钢结构稳定理论分解PPT课件

1、v假定框架达到稳定临界状态时，要发生微小的失稳变形。v位移法的基本思路：对体系施加无穷刚臂和侧向支座，使结构变成没有富余自由度的完全超静定结构。v结合结构力学中的位移法，如图所示体系的未知数个数(被人为约束的自由度个数)为：2）位移法的正则方程组4P5P6P81P2P3P7转角：16，6个侧移：78，2个共8个第1页/共65页v对临界状态的框架变形状态组成正则方程组。（由于所有节点上的外荷载在基本体系的附加约束中不引起任何反力，所以方程组是齐次的，如下：）00022112222212111212111ngnnnnngnngnnRZrZrZrRZrZrZrRZrZrZr自由度1的平衡方程自由度2

2、的平衡方程自由度n的平衡方程正则方程组，常数项均为0第2页/共65页3）框架的屈曲方程v上式为0解时，Z1,Z2,.Zn=0，体系没有任何位移，框架没有失稳。v因此框架失稳的条件为位移未知数的系数行列式为0，即框架的屈曲方程为：v通过上述行列式为0，可以求解得到临界荷载P。0212222111211nnnnnnrrrrrrrrrD第3页/共65页v说明：关键是确定这些系数的表达式rij；rij的物理意义是：当j自由度上有单位位移作用时，在被约束的自由度i上产生的反力；此时由于轴向力的存在（对杆轴而言），rij不再为常数，而是杆件轴向力的函数。这与结构力学中的内容不同，结构力学位移法中的此系数为

3、常数第4页/共65页v设框架中某压杆AB，在失稳前为状态（a），刚架失稳时为状态（b）。1）转角位移方程的推导注：剪力以y轴正向为正；弯矩以顺时针为正。第5页/共65页v取任一长度x的隔离体，列挠曲线微分方程为： 其中： 同时令： 则有：NyxQMEIyaa )(1NMMlQbaaEINk 2xlNMMMNkykybaa22 v通解为：xlNMMMNkxBkxAybaa1cossin第6页/共65页v由边界条件：klMtgklMNAylxNMByxbaasin1,0, 0v变形曲线方程为：abaabaMlxNMMNkxNMkxklMtgklMNy)(1 cossinsin1第7页/共65页v利

4、用边界条件：v得转角位移方程为：v上式表明杆件端弯矩与转角位移和平动位移之间的关系。由此关系可以确定杆件产生单位位移时所需的端弯矩，即刚度系数rij。baylxyx 0时，；时，)(1sin1)(sin11bltgklklNMklklNMalklklNMtgklklNMbabbaa第8页/共65页v工况1：2）受压杆件在各种单位位移下的反力计算NNla=1abMaEaabaNNlEINklklklkllklEIklklklNlMklklNMM令：即：）得：由公式（tgtgtgtg tg11a0 , 0 , 122第9页/共65页v所以可得在单位转角a=1作用下，引起的反力为：tgtg0tgtg

5、tgtg222liQQMilEIMbaba第10页/共65页v工况2：0tgtgtgtg tg11, tg11a0 , , 12baaaaabaaQQiMkklEIkkklNNMkkllklklNNNMlklklNMMNM代入）得：由公式（a=1abNNl第11页/共65页v采用类似方法，可得各种边界条件下的反力，如下：I.由单位转角引起的反力=1abNNlEIQaQbMatgtg0tgtg22liQQMiMbaba第12页/共65页00tgbabaQQMiM=1abNNlEIMa第13页/共65页)(12tg2sinsin2tg2tgtgbababaMMlQQiMiM=1abNNlEIQaQ

6、bMaMb第14页/共65页0sintgbabaQQiMiM=1abNNlEIMaMb第15页/共65页II.由单位线位移引起的反力tg10tgtg232liQQMliMbaba=1abNNlEIMaMa第16页/共65页2tg22tg2tg322liQQMMliMbaaba=1abNNlEIMaMbMa第17页/共65页III. 横梁中单位转角的反力矩（无轴力）2303lEIQQMlEIMbbabbaablEIbMaQbMaa=1Qa第18页/共65页0babbbaQQlEIMlEIMablEIbMaMaa=1Mb第19页/共65页2624lEIQQlEIMlEIMbbabbbaablEIb

