固体物理第四章作业答案

1、第四章作业1.(1)能带论的结论是什么?(2)这个结论是考虑了晶体内部电子运动受到了什么作用后得出的?(3)以一维晶体为例, 如果作自由电子近似,把上述作用看作是微扰, 应用非简并微扰理论得出电子的能量与k的关系是: 据此式指出在哪些k状态上能量 会产生能隙? 并指出能隙的物理意义。E kkmVkmmkannn( )()222222202222E k( ) 解：(1)能带理论认为电子不再是属于局域的特定原子, 而是扩展于整个晶体；在k空间中电子能量E(k)是不连续的，E(k)在布里渊区内是准连续的，在布里渊区边界存在能隙；准连续分布的电子能量E(k)形成能带，能带间可以发生重叠。 (2)晶体内

2、部电子运动受到了晶体周期势场的作用，电子作单电子近似后得出来的。 (3)当 ，即时出现能隙，这由于周期性势场的微扰作用使E(k)在处发生突变，形成 的能隙，能隙中不存在电子。说明电子波在布里渊区边界发生反射形成驻波，并限制在布里渊区内。nakk2 nak nak |2nV2. 设一维晶体由N个双原子分子构成，如下图所示：晶体长度为L=Na，a为相邻分子间的距离。每个分子中两原子的间距为2b，且a4b，若势能可表示为如下形式： 式中V0是大于零的常数。a) 若V0很小，请计算第一布里渊区边界上的能隙。b) 若每个原子只有一个价电子，请判断晶体是否为导体？2ba 100NnV xVxnabxnab

3、 解：周期势场 展开为具有周期性平面波的叠加形式： 作傅里叶展开 按照近自由电子模型，第一布里渊区边界的能隙 第一布里渊区， 的个数为： V x 2,0, 1, 2,nixikxannnnV xV eV en 221000002112cosnnNixixaaaannVbVV x edxVxnabxnab edxnaaaa nV12gEV00124222coscosgVVbbEVaaaakaa22NaNak 考虑自旋后第一布里渊区共有 个状态。由于有N个分子，每个分子有两个原子，每个原子只有一个价电子，所以共有2N个电子，这2N个电子正好填满第一布里渊区，因此这种材料不是导体。2N3.由同种原子

4、组成的二维密排结构晶体，原子间距为a，作图画出其前三个布里渊区图形，并求：(1)每个原子有一个价电子时的费米半径kF；(2)第一布里渊区的内切圆半径k1；(3)内切圆为费米圆时的电子浓度1 (即平均每个原子的价电子数)；(4)每个原子有两个价电子时的费米半径，画出简约区中近自由电子近似的费米面图形。4.分别求出二维正方晶格简约区中沿M和XZM轴自由电子能量函数En(k) 能量最低的前四条曲线的表达式，画出其示意图并给出各曲线的简并度。 5 图3给出某金属表面的扫描隧道显微镜(STM)的观察到结果，请用它说明布洛赫（Bloch）波的存在及其特点。解：STM可以探测到电子密度的分布。从图中可以看出，电子密度分布具有周期性。由布洛赫定理知 ik rklkkreurururR 22kur由此可知，电子密度分布具有周期性。 思考题思考题（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井），你认为其晶体能带相对于理想晶体会有什么变化？周期性边界条件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是准连续的。 （2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维超晶格量子阱的能带变化。*(如下图)ABa8aCAEVAECBEVBE克朗尼格-朋奈模型(基泰尔