离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)-数字信号处理

1、2.22.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFTDTFT）2.2.1 DTFT2.2.1 DTFT定义定义离散时间序列的傅立叶变换 是的连续函数，且是周期的，周期为2。 0nnjje )n(x)e (XdeeXnxnjj)(21)()e (Xj2.22.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFTDTFT）四种形式的傅立叶变换1）连续、非周期x（t） 连续、非周期2）连续、周期x（t） 离散、非周期dte ) t (x)j (Xtj2/T2/Tt0jk0dte ) t (xT1)k(X2.22.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DT

2、FTDTFT）3）离散、非周期x（n） 连续、周期4）离散、周期 离散、周期0nnjje )n(x)e (X1N0nnkN2je )n(x)k(X2.22.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFTDTFT）o 总结：若x在时域是周期的，那么在频域X一定是离散的，o 若x在时域是非周期的，那么X一定是连续的。o 第四种变换在时域和频域都是离散的，且都是周期的，周期都为N点，在计算机上能方便地利用DFT来实现信号的频谱分析。2.22.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFTDTFT） 时域卷积定理： y(n)=x(n)*h(n) 频域卷积定理： 若 y(

3、n)= x(n) h(n) ，则)e (H)e (X)e (Yjjj)e (H)e (X)e (Yjjj2.22.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFTDTFT） Parseval（巴塞伐）定理：信号在时域的总能量等于其频域的总能量，频域的总能量等于 在一个周期内的积分。d)e (E21d)e (X21)n(xxj2j2n222j)e (X2.22.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFTDTFT）2.DTFT2.DTFT的反变换公式的反变换公式傅立叶系数展开式为 deeXnxnjj)(21)(nnjnjeC)e (XdeeXCnjjn)(212.

4、22.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFTDTFT）Wiener-khinchin （维纳-辛钦）定理： 若x(n)是功率信号，其自相关函数的定义为： 功率信号x(n)的功率谱 为： NNnx)mn(x)n(x1N21)m(r)e (PjX1N2)e (Xlime )mn(x)n(x1N21lim)e (P2jN2NmjNNnNmjx2.2 2.2 离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFTDTFT）此式称为确定性信号的维纳-辛钦定理，它说明功率信号x(n)的自相关函数和其功率谱是一对傅立叶变换信号的总功率 NnNn0)n(x)n(xN2d)e (P

5、21Pjxx2.22.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFTDTFT）o 小结：不管x(n)是实信号还是复信号，其功率谱 始终是的实函数，即功率谱失去了相位信息。2.2.2 2.2.2 信号截短对信号截短对DTFTDTFT的影响的影响例：将一个n=-+的无限长信号x (n) 截短，最简单的方法是用一个窗函数去乘该信号，若所用的窗函数为矩形窗，即2.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）2.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）那么，xN(n)=x (n)d (n),实现了对x (n)的自然截短。 解：先研究d (n)的

6、频谱特点：为其他值n1N, 1 , 0n01)n(d)ee (e)ee (ee1e1ee )n(d)e (D2/j2/j2/j2/Nj2/Nj2/Njjnj1N0nnj1N0nnjj2.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）即：记 )2/sin()2/Nsin(e)e (D2/ )1N(jj)2/sin()2/Nsin()e (Dgj2.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 可理解为 的增益，可正可负，当=0时， 当N/2=k时，=2k/N时， 在=0两边第一个过零点间的部分称为 的主瓣，对矩形窗来说，该主瓣宽度B=4/N，主瓣以外部分（|

7、2/N）称为 的边瓣，显然，N增大时，主瓣宽度B减小，当N时， 趋于（），这时相当于对信号没有截短。 )e (Dgj)e (DjN)e (Dgj0)e (Dgj)e (Dgj)e (Dj)e (Dj)e (Dj2.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）若xN(n)=x (n) d (n) ，那么卷积的结果是 的主瓣对 起到了“平滑”的作用，降低了 中谱峰的分辨能力。加窗对频域分析带来的另一个影响是频谱泄露（leakage）)e (D)e (X)e (XjjjN)e (Dj)e (Xj)e (Xj2.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）例如：

8、假设x (n)为两个正弦信号之和，那么起频谱在1，2处各有一个谱线，若 的主瓣宽度4/N大于|2-1|，那么在 中将分辨不出这两根谱线，这是由于窗函数d（n）过短，而使其频谱的主瓣过宽，边瓣过大所引起的，若增加数据长度N，使4/N|2 -1 |，那么，这两个谱峰可分辨出。)e (Dgj)e (XjN2.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）例：令即 是频域的矩形函数，所以，对应的 x (n)为 sinc 函数，现对x (n)用矩形窗d（n），n=0，30来截短，试分析截短后对x (n)频谱的影响。4 . 04 . 0031)e (Xj)e (Xj2.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）解：记 xN(n)=x (n) d (n) 从结果可以看出， 在 原来为零的位置 |04）处以不再为零，这是由于不再零，这是由于 的边瓣所产生的，这种现象称为频谱的泄露。 )e (D)e (X)e (XjjjN)e (XjN)e (Xj)e (Dj2.2离散时间信号的傅立叶变换（离散时间信号的傅立叶变换（DTFT） 边瓣越大，且衰减得越慢，泄露就越严重，在频谱分析中，泄露往往会模糊原来的形状，窗函数过大的边瓣有可能产生虚假的峰值，这些都是不希望的。 但在实际工