微分方程的基本概念12PPT教案

1、微分方程的基本概念微分方程的基本概念12引例 一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上的任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x, 求该曲线的方程。解：设所求曲线方程为：y = f(x)两边对x求积分：即 y=x2+C将x=1,y=2代入，得：2=1+C即 C=1故所求曲线为：y=x2+12, 12 yxxdxdy，且，且 xdxdxdxdy2由题意得：第1页/共31页定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。2.1、微分方程 )?(,-?,-xyyx求求未未知知的的是是一一个个函函数数微微分分方方程程求求未未知知的的是是一一个个数数代代数数方方程程方方程程第2页/共31页定义1 含有未知函数

2、的导数(或微分) 的方程。如：2.1、微分方程未知函数是多元函数，即含有偏导数的微分方程，称为偏微分方程0)(22 dyxydxyx53 xyyyxyxdxdy xyyysin3 xzyzxz 2222未知函数是一元函数的微分方程常微分方程第3页/共31页定义2 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶。二阶微分方程n阶微分方程的一般形式为：F(x，y，y，y，y(n)=0一阶微分方程2.2、微分方程的阶xyyysin3 0)(22 dyxydxyx53 xyyyxyxdxdy 第4页/共31页2.3、微分方程的分类分类1: 常微分方程, 偏微分方程., 0),( yyxF一

3、阶微分方程);,(yxfy 高阶(n)微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分类2:分类3: 线性(未知函数及其导数都是一次) 非线性微分方程),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类4: 单个微分方程 与微分方程组. ,2,23zydxdzzydxdy第5页/共31页定义3 若将某函数及其导数代入微分方程, 可使方程成为恒等式, 则称此函数为微分方程的解3.1、微分方程的解第6页/共31页例1 验证下列函数都是微分方程 y2y+y=0 的解.解:代入原方程.)3( ;)2( ;)1(21xxxxxeCeCyxeyCey ,)1(xCey ,xC

4、ey xCey 是原方程的解.xCey xxxCeCeCe 2左边左边右边右边 0代入原方程：,)2(xxey xxxexxeey)1( xxxexexey)2()1( 是原方程的解.xxey xxxxeexex )1(2)2(左左边边右边右边 0第7页/共31页例1 验证下列函数都是微分方程 y 2y+y=0 的解.解:.)3( ;)2( ;)1(21xxxxxeCeCyxeyCey 代入原方程：,)3(21xxxeCeCy xxxxxxeCeCCxeCeCeCy221221)( xxxxxxxeCeCCxeCeCeCeCy2212221)2( 是原方程的解.xxxeCeCy21 xxxxx

5、xxeCeCxeCeCCxeCeCC21221221 2)(2)2( 左边左边右边右边 0解的线性组合也是解y=0也是解。均为解，有何区别？第8页/共31页 通解： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。3.2、通解与特解 特解：确定了通解中任意常数的解。例1中：xxxeCeCy21 xxey xCey 通解特解既非通解，也非特解，是个解。0 y奇解（但不是特解，不研究）通解：通用的解，含有任意常数；特解：特殊的解，不含有任意常数第9页/共31页 通解： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互独立(即不能合并了)

6、，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。3.2、通解与特解 特解：确定了通解中任意常数的解。特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解称为定解条件，也称为初始条件一般地，n阶微分方程就有n个定解条件第10页/共31页求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解中任意常数的值，可得特解。xdxdy2 2,1 yx时时由由2,yxC, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为微分方程微分方程的通解定解条件如引例求解得：微分方程的特解第11页/共31页解的图像: 微分方程的积分曲线.通解的图像: 积分曲线族.3.3、微分方程解的几何意义过定点的积分曲线; 00),(

7、yyyxfyxx一阶:二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.第12页/共31页解,2cos22sin221tCtCdtdx ,2sin42cos42122tCtCdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd例3 验证:函数 是微分方程 的解. 并求满足初始条件 的特解.tCtCx2sin2cos21 0422 xdtxd0,200 ttdtdxx第13页/共31页. 0)2sin2cos( 4)2sin2cos( 42121 tCtCtCtC.2sin2cos21是是

8、原原方方程程的的解解故故tCtCx 所求特解为练习：xey23 为微分方程的特解.0,200 ttdtdxx0, 221 CCtx2cos2 函数 是微分方程 的解吗？如是解，请问是什么解?xey23 04 yy第14页/共31页Basic concept of differential equations三、齐次方程一、一阶微分方程的形式四、一阶线性微分方程微积分电子教案二、可分离变量的微分方程第15页/共31页一般形式: F(x, y, y ) =0正规型:微分型: f(x,y)dx+g(x,y)dy=0正规型可化为如： 下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及解法,包括：可分离变量的微

