量子力学newPPT课件

1、),()(2),(222txxVxmtxti 对于定态问题，能量E确定，波函数中时空变量可分离Etiextx)(),(满足方程)(x)()()(dd2222xExxVxm第1页/共18页)()()(dd2222xExxVxm( ),V x 取实数, E由物理边界条件确定解：*( )( )VxV x，)(x非零解的本征函数属于本征值EE 本征值第2页/共18页1定理 ：,E V证明：方程两边取复共轭（为实数）)()()(dd2*222xExxVxmE征值还是也是方程的解，能量本说明*,)(Ex的能量本征值为是方程的一个解，对应设*( ) xE则也是方程的一个解，对应的能量也是 。第3页/共18页

2、,E：设对应于某个能量本征值方程的解无简并，则可取为推论实函数解*( )( ),xxE与同样对应于无简并，则只能相差一常数因子为常数）（cxcx)()(*( ) x可取为实函数2*|cc取复共轭)( 为实数iec 1|c*0( )( )xx第4页/共18页当能级有简并时?证明：( ) xE设是属于能量的本征函数定理2：对于能量的某个本征值E，总可找到方程的一组实解，凡是属于 E 的任何解，均可表成这一组实解的线性叠加。如为复解，则可以表为一组完备实解的线性叠加。为复解。它可以是实解，也可以到实解集合中去如为实解，则把它归结第5页/共18页*( )1( )xxE若是定态方程的解，按照定理 ，亦为

3、属于能量的解。)()()(),()()(*xxixxxx)(21)(ix*( ),( )(?)( )( )( ),( )xxxxxx均为实函数，而，均为复函数，可表为的线性叠加)(21)(*ixE也是定态方程的解，同属于 ，且彼此独立。第6页/共18页如(x)是定态方程的属于能量为E的解，则(-x)也是方程的相应于能量为E的解。证明：( )()xx与表示同一个态（可相差一个任意常数）)()()()(dd2222xExxVxxm()( )xxVxV x ，按假定()xE也是属于 的解，即可能有简并。定理3：设V(x)具有空间反射不变性推论：()( )VxV x若，且解无简并，则解必有确定的宇称。

4、()( )VxV x第7页/共18页P宇称算符用 来表示称为奇宇称解取)()()(, 1xxxPc当能级有简并时？)()(22xcxP)()()(xcxxP)()(rfrPf1c12c)()(2xxP称为偶宇称解取)()()(, 1xxxPc第8页/共18页定理4：设V(-x)= V(x)，则对应于任何一个能量本征值E,总可以找到定态方程的一组解,而属于能量本证值E的任何解，都可以用他们来展开.证明：)()()(),()()(xxxgxxxf( ) x设是定态方程的解，如无确定的宇称3()( )xxE按照定理 ，则也是方程的一个不同于，但同属于能量。( ), ( )( )( )f x g xE

5、f xg x都是定态方程的解，同属于 ，且具有偶宇称，具有奇宇称，第9页/共18页)()(21)()()(21)(xgxfxxgxfx，( )()( ), ( )xxf x g x、都可以表成的线性叠加( ),( ),( )V xxx若不连续，或有某种奇异性的连续性问题需具体分析。( )V x若解析（连续等），则问题较为简单；第10页/共18页定理5：对于阶梯形方位势（在a处跃变）V2V(x)x0aV1axVaxVxV21)(成立），则定理不必是连续的（若及其导数有限，则定态波函数若|)( )(1212VVxxVV第11页/共18页证明：)()(2)(dd222xxVEmxx的连续性是显然的。

6、、连续区，在)( )()(xxxV邻域，对方程积分并取在ax 是个小量）（, 0dlim0aax第12页/共18页)()(dlim2)0( )0( 02xxVExmaaaa(0 )(0 )( )aaxa，即在 处连续。右端为，故有限，积分区间由于002)()(xxVE,( ).x函数曲线在此处是平滑的也是连续的第13页/共18页的解，则的属于同一能量均为定态方程和对于一维粒子，设Exx)()(21证明：21(1)(2) 1 (0)(2 121xVEm)2(0)(2 222xVEm无关）常数（与x12216定理 ：第14页/共18页0 21121221无关）常数（与x12210 dd2112x0常数对两束缚态波函数：120 x 对于束缚态，、，第15页/共18页( )7V x：设粒子在规则势场中运动（无奇点），如存在束缚态，则必定是定理不简并的。证明：12( )( )xxE设和是定态方程的属于本征能量 的两个束缚态。1221121212( )( )0( )( )xxxx 在和不为 处（不包含和节点区域）用除上式6则按照定理第16页/共18页2121lnln