7、MaQbMaa=1Qa可以证明，有轴力的杆端力表达式中，当N0时，即0时，Ma无轴力时的Ma。以上结果可以直接应用于刚架稳定分析的位移法中。第20页/共65页=1abNNlEIQaQbMaablEIbMaQbMaa=1Qa=1abNNlEIQaQbMa2303lEIQQMlEIMbbabbatgtg0tgtg22liQQMiMbaba第21页/共65页iiiiitgiMEINlkliMaa3cossin2cos2coslimsincos2sinlimcossin222cos22sinlimsin2sinlim1secsec2limlim0tgtg000220222002洛必达法则洛必达法则洛必

8、达法则时，所以当，其中：第22页/共65页v可能存在的失稳模式1）单层铰接门式刚架（框架）HEIbPPEIcEIcl有侧向支撑时对称失稳无侧向支撑时反对称失稳第23页/共65页v对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/2HEIilEIiEIPHPPiilEIirZrccbbcEcbbc,02tgtg 02/tgtg02211111其中：则得屈曲方程：位移法方程组第24页/共65页v反对称失稳（根据对称性简化成如下模型）06tg 02/3tg011111cbbciilEIirZr则得屈曲方程：HEIbPZ=1EIcl/2由于Z1与相互关联，故只有Z1一个未知数。第25页/共

9、65页v也通用存在对称和反对称失稳两种模式2）单层刚接门式刚架（框架）v对称失稳（根据对称性简化成如下模型）HEIbPZ=1EIcl/20222tgtgtg 02/22tgtgtg011111cbbciilEIirZr即：第26页/共65页v反对称失稳（根据对称性简化成如下模型）06tg 02/3tg011111cbbciilEIirZr则得屈曲方程：HEIbPZ=1EIcl/2第27页/共65页3）刚架计算长度系数的确定v由前面介绍的屈曲方程可以求得在一定梁柱线刚度比ib/ic情况下的值。或令：HHHHEIHEIPHEIPHkkH02222cr2222)( 计算长度系数第28页/共65页11

10、6tg06tg06tgkkiicb或：有：时：如铰接刚架反对称失稳系数的方程（组）。即可得到关于计算长度代入刚架屈曲方程，将梁柱线刚度比第29页/共65页v所以给出不同梁柱线刚度比k1=ib/ic值，即可求出不同的值，因此可以构造出各种情况下的计算长度系数表格（规范中）。7 . 0 0 . 1 00 . 2 01111时，时，对称失稳时，时，反对称失稳kkkk5 . 0 7 . 0 00 . 1 0 . 2 01111时，时，对称失稳时，时，反对称失稳kkkk铰接刚接第30页/共65页4）多层多跨刚架的弹性屈曲荷载无侧移框架有侧移框架第31页/共65页v基本假设：刚架中的所有杆件同时屈曲；屈曲

11、时节点处产生的梁端不平衡力矩按节点处柱线刚度成比例地分配给各柱；不计横梁中轴力的影响；对称失稳时：同一层的各横梁两端的转角大小相等，但方向相反；侧移失稳时：转角大小不但相等，而且方向相同。第32页/共65页v回顾转角位移方程：)(1sin1)(sin11bltgklklNMklklNMalklklNMtgklklNMbabbaav求解得到Ma和Mb：)(/)()(/)(blSCCSKMalSCSCKMbabbaa第33页/共65页其中：为构件抗弯刚度。和又称为稳定系数；为构件抗弯刚度系数，为构件的线刚度；KSKCklklklklklklSklklklklklklklClEIKsincos22s

12、insincos22sin)(sincos22cossinsincos22cos)(sin2222C是对应于近段转角的抗弯刚度系数；S是对应于远端转角的；S/C为弯矩传递系数。C、S、C/S随 的变化关系如下：EPPkl/第34页/共65页C、S的定义域为（0，2）。随着P/PE的增加，近端转角的抗弯刚度系数C降低，而远端S提高。轴向压力为0时，C4，S2，S/C0.5，相当于受弯构件，图中虚线所示。第35页/共65页v无侧移失稳时：第36页/共65页利用受弯构件和压弯构件的转角位移方程，得到与A点有关的梁端和柱端力矩。建立A点的平衡方程：第37页/共65页将各端弯矩代入得：令 表示AB柱上端

13、梁线刚度之和与柱线刚度之和的比值。它反映了梁对柱的约束刚度。则上式为同理，对于AB柱的下端B点也有如下关系： 其中：第38页/共65页则刚架的屈曲方程为：把C、S的三角函数代入，并令 ，经整理得关于计算长度系数的屈曲方程为：22222)()(1llEIEIk此方程即为钢结构设计规范附录中无侧移刚架计算长度系数的计算公式，可以通过数值方法求解。第39页/共65页计算长度系数也可通过下面计算公式计算：也可使用下面图形曲线得到计算长度系数：第40页/共65页21/1/1KGKGBA第41页/共65页v侧移失稳时：第42页/共65页利用受弯构件和压弯构件的转角位移方程，得到与A点有关的梁端和柱端力矩。

