【小问1详解】由棱台的性质得，，，因为，所以四边形为等腰梯形，过作交于，则，因为点是棱上靠近点的四等分点，所以，，，所以，，因为，所以，又因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】取中点，连接，，则，所以四点共面，因为平面，平面，所以，，所以为二面角的平面角，，在中，由余弦定理得，所以，所以二面角的正弦值为.【小问3详解】延长交于点，连接交于，连接，则几何体为台体，因为平面，平面，则，，因为，，所以，，所以，，，，，，因为，，，平面，则平面，即即为三棱台和的高，所以，,因为，所以体积较大部分与该棱台的体积之比.19.已知双曲线E：．（1）若直线l与双曲线E的左支及