9、分方程、齐次微分方程、线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程。y= f( x, y ) ),(),(),(yxFyxgyxfdxdy 第16页/共31页形式：即变量x的函数和微分与变量y的函数和微分已分离在等式两边（或已分离开来）.解法：直接积分。例1、求通解：解：两边积分故原方程的通解为：2.1、已分离变量的微分方程0) 12( dydxx dxdydxx0) 12(12Cyxx )( 12CCCxxy 0)()( )()(21 dyyfdxxfdyygdxxf或或第17页/共31页例2 求通解：解：两边积分得：故原方程的通解为：结论1: 通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.ydyxdx

10、ydyxdxCyx21212122 Cyx 22第18页/共31页形式：2.2、可分离变量的微分方程解法：先分离变量，再两边积分即可。或)()(ygxfdxdy 0)()()()(2211 dyyNxMdxyNxMdxxfdyyg)()(1 dxxfdyyg)()(10)()()()(1221 dyyNyNdxxMxM dxdyyNyNdxxMxM0)()()()(1221第19页/共31页例3 解微分方程解:先分离变量，再两边积分故原方程的通解为xydxdy dxxdyy11 dxxdyy111lnlnCxy 1lnCxy CCxy 221CexyC xCy xCy 第20页/共31页若积分

11、后出现对数,则可将任意常数写成 lnC 的形式,以利化简.说明: 在解微分方程时,对形如积分,可直接得lnx,lny,不必加绝对值；dxx1dyy1例3 解题过程可简化为：先分离变量：再两边积分dxxdyy11 Cxylnlnln xCylnln xCy 第21页/共31页解：例4 求方程满足初始条件y(1)=2的特解.分离变量积分得：故通解为:将x=1,y=2代入通解故所求特解为：得：C=10)1(122xxyyy yyxxdxdy221)1(1 dxxxdyyy)1(1122 dxxxx)11(2 Cxxyln21)1ln(21ln)1ln(2122 222)1)(1(Cxyx 22210

12、)1)(1(xyx 第22页/共31页例5 已知某商品的需求量Q对价格p的弹性为ep=-0.02p,且该商品最大需求量为240,求需求函数Q=Q(p).解: 依题意,得:pQQp02. 0 整理得：dpdQQ02. 01 积分得:CpQln02. 0ln pCeQ02. 0 将p=0,Q=240代入, 得: C=240故求需求函数为：peQ02. 0240 第23页/共31页例6 设f (x)在(-，+)连续,且满足:求f(x).注：积分方程求导后化为微分方程; 注意隐条件.xdttfxxf0)(2)(解：原方程对x求导：)(2)(xfxf 即：yy 2分离变量得：dxydy 2两端积分得：C

13、xyln)2ln( 22 xxeCyeCy由原方程可知：f (0)=0 代入通解 C =2故)1(2)( xexf第24页/共31页解：f(tx,ty)=50(tx)(ty)2=50t3xy2=t3f(x,y)故是齐次函数,且是3次齐次函数;故是齐次函数,且是0次齐次函数.复习:证明函数f(x,y)=50 xy2;都是齐次函数,并说明是几次齐次函数.yxyxyxf),(),(),(yxfyxyxtytxtytxtytxf3.1、齐次方程的引入第25页/共31页3.2、齐次方程及其解法解法：化标准形式；变量替换 ；分离变量；求通解；回代。xyu 标准形式：常见形式：如化为标准形式 )(xyfdx

14、dy 定义:微分方程 中,若为0次齐次函数, 则称该方程为齐次微分方程, 简称为齐次方程.),(yxfdxdy ),(yxf22yxyxdxdy 2)(1xyxy 第26页/共31页关于y的微分方程代入原方程, 得：关于u的微分方程分离变量,得：积分、整理得通解：回代得：是的解。 xdxuufdu)()(xyfdxdy xyu 令令uxy 则则dxduxudxdy )(ufdxduxu xdxuufdu )(Cxu )( Cxxy )( )(Cxxy 第27页/共31页解：分离变量得：例1. 求微分方程 的通解.代入原方程,得：两边积分得：故原方程的通解为：2)(1xyxydxdy xyu 令令uxy 则则dxduxudxdy 21uudxduxu xdxudu 21Cxulnlnarcsin uCexar