14、其中侧移角cl /建立A点的平衡方程：第43页/共65页将各端弯矩代入得：令 表示AB柱上端梁线刚度之和与柱线刚度之和的比值。则上式为同理，对于AB柱的下端B点也有如下关系：上述两个方程，三个未知数，还需一个方程。第44页/共65页再建立柱本身的平衡方程： 而这样平衡方程可以写成：此时由三个方程构成一个关于AB杆两端转角A、B和相对位移的方程组。方程组有解时，其系数行列式为0。第45页/共65页把C、S的三角函数代入，并令 ，经整理得关于计算长度系数的屈曲方程为：此方程即为钢结构设计规范附录中侧移刚架计算长度系数的计算公式，可以通过数值方法求解。也可以使用实用公式：第46页/共65页21/1/

15、1KGKGBA第47页/共65页v刚架整体的P-效应（二阶效应）第48页/共65页刚架在竖向和水平荷载的共同作用下，柱顶产生侧移，则此时竖向荷载将对刚架产生一个附加的外弯矩P，将继续增大侧移，降低弹性刚度，这种现象称之为P-效应，或二阶效应。对刚架稳定有一定影响，特别是对高层结构不可忽略。v对于整体刚架，外力与柱端反力的平衡条件为：第49页/共65页v柱的侧移角为，侧移为lc，则左柱与右柱的力平衡方程为：v将上两式相加，并代入前面的柱端反力，得：v端弯矩可以使用上节的转角位移方程得到，并代入得：(1)()第50页/共65页v由B点、C点的力矩平衡，可分别得到：(2)(3)v由(1)(2)(3)

16、式可以解得转角A、B和侧移角：v上式即为刚架二阶弹性分析的荷载P与侧移角的关系式，同时考虑了P-效应和P-效应。 C、S中体现了P-效应的影响，上式分母中最后一项体现了P-效应的影响。(a)第51页/共65页v如果忽略柱轴力P对抗弯刚度的影响，取C4，S2，（即忽略P-效应），且梁柱线刚度比K11.0，则二阶弹性分析（只考虑P-效应）的近似公式为：(b)v如果只考虑一阶弹性分析，像结构力学位移法求解内力那样，（令公式中的柱轴力P0），可得此时荷载P与侧移角的关系： 此时的侧移角完全由水平力P引起。(c)第52页/共65页v当0时，由(1)(2)(3)三式的系数行列式为0，也可得有侧移刚架的分岔

17、屈曲荷载为：v将(a)(b)(c)(d)四个临界荷载与侧移角的关系式画成曲线形式。 (a) 二阶分析，考虑P-、P-效应； (b) 二阶分析，只考虑P-效应； (c) 一阶弹性分析； (d) 小挠度理论的分岔荷载；(d)第53页/共65页(a)(b)(c)(d)可见二阶效应影响显著，有侧移刚架中是不能忽略的。弹塑性分析时极限荷载可能远远低于弹性分析。第54页/共65页v如图所示多层刚架，承受水平荷载H和竖向荷载q。v一阶分析时，可以分为两个过程计算，并将两个过程中的各杆弯矩相叠加：sbMMMb是braced frame的缩写；s是side sway的缩写；二阶弹性分析近似解第55页/共65页v

18、二阶分析的近似解就是利用一阶分析结果，对Ms乘以放大系数2i ：sibMMM2v下面来研究2i的取值。如图所示悬臂柱的二阶弯矩为：悬臂柱的欧拉临界力其中：223342)tg( 33hEIPPPEIPhuuuuEIHhPHhPHhMEE第56页/共65页v把tgu级数展开：v于是得：7533151715231tguuuuuEEEEEPPPPPPPPPPuuuuu/11 1 998. 0984. 01 10517521)3(tg22423第57页/共65页v所以悬臂柱的二阶弯矩为EEPPPHhPPEIHhPHhPHhM/1/1133sisibMMMM220v对于悬臂柱：HhuPHhuPPPHhuPHhuPPPPPPPHhuPEEEEi11/1/11/1/11/1/12v所以利用上述二式相等，得：第58页/共65页hHuNi112v对于多层多跨框架时，可用N代替P，H代替H，则得到钢结构设计规范中的公式：N所计算楼层各柱轴心压力之和；H产生层间侧移u的所计算楼层及以上各层水平力之和；u按一阶弹性分析求得的所计算楼层的层间侧移；h所计算楼层的高度；sibMMM2第59